Gebundener Zustand

Ein gebundener Zustand oder ein Bindungszustand ist in der Physik ein Verbund aus zwei oder mehr Körpern oder Teilchen, die sich wie ein einziges Objekt verhalten. Die Abgrenzung kann gegenüber dem Zustand gelten, in dem ein einzelnes Teilchen (elementar oder zusammengesetzt) von den anderen entfernt (frei) ist, oder auch gegenüber dem Fall, dass sämtliche Teile des Ganzen voneinander entfernt sind (dispers).

In der Quantenmechanik ist (sofern die Teilchenzahl erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im Hilbertraum, der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, dessen Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine Energie aufgewendet wird. Diese zum Lösen der Bindung nötige Energie heißt Bindungsenergie. Die Energieniveaus des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum von einzelnen Teilchen, diskret. Es gibt auch instabile gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine "Energiebarriere" vorhanden ist, die für den Zerfall durchtunnelt werden muss. Dies ist der Fall für einige Radionuklide in ihrem Grundzustand und allgemein für viele angeregte Zustände von Atomkernen.

Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem Potenzial existieren, wenn es eine stehende Wellenfunktion gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ.

In relativistischen Quantenfeldtheorien zeigt sich ein gebundener Zustand mit n Teilchen der Massen m₁, ..., m_n als ein Pol in der S-Matrix mit einer Ruhemasse die kleiner als m₁+...+m_n ist. Ein instabiler gebundener Zustand (siehe Resonanz) stellt sich als Pol mit komplexer Schwerpunktmasse dar.

Beispiele

Ein Überblick über die verschiedenen Familien von Elementarteilchen und zusammengesetzten Teilchen und der Theorien, welche ihre Wechselwirkungen beschreiben

Ein Proton und ein Elektron können sich unabhängig voneinander bewegen; als Gesamtsystem haben sie dann positive Energie. Bilden sie jedoch unter dem Einfluss der Coulombkraft einen gebundenen Zustand, das Wasserstoffatom, wird die Energie negativ. Dabei ist nur der Zustand mit der kleinsten (also negativsten) Energie, der Grundzustand, stabil. Alle anderen, angeregten, Zustände sind instabil und zerfallen in den Grundzustand. Dabei werden Photonen emittiert.
Ein Atomkern ist ein gebundener Zustand von Protonen und Neutronen.
Ein Positronium-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines Elektrons und eines Positrons. Es zerfällt in (meist) zwei Photonen.
Das Proton ist ein Bindungszustand von drei Quarks (zwei up und ein down); jeweils ein Quark hat die quantenchromodynamische Farbe rot, grün und blau. Anders als beim Wasserstoff können die einzelnen Quarks nie getrennt werden (Siehe Confinement).

Mathematische Struktur in der Quantenmechanik

Sei $$ H $$ ein komplex separabler Hilbertraum, $U=\lbrace U(t)\mid t\in \mathbb {R} \rbrace$ sei eine ein-parametrige Gruppe mit unitären Operatoren auf $$ H $$ und $\rho =\rho (t_{0})$ ein statistischer Operator auf $$ H $$ . Sei $$ A $$ eine Observable auf a $$ H $$ und $\mu (A,\rho )$ die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $$ A $$ in Bezug auf $\rho$ auf der Borel $\sigma$ -Algebra auf $\mathbb {R}$ . Die Entwicklung von $\rho$ induziert durch $$ U $$ wird gebunden in Bezug auf $$ A $$ genannt, wenn $\lim _{R\rightarrow \infty }\sum _{t\geq t_{0}}\mu (A,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})=0$ , wobei $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$ .

Beispiel: Sei $H=L^{2}(\mathbb {R} )$ und $$ A $$ die Orts-Observable. Sei $\rho =\rho (0)\in H$ mit einem kompaktem Träger und $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )$ .

Wenn die Zustandsentwicklung $\rho$ "das Wellenpaket konstant nach rechts bewegt", z.B. wenn $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ für alle $t\geq 0$ , dann $\rho$ in Bezug auf den Ort kein gebundener Zustand.

Wenn $\rho$ sich mit der Zeit nicht ändert, z.B. $\rho (t)=\rho$ für alle $t\geq 0$ , dann ist $\rho$ in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand.

Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von $\rho$ " $\rho$ nur innerhalb eines begrenzten Bereiches bewegt", dann ist $\rho$ ein gebundener Zustand bezogen auf den Ort.