Ladungsdichte

Die elektrische Ladungsdichte ist eine physikalische Größe aus der Elektrodynamik, die eine Ladungsverteilung beschreibt. Da es sowohl positive als auch negative Ladungen gibt, sind für die Ladungsdichte ebenfalls sowohl positive wie negative Werte möglich.

Da Ladungen auch an Oberflächen oder etwa entlang eines dünnen Drahtes verteilt sein können, kann die Ladungsdichte beschreiben:

• die Ladung pro Volumen (Raumladungsdichte ρ)
• die Ladung pro Fläche (Oberflächenladungsdichte σ)
• die Ladung pro Länge (Linienladungsdichte λ) .

Die erreichbare Oberflächenladungsdichte wird durch Koronaentladung in die umgebende Luft begrenzt, wenn die maximale Feldstärke von 10⁵ V/m überschritten wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_\mathrm{max} = 2\cdot E_\mathrm{max} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \approx 1,8 \cdot 10^{-6} \mathrm{As/m^2}.

Damit trägt jeder negativ geladene Quadratzentimeter die Überschussladung 1,8·10^-10 As, was 1,1·10⁹ frei beweglichen Elektronen entspricht. Etwa eine Million mal mehr Elektronen sind an die Atomrümpfe der Metalloberfläche gebunden (Siehe auch Influenz#Anzahl der beteiligten Elektronen).

Ähnliche Größen

Eine mit der Oberflächenladungsdichte σ korrespondierende Größe ist die elektrische Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec D (auch elektrische Erregung, dielektrische Verschiebung oder Verschiebungsdichte genannt), ein senkrecht auf der betreffenden Fläche stehender Vektor; dagegen ist σ ein Skalar (und unter bestimmten Umständen gleich dem Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec D| ).

Nicht mit der Ladungsdichte zu verwechseln sind außerdem die Ladungsträgerdichte, also die Anzahl der Protonen, Elektronen usw. pro Raum-, Flächen- oder Längeneinheit, sowie die in der Dichtefunktionaltheorie berechnete Elektronendichte.

Definition

Die Definition der Raumladungsdichte ähnelt der der Massendichte:

$ \rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\Leftrightarrow Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V $,

wobei Q die elektrische Ladung und V das Volumen ist.

Bei der Flächen- und der Linienladungsdichte wird entsprechend nach der Fläche A bzw. nach der Länge l abgeleitet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma(\vec r) = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d A} \Leftrightarrow Q = \int_A \sigma(\vec r)\, \mathrm d A

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda(\vec r) = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d l} \Leftrightarrow Q = \int_l \lambda(\vec r)\, \mathrm d l.

Diskrete Ladungsverteilung

Besteht die Ladung in einem Volumen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N diskreten Ladungsträgern (wie z. B. Elektronen), so kann die Ladungsdichte mit Hilfe der Delta-Distribution ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec r) = \sum_{i=1}^N q_i \cdot \delta(\vec r - \vec r_i)

mit

• der Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q_i und
• dem Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_i des $ i $-ten Ladungsträgers.

Tragen alle Ladungsträger die gleiche Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q (bei Elektronen gleich der negativen Elementarladung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q = -e ), so kann man obige Formel mit Hilfe der Ladungsträgerdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n(\vec r) vereinfachen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \rho(\vec r) & = q \cdot \sum_{i=1}^N \delta(\vec r - \vec r_i)\\ & = q \cdot n(\vec r). \end{align}

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential hängt gemäß der Poisson-Gleichung der Elektrostatik

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi(\vec r) = -\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon}

nur von der Ladungsdichte ab. Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon die Permittivität.