Stromdichte
| Physikalische Größe | |||||||
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| Name | Elektrische Stromdichte; Leitungsstromdichte | ||||||
| Formelzeichen der Größe | $ {\vec {J}} $, $ {\vec {j}} $, $ {\vec {S}} $ | ||||||
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Die Stromdichte (Formelzeichen in Deutschland $ {\vec {J}} $, $ {\vec {j}} $ und $ {\vec {S}} $) kennzeichnet die Verteilung des elektrischen Stromes in einem Leiter und dient als Maß für dessen elektrische Belastbarkeit.
Weiterhin wird der Begriff Stromdichte analog auch bei Gasentladungen und Elektronenstrahlen sowie der Belastung von Elektroden und Glühkathoden verwendet.
Die Stromdichte ist definiert als das Verhältnis der Stromstärke $ I\!\, $ zur Querschnittsfläche $ A\!\, $, durch die der Strom tritt.
Je größer die Stromdichte, umso mehr erwärmt sich der Leiter.
Klassische Definition
Allgemein gilt:
- $ I=\int _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}} $[1]
Damit lässt sich die Stromdichte schreiben als:
- $ {\vec {J}}=nq{\vec {v_{d}}}=\rho _{\mathrm {el} }{\vec {v_{d}}}={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} V}}=I{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} V}} $
Wobei
- $ I $ der elektrische Strom,
- $ A $ die durchflossene Fläche (und zwar als der Vektor, der senkrecht auf A steht und die Länge des Betrags der Fläche von A hat),
- $ n $ die Anzahl der Ladungsträger pro Einheitsvolumen [n] = 1/m3 (Ladungsträgerkonzentration),
- $ q $ die Ladung eines einzelnen Ladungsträgers,
- $ v_{d} $ die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger,
- $ \rho _{\mathrm {el} }({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}} $ die Ladungsdichte,
- $ Q $ die Gesamtladung im Volumen,
- $ V $ das zu betrachtende Volumen,
- $ {\vec {x}} $ der Ort,
- $ t $ die Zeit
sind.
Die Stromdichte ist also eine vektorielle Größe, deren Richtung mit der des Geschwindigkeitsvektors $ v_{d} $ der Ladungsträger übereinstimmt.
Bei räumlich konstanter Stromdichte vereinfacht sich die Definition zu $ I={\vec {J}}\cdot {\vec {A}} $. Das Skalarprodukt reduziert sich im Rahmen einfacher Modellrechnungen bei senkrecht durchflossener Fläche (wie im Bild) zu einer gewöhnlichen Multiplikation: $ I=JA $.
Folgerungen aus der Definition
Der Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstärke heißt ohmsches Gesetz und lautet $ {\vec {J}}=\sigma \cdot {\vec {E}} $, wobei $ \sigma $ die elektrische Leitfähigkeit (engl: conductivity) des umgebenden Mediums ist und $ {\vec {E}} $ die elektrische Feldstärke .
Mit Hilfe des Gaußschen Satzes
- $ \oint {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\int \operatorname {div} {\vec {J}}\mathrm {d} V $
erhält man die Kontinuitätsgleichung
- $ \operatorname {div} {\vec {J}}({\vec {x}},t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{\mathrm {el} }({\vec {x}},t) $,
die besagt, dass Ladungen weder erzeugt, noch vernichtet werden können.
Die vektoriell ausgedrückte Stromdichte findet sich angewandt zum Beispiel in den Maxwellgleichungen.
Flächenstromdichte und Linienstrom
Analog zur Stromdichte in einem Körper lässt sich die Stromdichte auch auf zweidimensionale Flächen beziehen. Diese Annahme ist sinnvoll, wenn man etwa die Oberflächenleitung von elektrischen Leitern beschreiben will. Der Gesamtstrom $ I $ ist die Summe der einzelnen Flächenströme. Die Flächenstromdichte $ K $ erhält man durch Bezug des gesamten Stromes auf die Breite $ b $ der einzelnen Fläche:
- $ K={\frac {I}{b}} $
Die elektrische Stromstärke kann darüber hinaus auch als Summe von Linienströmen in einem Punkt betrachtet werden, woraus auch die erste Kirchhoffsche Regel folgt:
- $ I(P)=\sum _{l}I_{l}\, $
Beispiel 1
Wenn homogene Querschnittsverhältnisse vorliegen und der Strom I die Fläche A unter einem Winkel von 90° durchsetzt, gilt vereinfacht:
- $ J={\frac {I}{A}} $
Die Stromdichte J beträgt bei einem Strom der Stromstärke I von 1 A (Ampere) innerhalb eines Leiters mit der Querschnittsfläche A von 10 mm²
- $ J={\frac {I}{A}}={\frac {1\ \mathrm {A} }{10\ \mathrm {mm^{2}} }}=0{,}1\ \mathrm {A \over mm^{2}} $
Ein technisch wichtiger Stromleiter ist Kupfer. Die Stromdichte wird im Allgemeinen auf 6 A/mm² ausgelegt, damit unter Dauerlast keine unzulässige Erhitzung vorkommt. Aufgrund der mit dem Stromfluss verbundenen Wärmeerzeugung und dem somit steigenden Widerstand, ist die maximale Stromdichte begrenzt, unter ungünstigen Voraussetzungen kann sie jedoch bis zur Schmelzstromdichte von 3060 A/mm²[2] ansteigen. In Schmelzsicherungen wird die Erhitzung genutzt, um den Strom zu unterbrechen. Nach VDE 0298-4:2003-08, Tabelle 11 und Spalte 5 beträgt der maximal zulässige Strom von Leitern 12 A bei einer Querschnittsfläche von 0,75 mm², 15 A bei 1,0 mm² sowie 26 A bei 2,5 mm².
In der Galvanotechnik bezeichnet die Stromdichte den elektrischen Strom pro Flächeneinheit, der für die Beschichtung eingestellt wird. Die übliche Einheit ist hier A/dm2, weil sich dadurch kleine, anschauliche Zahlen zwischen 0,5 und 5 ergeben. Verfahrensspezifisch gibt es typische Stromdichten, die eingehalten werden müssen, um z.B. bei einer Verzinkung oder Vernickelung gute Ergebnisse zu erhalten.
Beispiel 2
Auch bei Brennstoffzellen spielt die Stromdichte eine entscheidende Rolle. In einer Brennstoffzelle wird in einer Flächenreaktion chemische Energie elektrochemisch in elektrische Energie (elektrischen Strom I) und Wärme umgewandelt. Um die Leistung von Brennstoffzellen mit unterschiedlicher aktiver Fläche besser miteinander vergleichen zu können, wird der von der Zelle produzierte elektrische Strom durch die aktive Fläche geteilt. Das Ergebnis ist die Stromdichte J:
- $ J={\frac {I}{A}}={\frac {100\ \mathrm {A} }{200\ \mathrm {cm^{2}} }}=0{,}5\ \mathrm {A \over cm^{2}} $
Definition in der Quantenfeldtheorie
Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitsstromdichte
Die Stromdichte in einem komplexen Skalarfeld $ \varphi $ ist definiert durch:
- $ J^{\mu }=i\left(\varphi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\varphi -\partial ^{\mu }\varphi ^{\dagger }\varphi \right) $
Literatur
- H. Lindner, H. Brauer, C. Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik. 8., neu bearbeitete Auflage, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München 2004, ISBN 3-446-22546-3.
Siehe auch
- Teilchenstromdichte
- Diffusionsstromdichte