Wellenfunktion

Die Wellenfunktion $ \psi \,\! $ beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum, ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Die quantenmechanische Wellenfunktion ist die – meist komplexe – Lösung einer Wellengleichung, vor allem der besonders wichtigen Schrödingergleichung. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen im Orbitalmodell) oder freie Teilchen (z. B. als Wellenpaket) beschreiben. Bei Teilchensystemen bezeichnet man eine solche Lösung auch als Vielteilchen-Wellenfunktion.

Quantenteilchen als Welle

Dass die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplex ist, spiegelt u. a. wider, dass $ \psi (\mathbf {r} ,t) $ nicht die reale physikalische Bedeutung zukommt wie etwa der elektrischen Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Epsilon}(\mathbf{r},t) einer Lichtwelle in klassischer Optik bzw. Elektrodynamik (in der Quantenelektrodynamik kommt auch der Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf E keine reale physikalische Bedeutung zu). In der Quantenmechanik dienen Wellenfunktionen zur mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Die Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\mathbf{r},t) eines Quantenteilchens kann etwa die Form einer ebenen Welle besitzen (freies Teilchen):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\mathbf{r},t) = A_0 \cos\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right) ,

wobei

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{r} der Ortsvektor,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_0 die (komplexwertige) Amplitude,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{k} der Wellenvektor und
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega die Kreisfrequenz ist.

In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen als Lösung der Schrödingergleichung bzw. muss die Wellenfunktion stets eine Lösung der Schrödingergleichung sein. Teilchen mit inneren Eigenschaften werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Normierungsbedingung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Im Unterschied zur Klassischen Physik ist eine exakte Aussage über den Aufenthaltsort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{r} eines Teilchens im Allgemeinen nicht möglich (Heisenbergsche Unschärferelation). Ausgehend von der Existenz des Quantenteilchens muss es sich (zu jeder Zeit) irgendwo aufhalten, weshalb dessen Wellenfunktion die Normierungsbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{\text{Raum}}^{} \psi\psi^*\, \mathrm dV=1 erfüllen muss (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi^* ist die komplex konjugierte Funktion zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi ). Dies führt zur differentiellen Wahrscheinlichkeit dP, das Teilchen am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{r}=(x, y, z) im Volumenelement $ \mathrm {d} V\,=\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z $ anzutreffen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm dP(x, y, z)=\psi\psi^*\, \mathrm dV .

Für eine normierte Wellenfunktion gibt das Betragsquadrat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi|^2=\psi\psi^* also die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{r} zur Zeit t an. Für Teilchen-Wellenfunktionen im Ortsraum ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über einen Ortsbereich (ein Intervall im Raum) die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen (z. B. Elektron) in diesem Raumbereich zu finden.

Definition

Eine Wellenfunktion bezieht sich auf jeden Vektor oder jede Funktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, indem sie es als Entwicklung nach anderen Zuständen desselben Systems darstellt.

Typische Wellenfunktionen sind entweder:

• Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit endlich vielen Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} ,

• Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit abzählbar unendlich vielen Komponenten (diskreter Index):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix} ,

• oder eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer stetig veränderlicher reeller Variablen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x_1, \, \ldots \, x_n) .

In allen Fällen liefert die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung des betreffenden physikalischen Systems. Es ist allerdings wichtig anzumerken, dass eine einem bestimmten System zugeordnete Wellenfunktion das System nicht eindeutig bestimmt, vielmehr können viele verschiedene Wellenfunktionen das gleiche physikalische Szenario beschreiben.

Teilcheninterpretation

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer Raumdimension

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x)\, über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi|^2\, , wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a, b] zu finden, ist folglich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \quad .

Dies führt zu der Normierungsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \,\stackrel{!}{=}\, 1 \quad

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei Raumdimensionen

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x, y, z)\, definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R zu finden, ist deshalb

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_R |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV .

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV = 1

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\, ,

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi|^2\, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_R \int_S |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm dV_1 = \mathrm dx_1 \mathrm dy_1 \mathrm dz_1 und ebenso für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm dV_2 . Die Normierungsbedingung ist deshalb

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1 = 1 ,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(p)\, definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi|^2\, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a, b] ergibt, ist folglich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp\quad .

Dies führt zur Normierungsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp = 1 ,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin 1/2- Teilchen (z. B. Elektron)

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} .

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_2 den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung (spin up) und entgegen der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle = c_1 | \uparrow_z \rangle + c_2 | \downarrow_z \rangle

Die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |c_1|^2 \, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |c_2|^2 \, werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung oder entgegen der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\, .

Grundsätzliche Interpretation der Vektor-Darstellung

Wellenfunktionen lassen sich als Elemente eines Vektorraums auffassen (Hilbertraum). Eine Wellenfunktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, kann durch Linearkombination von anderen Zuständen desselben Systems beschrieben werden. Wir bezeichnen den Zustand des betrachteten Systems als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle\, und die Zustände, in die es entwickelt wird, als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \phi_i \rangle . Die letzteren Zustände sollen eine Basis des Vektorraums darstellen. Im Folgenden werden alle Wellenfunktionen als normiert angenommen.

Endliche Vektoren

Eine vektorielle Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Komponenten beschreibt, wie man den Zustand des physikalischen Systems Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle als lineare Kombination endlich vieler Grundelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \phi_i \rangle , welche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n laufen, ausdrückt. Insbesondere ist die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} ,

welche eine Relation zwischen Spaltenvektoren ist, gleichwertig mit der Basiszerlegung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle ,

welche eine Relation zwischen den Zuständen eines physikalischen Systems ist. Zu beachten ist, dass man beim Wechsel zwischen diesen Ausdrücken die verwendete Basis kennen muss, und folglich zwei Spaltenvektoren mit den gleichen Komponenten zwei verschiedene Systemzustände repräsentieren, wenn die zugrundegelegten Basiszustände verschieden sind. Ein Beispiel einer endlichen, vektoriellen Wellenfunktion ist gegeben durch den Spinzustand eines Teilchens mit Spin 1/2, wie oben beschrieben.

Die physikalische Bedeutung der Komponenten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi ist durch das Postulat des Zusammenbruchs der Wellenfunktion gegeben:

Wenn den Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \phi_i \rangle eindeutige, endliche Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i diskret-wertiger dynamischer Variablen entsprechen (z. B. Komponenten von Bahndrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathcal L} , Spindrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathcal S} und Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathcal J}:=\vec{\mathcal L}+\vec{\mathcal S} ), und diese Variablen in einem System im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi \rangle = \sum_i c_i | \phi_i \rangle gemessen werden,

dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_k zu messen, gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |c_k|^2 , und wenn die Messung den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_k ergibt, dann nimmt das System unmittelbar danach den Zustand $ |\phi _{k}\rangle $ an.

(Impuls- und Ortsvariable haben dagegen ein kontinuierliches Spektrum. Bei ihnen ist die Basiszerlegung durch ein Integral gegeben, das heißt, die obige Summendarstellung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle ist durch ein Integral Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle =\int {\rm d}\kappa\, c(\kappa )\,|\kappa\rangle zu ersetzen, und die Wahrscheinlichkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |c_k|^2 durch Ausdrücke der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d\kappa |c(\kappa ) |^2 .)

Unendliche Vektoren

Der Fall unendlicher Vektoren mit diskretem Index wird genauso behandelt wie ein endlicher Vektor, mit der Ausnahme dass die Summe über alle (unendlich viele) Basiselemente ausgedehnt wird. Folglich ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}

äquivalent zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi \rangle = \sum_{i} c_i | \phi_i \rangle ,

wobei in der obenstehenden Summe alle Komponenten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \psi berücksichtigt sind. Die Interpretation der Komponenten ist die gleiche wie im endlichen Fall (ebenso wie das Kollapspostulat).

Stetig indizierte Vektoren (Funktionen)

Falls der Index nicht diskret, sondern stetig ist, wird die Summe durch ein Integral ersetzt; ein Beispiel dafür ist die örtliche Darstellung der Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension, welche den (abstrakten) Zustand des Teilchens $ |\psi \rangle $ in einer speziellen Ortsbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x\rangle darstellt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\,| x \rangle\,\mathrm dx .

Dabei ist der Zustandsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle nicht zu verwechseln mit seiner „Komponenten-Darstellung“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x)=\langle x|\psi\rangle im Ortsraum. Der erstere Ausdruck bezeichnet den Zustand des Teilchens abstrakt, und ohne Bezug auf eine spezielle Basisdarstellung, während der letztere die Wellenfunktion im Ortsraum bezeichnet, welche als Superposition der Basiszustände mit definierten Positionen interpretiert wird. Die Basiszustände können auch als Integral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \,\delta(x - x')\, |x'\rangle\,\mathrm dx'

formuliert werden. Damit kann eine zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x_0\rangle gehörende Wellenfunktion im Ortsraum auch als Delta-Distribution $ \delta (x-x_{0}) $ geschrieben werden. Man beachte, dass letztere jedoch nicht als gewöhnliche Wellenfunktion im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen enthalten ist.

Formalismus

Bei einem gegebenen isolierten physikalischen System sind die erlaubten Zustände (also die Zustände, die das System einnehmen kann, ohne die Gesetze der Physik zu verletzen) eine Teilmenge eines Vektorraums H, des Hilbert-Raums. Konkret ist diese Teilmenge die Menge aller Vektoren mit der Länge 1, also die Einheitskugel um den Ursprung. Dies folgt aus der Tatsache, dass alle physikalisch erlaubten Zustände normiert sind. Daraus folgt:

• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \phi \rangle zwei erlaubte Zustände sind, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha | \psi \rangle + \beta | \phi \rangle ebenfalls ein erlaubter Zustand genau dann wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha|^2 + |\beta|^2 =1 gilt (Normierung).

• Wegen der Normierung kann für den Vektorraum H stets eine Orthonormalbasis aus physikalisch erlaubten Zuständen gefunden werden.

In diesem Zusammenhang kann die Wellenfunktion eines bestimmten Zustands als Entwicklung des Zustandes auf einer Basis des Vektorraums $ H $ betrachtet werden. Zum Beispiel ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ |\uparrow_z \rangle, |\downarrow_z \rangle \}

eine Basis des Raums, der ein Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt, und daraus folgt, dass der Spinzustand eines solchen Teilchens durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a|\uparrow_z \rangle + b|\downarrow_z \rangle eindeutig beschrieben wird.

Es ist üblich, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H mit einem inneren Produkt (Skalarprodukt) zu versehen, wobei die Art des inneren Produkts von der verwendeten Basis abhängt. Wenn es abzählbar viele Basiselemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ | \phi_i \rangle \}\, , welche alle zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H gehören, gibt, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H mit dem eindeutigen inneren Produkt, welches diese Basis orthonormal macht, versehen, z. B.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}.

Wenn das geschehen ist, ist das innere Produkt von $ |\phi _{i}\rangle $ mit der Entwicklung eines beliebigen Vektors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \phi_i | \sum_j c_j | \phi_j \rangle = c_i .

Der Koeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_i der Entwicklung des Zustandes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle in die Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ | \phi_i \rangle \}\, ergibt sich also durch Projektion auf den Basisvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \phi_i \rangle .

Wenn die Eigenwerte ein Kontinuum bilden, was zum Beispiel bei der Orts- oder Koordinaten-Basis der Fall ist, lässt sich aus den entsprechenden Eigenzuständen kein Hilbertraum aufbauen, da diese Eigenzustände nicht quadratintegrabel sind. Durch Verwendung der Dirac'schen Delta-Distribution lässt sich jedoch für diese Basiszustände eine verallgemeinerte Orthonormalisierungsbedingung formulieren. Derartige Basen werden auch als uneigentliche Basen bezeichnet. Ein Beispiel dafür ist die oben erwähnte Entwicklung der räumlichen Wellenfunktion eines Teilchens in Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ | x \rangle \} mit bestimmter Position Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x , mit der Dirac-Normalisierung

$ \langle x|x'\rangle =\delta (x-x') $

so dass die analoge Identität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle x | \int \psi(x') | x' \rangle \,\mathrm dx' = \int \psi(x') \delta(x - x')\,\mathrm dx' = \psi(x)

erfüllt ist.

Siehe auch

• Boson – Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.
• Fermion – Teilchen mit antisymmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.
• Dimension (Physik)
• Dimension (Mathematik)
• Austauschwechselwirkung

Weblinks

• Schrödingers Katze
• Normierung einer Wellenfunktion anhand eines Beispiels

Quelle

Der Text ab dem Abschnitt Definition basiert auf einer Übersetzung des Artikels aus der englischsprachigen Wikipedia, en:Wave function, Version vom 12. März 2006.