Elektrische Flussdichte
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| Physikalische Größe | ||||||||||
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| Name | Elektrische Flussdichte | |||||||||
| Formelzeichen der Größe | $ {\vec {D}} $ | |||||||||
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Die elektrische Flussdichte – auch elektrische Erregung, dielektrische Verschiebung oder Verschiebungsdichte genannt – beschreibt die Dichte der elektrischen Feldlinien in Bezug auf eine Fläche A. Sie ist eine physikalische Größe der Elektrostatik und Elektrodynamik, bezeichnet mit dem Formelzeichen$ {\vec {D}} $ und gemäß dem internationalen Einheitensystem in der Einheit Coulomb pro Quadratmeter (C/m²) angegeben.
Darin mit der Flächenladungsdichte σ übereinstimmend, ist die elektrische Flussdichte jedoch – anders als jene – eine vektorielle, also gerichtete Größe.
Herrscht zwischen zwei Punkten $ P_{1} $ und $ P_{2} $ im Raum eine elektrische Spannung, so spricht man von unterschiedlichen Potentialen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2 . Dazwischen liegen so genannte Äquipotentialflächen. Dies sind geschlossene Flächen mit jeweils konstantem Potential. Im rechten Winkel zu diesen Äquipotentialflächen stehen die elektrischen Flusslinien. Per Definition sind die positiven Ladungen die Quelle des elektrischen Flusses, die negativen Ladungen sind die Senke.
Der elektrische Fluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{\Psi} , der durch eine beliebige Fläche A hindurchtritt, ist gleich dem Flächenintegral der elektrischen Flussdichte D. Dabei trägt nur jener elektrische Flussanteil, der normal zur Fläche A steht, zum elektrischen Fluss durch die Fläche A bei. Mathematisch wird dieser Umstand mittels Vektoren und durch die Operation des Skalarprodukts (inneren Produkts) ausgedrückt als:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{\Psi} = \int \limits_A \vec{D} \cdot \mathrm{d} \vec{A}
Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche ist somit gleich der von dieser Fläche eingeschlossenen elektrischen Ladung.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \oint_{A} \vec{D}\;\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \int_V\rho\;\mathrm{d}V = Q
Die zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte steht als maxwellscher Verschiebungsstrom im erweiterten ampèreschen Gesetz.
Zusammenhang mit der elektrischen Feldstärke
Die elektrische Flussdichte lässt sich allgemein als Summe der Polarisation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P} und des Produktes der elektrischen Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} mit der elektrischen Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante/Permittivität des Vakuums) $ \varepsilon _{0}:=8{,}854187817\ldots \cdot 10^{-12}\mathrm {Fm} ^{-1} $ schreiben, also:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}
Im Fall des Vakuums verschwindet die Polarisation, daher steht die elektrische Flussdichte (auch Verschiebeflussdichte genannt) in einem einfachen Zusammenhang mit der elektrischen Feldstärke. Im freien Raum gilt:
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Im einfachsten Fall eines linearen, isotropen Mediums verändert sich der Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke um die relative Permittivität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_\mathrm{r} des Dielektrikums in dem die elektrische Flussdichte gemessen wird, so dass sich als allgemeiner Zusammenhang ergibt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{D} = \varepsilon_\mathrm{r} \varepsilon_0 \vec{E}
Im Fall eines anisotropen Mediums zeigt die elektrische Flussdichte nicht mehr notwendigerweise in Richtung der elektrischen Feldstärke. Hängen die beiden Größen linear zusammen, so lässt sich ein Tensor 2. Stufe als eindeutiger Proportionalitätsfaktor angeben.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{D} = \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} \varepsilon_0 \vec{E}
Eine Folge eines solchen Zusammenhangs ist die Doppelbrechung. Einkristalle zeigen typischerweise linear-anisotropes Verhalten. Ein Beispiel für nichtlineares Verhalten zwischen elektrischem Feld und Fluss stellen Ferroelektrika dar, die nach dem Anlegen eines hohen Feldes einen Teil ihrer Polarisation behalten.
Weitere Beispiele nichtlinearen Zusammenhanges zwischen elektrischer Flussdichte und elektrischer Feldstärke findet man in der nichtlinearen Optik.
Elektrische Flussdichte im Plattenkondensator
Im Plattenkondensator mit parallelen Platten zeigt die elektrische Flussdichte in Richtung der Flächennormale der Kondensatorplatten. Ihr Betrag ist dabei:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{D}| = \frac{Q}{A} .
Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q die Ladungsmenge eines Plattenkondensators und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A die Fläche der betreffenden Platten. Alternativ lässt sich das wegen der Proportionalität von elektrischer Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E und Flächenladungsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma = \tfrac{Q}{A} schreiben als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{D}| = \varepsilon_\mathrm{r} \varepsilon_0 |\vec{E}|