Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.
Mathematische Formulierung
Die Poisson-Gleichung lautet allgemein
- $ \Delta u=f. $
Dabei bezeichnet $ \Delta $ den Laplace-Operator und $ f $ eine Funktion. $ u $ ist die gesuchte Lösung. Ist $ f\equiv 0 $ wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.
Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, zum Beispiel in Form einer Dirichlet-Randbedingung:
- $ {\begin{cases}\Delta u=f&{\text{in}}\ \Omega \\u=g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}} $
mit $ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} $ offen und beschränkt.
In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung
- $ \Phi (x):={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}} $
der Laplace-Gleichung. $ \omega _{n} $ bezeichnet hierbei das Volumen der Einheitskugel im n-dimensionalen Euklidschen Raum. Durch die Faltung $ (\Phi *f) $ erhält man eine Lösung von $ \Delta u=f $.
Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die Greensche Funktion verwenden
- $ G(x,y):=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y) $
$ \phi ^{x} $ ist dabei eine Korrekturfunktion, die
- $ {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}} $
erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von $ \Omega $ abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.
Kennt man $ G(x,y) $, so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben durch
- $ u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y $
gegeben, wobei $ \sigma $ das Oberflächenmaß auf $ \partial \Omega $ bezeichne.
Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder eines Variationsansatzes finden.
Anwendungen in der Physik
Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential. Dabei ist $ f $ proportional zur elektrischen Ladungsdichte beziehungsweise zur Massendichte.
Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte $ f $ ist die Lösung der Poisson-Gleichung $ \Phi $, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral
- $ \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \,{\frac {f(\mathbf {y} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,. $
Jede Ladung $ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \,f(\mathbf {y} ) $ am Ort $ \mathbf {y} $ im kleinen Gebiet der Größe $ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} $ trägt additiv zum Potential am Ort $ \mathbf {x} $ mit ihrem Coulomb-Potential (oder Kepler-Potential)
- $ {\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \,f(\mathbf {y} )}{4\,\pi \,|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}} $
bei.
Elektrostatik
Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials $ \Phi (\mathbf {r} ) $ ausgedrückt werden, mit
- $ \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ). $
Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich
- $ \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\Delta \Phi (\mathbf {r} ). $
Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch
- $ \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}, $
wobei $ \rho (\mathbf {r} ) $ die Ladungsdichte und $ \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0} $ die Permittivität sind.
Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes
- $ \Delta \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}. $
Gravitation
Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu
- $ \mathbf {g} =-{\frac {GM}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}. $
Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann
- $ {\begin{aligned}\oint _{A}\mathbf {g} \,\mathrm {d} \mathbf {A} &=-\oint _{A}{\frac {GM}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\,\mathbf {n} \,\mathrm {d} A\\&=-\oint _{A}{\frac {GM}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\mathrm {d} A\\&=-\oint _{A}{\frac {GM}{r^{2}}}\mathrm {d} A,\end{aligned}} $
wobei $ \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r}} $ der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt
- $ \mathrm {d} A=r^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi , $
woraus folgt:
- $ {\begin{aligned}-\oint _{A}{\frac {GM}{r^{2}}}\mathrm {d} A&=-\oint _{A}{\frac {GM}{r^{2}}}r^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=-\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }GM\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=-4\pi GM.\end{aligned}} $
Aus einer durch eine Massendichte $ \rho (\mathbf {r} ) $ beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu
- $ M=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathrm {d} V. $
Damit folgt
- $ -4\pi GM=-4\pi G\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathrm {d} V. $
Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch
- $ \oint _{A}\mathbf {g} \,\mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,\mathrm {d} V $
und somit
- $ \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,\mathrm {d} V=-4\pi G\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathrm {d} V. $
Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass
- $ \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho (\mathbf {r} ) $
ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung
- $ \mathbf {g} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ) $
gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu
- $ \Delta \Phi (\mathbf {r} )=\nabla (\nabla \Phi (\mathbf {r} ))=-\nabla \cdot \mathbf {g} =4\pi G\rho (\mathbf {r} ), $
wobei sich das Minuszeichen weghebt.
Quellen
- Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 1. Springer, Berlin u. a. 1924 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 12), (4. Auflage. ebenda 1993, ISBN 3-540-56796-8).
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).
