Kontinuitätsgleichung
Eine Kontinuitätsgleichung ist die mathematische Fassung der philosophischen Annahme „Von nichts kommt nichts“. Sie ist eine bestimmte partielle Differentialgleichung, die zu einer Erhaltungsgröße gehört (siehe unten) und die zeitliche Änderung der zu dieser Größe gehörigen Dichte
Zur mathematischen Definition von
Zusammenhang mit einer Erhaltungsgröße
Die in einem Volumen V enthaltene „Ladung“ (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, dass unausgeglichene Ströme aus der Oberfläche des Volumens hinausfließen. Demnach ändert sich die Gesamtladung für
Denn die zeitliche Änderung der Ladung
ist wegen der Kontinuitätsgleichung nach dem Integralsatz von Gauß
gleich dem Flächenintegral über die Randfläche
Die Kontinuitätsgleichung tritt in allen Feldtheorien der Physik auf. Die erhaltenen Größen können, wie in den folgenden Beispielen, die Masse, die elektrische Ladung, die Energie, der Impuls, die Wahrscheinlichkeit und einige Teilchenzahlen (Leptonenzahl, Baryonenzahl) sein.
Hydrodynamik
Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte
die zugehörige Stromdichte, und die Kontinuitätsgleichung lautet
Für die zeitliche Änderung der Dichte bei einem Teilchen, das die Bahn
Entlang einer Trajektorie ändert sich also die Dichte mit der Divergenz der Strömung
Elektrodynamik
In der Elektrodynamik ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte
In Halbleitern beschreibt die Verletzung der Kontinuitätsgleichung
die Änderung der Raumladungsdichte
Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt (in CGS-Einheiten) für die Energiedichte
und die Energiestromdichte (auch Poynting-Vektor)
nahezu eine Kontinuitätsgleichung:
Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte
Die Kontinuitätsgleichung für die elektromagnetische Feldenergie ist der Satz von Poynting.
In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik mit Minkowski-Vektoren fasst man cρ und j zu einem Vierervektor zusammen
Quantenmechanik
In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, wie etwa ein einzelnes Elektron, durch eine Wellenfunktion
Das Betragsquadrat
gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit
gilt als Folge der Schrödingergleichung die Kontinuitätsgleichung
- .
Weitere Anwendungen: Allgemeine Erhaltungsgrößen
Man erkennt an der Analogie zum „elektrischen“ Fall, dass Kontinuitätsgleichungen immer dann gelten müssen, wenn eine ladungsartige Größe und eine stromartige Größe wie oben angegeben zusammenhängen. Als weiteres konkretes Beispiel könnte man etwa den in der Thermodynamik wichtigen Wärmestrom angeben. Die „Ladungsdichte“ muss bei Integration über den Gesamtraum eine Erhaltungsgröße ergeben, z. B. die elektrische Gesamtladung, bzw. - im Falle der Quantenmechanik - die Gesamtwahrscheinlichkeit, 1, oder im dritten Fall, die gesamte zugeführte Wärme, bei Systemen, deren Wärmeinhalt als „erhalten“ angesehen werden kann (z.B. Wärmediffusion).
Literatur
- Batchelor, G.K.: An introduction to fluid dynamics, Cambridge university press, 2000, ISBN 0521663962
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ Bei der Herleitung wird u.a. die Divergenz der sog. Maxwellschen Ergänzung
gebildet und die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitung mit dem Divergenzoperator benutzt. - ↑ Torsten Fließbach: Elektrodynamik Spektrum Akademischer Verlag, 3. Auflage, S. 159
- ↑ Um die Eichinvarianz der Theorie zu gewährleisten, muss man zu j eigentlich noch einen Term proportional zum Vektorpotential A hinzufügen:
Üblicherweise setzt man wenn kein Magnetfeld auftritt. Dies ist aber auch dann nicht notwendig.