Elektrische Leitfähigkeit

Die elektrische Leitfähigkeit, auch als Konduktivität bezeichnet, ist eine physikalische Größe, die die Fähigkeit eines Stoffes angibt, elektrischen Strom zu leiten.

Das Formelzeichen der elektrischen Leitfähigkeit ist σ (griechisch sigma) oder auch κ (griech. kappa) bzw. γ (griech. gamma). Die abgeleitete SI-Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist S/m (Siemens pro Meter). Den Kehrwert der elektrischen Leitfähigkeit nennt man spezifischen Widerstand.

Die elektrische Leitfähigkeit ist definiert als die Proportionalitätskonstante zwischen der Stromdichte $ {\vec {j}} $ und der elektrischen Feldstärke $ {\vec {E}} $:

$ {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}} $

Im Spezialfall konstanter elektrischer Leitfähigkeit entspricht diese Definitionsgleichung dem ohmschen Gesetz.

Leitfähigkeit als Tensor

Im speziellen Fall eines isotropen (richtungsunabhängigen) und linearen (feldgrößenunabhängigen) Mediums ist die elektrische Leitfähigkeit ein Skalar (eindimensionaler Wert). Nur in diesem einfachen, in der Anwendung aber häufigen, Fall erfolgt daher die Stromleitung im Leiter proportional und in gleicher Richtung wie das die Stromleitung verursachende elektrische Feld.

In einem anisotropen und linearen Material ist die elektrische Leitfähigkeit ein Tensor 2. Stufe (Dyade), also ein mehrdimensionaler Wert. Beispiele für Materialien mit solchen Eigenschaften sind Materialien mit Schichtstrukturen wie Graphit und Hochtemperatursupraleiter.

Herkunft und Kehrwert

Es ist zu beachten, dass obige Gleichung – sie zählt zu den drei fundamentalen Materialgleichungen – sich nicht aus den maxwellschen Gleichungen ableiten lässt. Die Maxwellschen Gleichungen mit den Kontinuitätsgesetzen und den Materialgleichungen stellen das Fundament der nichtrelativistischen elektrodynamischen Feldtheorie dar.

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes. Der Leitwert eines normiert dimensionierten Stückes eines leitfähigen Materials ist folglich der Kehrwert des spezifischen Widerstands ρ (griech. rho) und wird als dessen spezifischer Leitwert (= Leitfähigkeit) σ (griech. sigma) bezeichnet. Beide sind über die Formel

$ \sigma ={\frac {1}{\rho }} $

verknüpft.

Formelzeichen und Einheiten

Das Formelzeichen für die elektrische Leitfähigkeit ist der griechische Buchstabe σ (sigma). Weitere häufig verwendete Formelzeichen für die elektrische Leitfähigkeit sind κ (kappa) und γ (gamma).

Die abgeleitete SI-Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist S/m (Siemens pro Meter), also A/(V·m). Sehr gebräuchlich sind zudem S/cm, m/(Ω·mm²) und S·m/mm², wobei die Zusammenhänge 1 S/cm = 100 S/m, 1 m/(Ω·mm²) = S·m/mm² = 10⁶ S/m gelten.

Eine weitere besonders in den USA gebräuchliche Einheit ist IACS, für englisch International Annealed Copper Standard. Hier wird die Leitfähigkeit als Prozentwert der Leitfähigkeit in reinem geglühten Kupfer ausgedrückt. 100 % IACS entsprechen einer elektrischen Leitfähigkeit von 58 · 10⁶ S/m oder 58 MS/m.

$ {\frac {\sigma \;{\text{(MS/m)}}}{58}}\times 100=\sigma \;(\%{\text{ IACS)}} $

Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe

Nach der elektrischen Leitfähigkeit unterteilt man Stoffe in

• Supraleiter (viele Metalle, verschiedene Legierungen, einige wenige Keramiken und manche Fullerene)

Unterhalb einer materialabhängigen Sprungtemperatur sinkt der elektrische Widerstand auf null und die Leitfähigkeit wird quasi „unendlich“.

• Leiter (insbesondere alle Metalle)

Typischerweise (bei 25 °C): > 10⁶ S/m.

Die höchste elektrische Leitfähigkeit aller Metalle hat Silber.

• Halbleiter (beispielsweise Silizium, Germanium)

Bei Halbleitern hängt die Leitfähigkeit von verschiedenen Faktoren wie Temperatur, Druck oder Belichtung ab. Die Leitfähigkeit von Halbleitern liegt dabei zwischen der von Leitern und Nichtleitern (Isolatoren): Diese Einteilung stammt noch aus Zeiten, als man die Eigenschaften spezieller Halbleiter wie Germanium und Silizium nicht kannte, insbesondere die Möglichkeit, ihre Leitfähigkeit durch gezielte Einlagerung von Fremdatomen (Dotierung) zu verändern. Halbleiter wurden in der Folge vor allem dadurch interessant, dass man mit ihnen spezielle Bauelemente der Elektronik wie z. B. Transistoren herstellen kann.

• Nichtleiter oder Isolatoren (die meisten Nichtmetalle sowie Kohlenwasserstoffe und viele organische Verbindungen)

Typischerweise < 10⁻⁸ S/m.

• Bei Elektrolytlösungen schließlich spricht man von einer elektrolytischen Leitfähigkeit. Hierbei bezieht man die spezifische Leitfähigkeit auf den Widerstand einer Ein-Elektrolytlösung zwischen zwei Elektroden mit einem Abstand l von 1 cm und einem Querschnitt q von 1 cm², früher bei 18 °C, heute nach DIN/E-Norm bei 25 °C. Zur auf seine Konzentration bezogenen Leitfähigkeit eines Elektrolyten siehe Molare Leitfähigkeit.

Warum ist ein Stoff elektrisch leitfähig?

Die Leitfähigkeit eines Stoffes oder Stoffgemisches hängt von der Verfügbarkeit beweglicher Ladungsträger ab. Dies können locker gebundene Elektronen wie beispielsweise in Metallen, aber auch Ionen oder delokalisierte Elektronen in organischen Molekülen sein, wie sie häufig durch mesomere Grenzstrukturen beschrieben werden.

Beispiele

Ionen

Reines (also destilliertes oder demineralisiertes) Wasser hat eine äußerst geringe Leitfähigkeit (ca. ein Milliardstel im Vergleich zu Metallen, jedoch immer noch ca. 1000-mal leitfähiger als ein Isolierstoff). Werden dem Wasser Salze, Säuren oder Basen hinzugefügt, die in wässriger Lösung freibewegliche Ionen freisetzen, steigt die Leitfähigkeit an (schon 4 % Salz in destilliertes Wasser erhöhen die Leitfähigkeit auf das 1000-Fache).

Brände in Hochspannungsanlagen (z. B. Schaltanlagen) sollen daher nicht mit Wasser gelöscht werden, um das Löschpersonal nicht dem Risiko eines Stromschlags auszusetzen. Nasslöscher (Löschmittel Wasser) können nach DIN VDE 0132 in Niederspannungsanlagen bis 1000 V aus mindestens 1 m Abstand (Sprühstrahl) bzw. 3 m Abstand (Vollstrahl) benutzt werden.

Dotierung (Elektronen, Defektelektronen)

In Halbleitern nutzt man gezielte Verunreinigungen des Grundmaterials, sogen. Dotierungen, um seine Leitfähigkeit zu beeinflussen. Wird das Grundmaterial mit Elektronendonatoren (Elemente mit mehr Außenelektronen als das Grundmaterial) versetzt, spricht man von n(egativ)-Dotierung, bei Zusatz von Elektronenakzeptoren (Elemente mit weniger Elektronen als das Grundmaterial) dagegen von p(ositiv)-Dotierung. Durch die p-Dotierung entstehen Elektronenfehlstellen, auch Löcher oder „Lochelektronen“ genannt, die ebenso zur Leitung des elektrischen Stroms und damit Erhöhung der Leitfähigkeit beitragen wie die überzähligen Elektronen im Falle n-dotierter Halbleiter.

Siehe auch

Ein Modell zur Veranschaulichung und Erklärung der Leitfähigkeit eines Kristalls ist durch das Bändermodell gegeben.

Da die thermische Leitfähigkeit in metallischen Festkörpern vor allem durch die Elektronen bestimmt wird, sind elektrische und thermische Leitfähigkeit durch das Wiedemann-Franzsche Gesetz verknüpft.

Ursache des elektrischen Widerstandes

1900 formulierte Paul Drude ein nach ihm benanntes Modell, wonach der elektrische Widerstand durch Kollision der Leitungselektronen mit den als starr angenommenen Atomrümpfen des Metalls verursacht wird. Danach ist die Leitfähigkeit

$ \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}} $.

Hier ist n die Konzentration freier Elektronen, e und m die Ladung und Masse eines Elektrons und τ die mittlere Flugzeit des Elektrons zwischen zwei Stößen (Relaxationszeit). Dieses Modell veranschaulicht die elektrische Leitfähigkeit zwar recht gut, sagt aber manche experimentellen Ergebnisse falsch voraus, da die Annahme des freien Elektronengases zu ungenau ist: Elektronen sind Fermionen, das heißt, jeder Energiezustand im reziproken k-Raum $ E(k)=E(p)(\approx E(v)) $ kann nur von zwei Elektronen eingenommen werden, sodass selbst am absoluten Nullpunkt Energieniveaus bis zur Fermi-Energie $ E_{\text{F}} $ besetzt sind und die Fermi-Kugel bilden. Die temperaturabhängige Wahrscheinlichkeit, ob ein Energieniveau $ E(k) $ mit Elektronen besetzt ist, wird dabei durch die Fermi-Dirac-Verteilung

$ f_{0}(k,T)={\frac {1}{e^{\frac {E(k)-E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}T}}+1}} $

gegeben. Da die Fermi-Energie $ E_{\text{F}} $ mit einigen Elektronenvolt wesentlich größer als die thermische Energie $ k_{\text{B}}T $ mit einigen dutzend Millielektronenvolt ist, sind nur Elektronen nahe der Fermi-Energie angeregt und tragen zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Im Nicht-Gleichgewichtszustand wird die Zeitabhängigkeit der Verteilung durch die Boltzmann-Gleichung beschrieben. Mit dieser Verbesserung, der Sommerfeld-Theorie, folgt schließlich die gleiche Leitfähigkeit wie nach Drude, jedoch mit zwei entscheidenden Veränderungen:

• Die Relaxationszeit $ \tau $ ist die Relaxationszeit der Elektronen an der Fermikante, also die der Elektronen mit der Energie $ E_{\text{F}} $.
• Die Masse der Elektronen $ m $ hat im Kristall scheinbar eine abweichende, effektive Masse $ m^{*} $, welche richtungsabhängig und somit auch eine tensorielle Größe ist.

Der Reziprokwert der Relaxationzeit, die Streurate (Anzahl von Streuungen pro Zeit), ist dabei die Summe der individuellen Streuraten der Elektronen an Schwingungen der Atomrümpfe (den Phononen), an anderen Elektronen, an Gitterfehlern (Fremdatome, Fehlstellen, etc.) im Kristall oder auch den Wänden des Kristalls. Daraus ergibt sich eine Verallgemeinerung der Matthiessenschen Regel:

$ {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {Phonon}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {Elektron}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {St{\ddot {o}}rstellen}}}}+\ldots \propto \rho ={\frac {1}{\sigma }} $

Die individuellen Relaxationszeiten führen zu den verschiedenen Temperaturabhängigkeiten der Leitfähigkeit im Metall. So ist z. B. die Streuung an Störstellen temperaturunabhängig und führt zum Restwiderstand, wohingegen die Elektron-Phonon-Streuung bei Zimmertemperatur proportional zur Temperatur ist.

Wenn man in einem allgemeinen Festkörper die Beweglichkeit der Ladungsträger $ \mu =e\tau /m $ berücksichtigt, ergibt sich:

$ \sigma =en\mu \, $

wobei n die Ladungsträgerdichte (Anzahl je Volumeneinheit) ausdrückt.

Erweitert man diesen Ausdruck weiter, so erhält man:

$ \,\sigma =e(n\mu _{n}+p\mu _{p}) $

Dabei ist die Elektronendichte $ n $ und deren Beweglichkeit $ \mu _{n} $ sowie der Lochdichte $ p $ und deren Beweglichkeit $ \mu _{p} $.

Messung

Ein Handgerät zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit von Flüssigkeiten

Die elektrische Leitfähigkeit kann nicht direkt gemessen werden, sondern wird meist mittels Transportmessungen aus Strom, abfallender Spannung und Probengeometrie analog zum spezifischen Widerstand bestimmt. Je nach Probengeometrie können verschiedene Verfahren verwendet werden: Das Standardverfahren zur Messung einer großflächigen, homogenen Schicht ist die Vierpunktmessung und wird vor allem in der Halbleiterindustrie angewendet. Ist die Schicht dagegen klein und hat eine beliebige Form, kann die Leitfähigkeit mit der Van-der-Pauw-Messmethode bestimmt werden. Für einen langen Leiter bekannten Querschnitts $ A $ kann die Leitfähigkeit mittels Vierleitermessung und der Formel:

$ \sigma ={\frac {I}{U}}{\frac {l}{A}} $

bestimmt werden, wobei $ I $ der Strom durch den Leiter und $ U $ der Spannungsabfall zwischen zwei im Abstand $ l $ befindlichen Kontakten ist.

Ein veraltetes Messgerät zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit ist das von Jean-Jacques Rousseau stammende Diagometer.

Während heutige digitale Leitfähigkeitsmessgeräte wirklich direkt die Leitfähigkeit einer Flüssigkeit in S/cm (meist µS/cm oder mS/cm) anzeigen, haben noch in den 1970er und 1980er Jahren die meisten analogen Labor-Leitfähigkeitsmessgeräte Skalen mit einer Kalibrierung in Leitwerten (µS oder mS) besessen. Daher haben sich Messzellen mit einer Zellenkonstante (Elektrodenabstand l/Elektrodenfläche A) von 1,00 cm⁻¹ bei professionellen Geräten durchgesetzt. Der Messwert der Leitfähigkeit wird hier erhalten durch Multiplikation des Ablesewertes (Leitwert, Einheit in S, mS oder µS) mit der Zellenkonstante der benutzten Messzelle (Einheit cm⁻¹). Bei Verwendung einer Messzelle mit der Konstante 1,00 entspricht der angezeigte Leitwert direkt der Leitfähigkeit. Werden andere Messzellen angeschlossen muss die Leitfähigkeit ausgerechnet werden. Übliche Messzellen-Konstanten sind 1,00/0,10 und 0,001 cm⁻¹. Offenbar konstruktionsbedingt wurden auch Messzellen mit davon abweichenden Zellenkonstanten, beispielsweise 0,97 cm⁻¹, gefertigt. Es gilt also für Messung mit älteren Geräten:

Leitfähigkeit = Leitwert × Zellenkonstante

Temperaturabhängigkeit

Wie fast alle physikalischen Vorgänge ist auch die elektrische Leitfähigkeit von Materialien abhängig von der Temperatur. Der Verlauf dieser Temperaturabhängigkeit ist jedoch abhängig vom Aufbau und Art des Materials bzw. von den (dominierenden) Mechanismen für den Transport von elektrischen Ladungen. So ist er häufig nur bei kleinen Temperaturänderungen linear und zeigt bei Phasenwechseln sogar sprunghafte Änderung (wie zum Beispiel beim Schmelzen von Verbindungen, dem elektrischen Durchschlag in Gasen oder dem Erreichen von Sprungtemperaturen wie bei Supraleitern).

In Metallen ist $ n $ konstant, aber die Beweglichkeit nimmt mit steigender Temperatur ab wegen zunehmender Stöße mit den Atomen bzw. wegen dadurch sinkendem τ. Also sinkt auch die Leitfähigkeit.

Beispiel: Eine elektrische Glühlampe ist im ausgeschalteten Zustand kalt und damit gut leitfähig. Im Augenblick des Einschaltens fließt zunächst ein hoher Einschaltstrom, der bis zu zehnmal größer sein kann als der spätere Betriebsstrom. Dadurch wird die Glühwendel erhitzt, erhöht ihren Widerstand und der Strom sinkt auf das Normalniveau. Grobe Faustregel: Pro Grad Temperaturerhöhung steigt der Widerstand um 1/273 seines Wertes. Glühlampen werden manchmal (statt zur Lichterzeugung) zur Strombegrenzung in elektronischen Schaltungen verwendet, z. B. in Lautsprecherverstärkern. Kleine Glühlampen können auch zur Verstärkungs- bzw. Amplitudenregelung in Wien-Brückensinusgeneratoren auf Grund ihres positiven Widerstands-Temperaturkoeffizienten verwendet werden.

In Halbleitern nimmt die Beweglichkeit zwar aus demselben Grund ab, aber die Ladungsträgerdichte kann sich auch verändern. Im Bereich der Störstellenreserve und Eigenleitung steigt sie überproportional (genauer: exponentiell) durch Anregung von Elektronen ins Leitungsband. Im Bereich der Störstellenleitung bleibt die Ladungsträgerdichte dagegen annähernd konstant. Die Leitfähigkeit kann also mit der Temperatur stark steigen oder leicht sinken und hängt somit auch von der Dotierung ab.

Eine praktische Anwendung der Temperaturabhängigkeit bei Halbleitern ist die Temperaturmessung mit Hilfe einer stromdurchflossenen Diode, ihr Durchgangswiderstand reagiert sehr empfindlich auf kleine Temperaturänderungen. Dafür werden im industriellen Bereich für Mess-, Steuer- und Regelsysteme jedoch vor allem Heißleiter und Kaltleiter eingesetzt, welche als Elektronikkomponenten die Änderung des elektrischen Widerstandes mit der Temperatur ausnutzen. Bei Heißleitern verringert sich der Widerstand mit steigender Temperatur, bei Kaltleitern erhöht sich dieser.

In Supraleitern sinkt unterhalb der Sprungtemperatur der Widerstand auf Null, verschwindet also. Beim Überschreiten der Sprungtemperatur tritt der Widerstand genauso plötzlich wieder auf, was bei stromdurchflossenen Spulen aus Supraleitern zur Zerstörung durch Quenchen, also massive Überhitzung der betroffenen Stelle führen kann.

In Gasen, Lösungen und Elektrolyten ist der Widerstand stark temperaturabhängig, da dort die Beweglichkeit der Ionen und die Anzahl der Ladungsträger (da bei schwachen Elektrolyten der Dissoziationsgrad ebenfalls stark temperaturabhängig ist) mit steigender Temperatur stark zunimmt. In der Regel steigt die Ladungsträgerbeweglichkeit mit der Temperatur und der Widerstand wird kleiner.^[5]

Literatur

• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics. Saunders College Publishing, New York 1976, ISBN 0-03-083993-9.

Weblinks

• Elektronik-Kompendium
• Kontaktlose Messung der elektrischen Leitfähigkeit von Fluessigkeiten. (u.A. Versuche zum Rückschluss auf die Leitfähigkeit durch die frequenzbestimmende Dielektrizitätskonstante der Lösung in einem Schwingkreis).
• Bänder von ThyssenKrupp VDM. Qualität am laufenden Band.. ThyssenKrupp VDM, 1. Oktober 2010 (Elektrische Leitfähigkeiten bzw. spezifische Widerstände für verschiedene Edelstähle; PDF-Datei; 2,07 MB)

Einzelnachweise