Tunneleffekt

Reflexion an und Durchtunneln einer Potentialbarriere durch ein Wellenpaket. Ein Teil des Wellenpaketes geht durch die Barriere hindurch, was nach der klassischen Physik nicht möglich wäre.

Tunneleffekt ist in der Physik eine veranschaulichende Bezeichnung dafür, dass ein atomares Teilchen eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer als die Höhe der Barriere ist. Nach den Vorstellungen der klassischen Physik wäre dies unmöglich, nach der Quantenmechanik ist es möglich. Mit Hilfe des Tunneleffekts wird unter anderem der Alpha-Zerfall von Atomkernen erklärt. Technische Anwendungen sind beispielsweise das Rastertunnelmikroskop und der Flash-Speicher.

Entdeckung

Der Tunneleffekt wurde erstmals 1897 im Vakuum bei der Feldemission von Elektronen in einem Experiment von Robert Williams Wood beobachtet, der diesen Effekt allerdings noch nicht deuten konnte. Von den Forschern auf dem Gebiet der Radioaktivität waren es zuerst Julius Elster und Hans Friedrich Geitel, die 1899 vage den Verdacht äußerten, dass es sich bei einigen Formen der Radioaktivität um den Zerfall chemischer Elemente handeln könnte. 1902 formulierten Ernest Rutherford und sein Schüler Frederick Soddy eine Zerfallstheorie zur Erklärung der Radioaktivität. Diese Theorie wurde 1909 von Rutherford und Thomas Royds bestätigt, als sie nachweisen konnten, dass es sich bei Alphateilchen um zweifach positiv geladene Heliumionen handelt. 1926/27 hat Friedrich Hund den später so genannten Tunneleffekt (dessen Entdeckung meist George Gamow zugeschrieben wird) zuerst bei isomeren Molekülen entdeckt und beschrieben. 1926 legten Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin mit der nach ihnen benannten WKB-Methode den Grundstein für die quantenmechanische Erklärung von Tunnelprozessen. Mit dieser Methode konnten 1928 George Gamow bei seinem Aufenthalt bei Max Born in Göttingen , Ronald W. Gurney und Edward U. Condon den Alphazerfall und Ralph Howard Fowler und Lothar Wolfgang Nordheim die Feldemission von Elektronen erklären.^[1] 1929 entdeckte der schwedische Physiker Oskar Klein die Durchtunnelung von Barrieren mittels sehr schneller Teilchen.

Quantenmechanische Erklärung

Schematische Darstellung des Tunneleffekts:
Ein Teilchen trifft von links kommend auf eine Potentialbarriere. Die Energie des getunnelten Teilchens bleibt gleich, nur die Amplitude der Wellenfunktion wird kleiner und somit die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen aufzufinden.

Die quantenmechanische Betrachtungsweise geht von der Schrödingergleichung aus, einer Differentialgleichung für die Wellenfunktion $ \Psi $, die angibt, wo sich ein Teilchen aufhalten kann. Diese Wellenfunktion ist auch im „verbotenen“ Bereich, also innerhalb oder jenseits der Barriere, nirgends gleich Null, sondern klingt dort mit zunehmender Eindringtiefe exponentiell ab. Auch am Ende des verbotenen Bereiches ist ihr Wert also nicht Null. Da das Betrags-Quadrat der Wellenfunktion $ \left|\Psi \right|^{2} $ als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Teilchens interpretiert wird, gibt es eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit für das Teilchen, auf der anderen Seite der Barriere aufzutauchen.

Wie viele Effekte der Quantentheorie spielt auch der Tunneleffekt nur bei extrem kurzen Distanzen sowie sehr kurzen Zeitabschnitten oder hohen Energien eine Rolle.

Die Namensgebung Tunneleffekt trägt dem Umstand Rechnung, dass die Teilchen die Barriere klassisch nicht überwinden können, und man sich den Effekt, wenn überhaupt, eher als eine Art „Durchtunnelung“ der Barriere vorstellen muss.

Quantenmechanische Erscheinungen verleiten zu Überlegungen, die zwar richtig sind, aber nicht realistisch: Denn ein Kuriosum der Quantenmechanik ist, dass der Versuch, durch eine Hauswand hindurchzugehen, nicht zwangsläufig scheitert. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass jedes einzelne Teilchen im menschlichen Körper die Potentialbarrieren der Wand überwindet und sich anschließend auf der anderen Seite der Wand befindet. Diese Wahrscheinlichkeit ist allerdings unvorstellbar gering und hat in der Praxis keine Bedeutung, da die Wechselwirkung von Teilchen und Umgebung Dekohärenzeffekte hervorruft.

Auftreten und Anwendungen

Kernfusion in der Sonne

Druck und Temperatur im Innern der Sonne würden alleine nicht dafür ausreichen, dass Kerne für eine thermonukleare Fusion die Coulomb-Barriere überschreiten können. Durch den Tunneleffekt wird das Coulomb-Potential jedoch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit quantenmechanisch überwunden^[2]

Biologische Evolution

Der genetische Code ist unter anderem durch das Auftreten von Protonen-Tunneln in der DNA nicht vollständig stabil. Dadurch ist der Tunneleffekt mitverantwortlich für das Auftreten von Spontan-Mutationen^[3].

Alphazerfall

Auf dem Tunneleffekt beruht unter anderem der spontane, radioaktive Alphazerfall mancher Atomkerne. Nach der Theorie der klassischen Physik dürfte der Kern wegen der Energiebarriere der starken Wechselwirkung nicht zerfallen. Jedoch kommt es durch den Tunneleffekt zu einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (Zerfallswahrscheinlichkeit) dafür, dass das Alphateilchen den Mutterkern verlässt, denn die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Alphateilchens reicht durch die Energiebarriere hindurch; befindet sich das positiv geladene Alphateilchen einmal außerhalb der Barriere, verlässt es durch Abstoßung vom ebenfalls positiv geladenen Rest des Kerns diesen endgültig. Aus der Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt sich für diesen stochastischen Vorgang eine Halbwertszeit.

Zwei-Elektroden-Tunneln

1933 haben Hans Bethe und Arnold Sommerfeld näherungsweise die Tunnelstromdichte zwischen zwei Elektroden mit geringer Potentialdifferenz und trapezförmiger Potentialbarriere berechnet. Eine etwas bessere Näherung konnte dann 1935 von R. Holm und B. Kirschstein angegeben werden, die die Form der Potentialbarriere mit einer Parabel approximierten. Holm verfeinerte 1951 seine Theorie dahingehend, dass er die Tunnelstromdichte auch für Potentialdifferenzen angeben konnte, die in der Größenordnung der Austrittsarbeit von üblichen Elektrodenmaterialien liegt. Erst 1963 konnte J. Simmons eine generalisierte Formel angeben, mit der die Tunnelstromdichte für alle Potentialdifferenzen zwischen zwei Elektroden ausgerechnet werden kann, wobei dann auch die Feldemission mit eingeschlossen ist.

Feldelektronen- beziehungsweise Feldionenmikroskop

Eine wichtige Anwendung fand der Tunneleffekt bei den hochauflösenden Mikroskopen, die Erwin Wilhelm Müller in Berlin entwickelt hat. 1936 beschrieb er das Feldelektronenmikroskop und 1951 dann das Feldionenmikroskop, das als erstes Instrument eine atomare Auflösung ermöglichte.

Tunneldiode

1957 entwickelte Leo Esaki die erste Tunneldiode, ein elektronisches Hochfrequenz-Halbleiterbauelement mit negativem differentiellen Widerstand. Er bekam dafür 1973 den Nobelpreis für Physik.

Supraleitung

1960 entdeckten Ivar Giaever und J. C. Fisher das Ein-Elektron-Tunneln zwischen zwei Supraleitern. 1962 entdeckte Brian D. Josephson, dass auch Cooper-Paare tunneln können (Josephson-Effekt). Dies wurde 1963 von Philip W. Anderson, J. M. Rowell und D. E. Thomas für den Gleichstromfall und von Sidney Shapiro für den Wechselstromfall experimentell nachgewiesen. Josephson erhielt dafür 1973 den Nobelpreis für Physik.

Rastertunnelmikroskop

Gerd Binnig und Heinrich Rohrer entwickelten ein Verfahren, mit dem erstmals das kontrollierte Zwei-Elektroden-Tunneln im Vakuum möglich wurde, das schließlich zur Erfindung des Rastertunnelmikroskops führte. Das Patent für diese Technik wurde 1979 beantragt. Sie bekamen dafür 1986 zusammen mit Ernst Ruska den Physik-Nobelpreis verliehen.

Magnetischer Tunnelwiderstand

Beim magnetischen Tunnelwiderstand wird die Tatsache ausgenutzt, dass sich der Tunnelstrom zwischen zwei durch einen dünnen Isolator getrennten Ferromagnetika durch ein äußeres Magnetfeld ändert. Dieser Effekt wird zum Beispiel beim Auslesen der Daten in modernen Festplatten ausgenutzt (TMR-Effekt).

Tunneleffekt (Lichttunnel durch Lichthaut)

Dieser Effekt wird in der Lichtleitertechnik genutzt, um Licht mit Hilfe eines Prismas zur Datenübertragung in einen Lichtwellenleiter ein- oder auszukoppeln.

Flash-Speicher

Flash-Speicher-Medien, wie USB-Sticks und Speicherkarten verwenden Floating-Gate-(MOS)FETs und beruhen somit ebenfalls auf dem Tunneleffekt.

Tunneleffekt am Beispiel des Kastenpotentials

Zur mathematischen Beschreibung des Tunneleffekts betrachten wir das Potential

Diagramm zum Potential

$ V(x)={\begin{cases}V_{0}&{\mbox{falls }}x\in D:=[-a,a]\\0&{\mbox{falls }}x\notin D\end{cases}}\quad $

und unterteilen den Raum in die drei Bereiche (I) (links der Barriere), (II) (in der Barriere) und (III) (rechts der Barriere). Das von links (Bereich I) einfallende Teilchen hat die Energie E mit $ 0<E<V_{0} $. Klassisch betrachtet würde ein von links einfallendes Teilchen an der Barriere $ x=-a $ reflektiert.

Die stationäre Schrödingergleichung für die Wellenfunktion $ \Phi (x) $ eines Teilchens der Masse $ m $ und der Energie $ E $ in diesem Potential lautet:

$ -{\frac {\hbar ^{2}}{2\,m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Phi (x)+V(x)\Phi (x)=E\Phi (x), $

wobei $ \hbar $ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Um die Gleichung zu lösen, wählen wir für die Wellenfunktion in den Bereichen (I) und (III) den Ansatz:

$ \!\,\Phi (x)=A\,\mathrm {e} ^{ikx}+B\,\mathrm {e} ^{-ikx} $

Dies ist eine Superposition einer einlaufenden ($ \mathrm {e} ^{ikx} $)und auslaufenden ($ \mathrm {e} ^{-ikx} $) ebenen Welle mit noch zu bestimmenden A und B. Der Wellenvektor k ist durch

$ E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2\,m}} $

bestimmt.

Im Bereich (I) ist anschaulich klar, dass A=1 und B=R sein muss. Dabei ist R der komplexe Reflexionskoeffizient, welcher den Anteil der einlaufenden Welle beschreibt, der vom Potential reflektiert wird. Wird $ |R|^{2}=1 $ sind wir beim klassischen Grenzfall und das einlaufende Teilchen wird total reflektiert. Wir haben also

$ \!\,\Phi _{\text{I}}(x)=\mathrm {e} ^{ikx}+R\,\mathrm {e} ^{-ikx} $

Im Bereich (III) haben wir, da von rechts kein Teilchen kommt, nur einen eventuell durchgelassenen Teil der einfallenden Welle und setzen an:

$ \!\,\Phi _{\text{III}}(x)=T\,\mathrm {e} ^{ikx} $

Dabei ist T der komplexwertige Transmissionskoeffizient. Da die Wahrscheinlichkeitsstromdichte erhalten bleiben muss, folgt aus der Kontinuitätsgleichung (ohne Beweis):

$ \!\,|R|^{2}+|T|^{2}=1 $

Dies ist anschaulich klar, da das Teilchen nicht verschwinden kann.

Im Bereich (II) wählen wir den allgemeinen Ansatz

$ \!\,\Phi _{\text{II}}(x)=\alpha \mathrm {\,} {e}^{\kappa x}+\beta \mathrm {e} ^{-\kappa x} $

dabei ist $ \kappa ={\sqrt {{\frac {2\,m}{\hbar ^{2}}}\left(V_{0}-E\right)}} $ und reell, da $ \!\,V_{0}-E>0 $ ist.

Damit sind die physikalischen Überlegungen abgeschlossen und es bleibt mathematische Handarbeit. Durch die Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktion und deren Ableitung an den Stellen (x=-a) und (x=a) erhält man vier Gleichungen für die vier Unbekannten R, T, $ \alpha $ und $ \beta $. Die Lösungen gelten dann für alle Energien E > 0 und man erhält zum Beispiel für den Transmissionskoeffizienten T für $ E<V_{0} $:

$ T(E)=\mathrm {e} ^{-2ika}{\frac {2\,k\kappa }{2\,k\kappa \cosh(2\,\kappa a)-i(k^{2}\,-\kappa ^{2})\sinh(2\,\kappa a)}} $

Die Wahrscheinlichkeit für eine Transmission ist dann gerade das Betragsquadrat von T und lautet:

$ P_{T}(E)={\frac {1}{1\ +{\frac {V_{0}^{2}}{4E\left(V_{0}-E\right)}}\sinh ^{2}(2\kappa a)}} $

Man sieht, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit auch für $ E<V_{0} $ nicht null ist, dass also eine endliche Wahrscheinlichkeit besteht, das Teilchen auf der klassisch verbotenen Seite zu finden. Dies ist der Tunneleffekt.

Um die obige Formel noch etwas anschaulicher zu machen, betrachtet man beispielsweise den Grenzfall ($ V_{0}\rightarrow 0 $). Hier geht die Transmissionswahrscheinlichkeit gegen 1, was auch anschaulich klar ist: keine Barriere, keine Reflexion.

Messung des Zeitbedarfes

Obige Gleichungen geben keine Auskunft, wie lange das Teilchen braucht, um von einem Ende des Tunnels zum anderen zu gelangen. Die Schätzungen für Elektronen lagen zwischen Null und etwa 500·10⁻¹⁸ Sekunden. Aktuelle Experimente an der ETH Zürich^[4] (2008) haben einen Zeitbedarf von maximal 34·10⁻¹⁸ s ergeben, das ist die Messgenauigkeit der Anordnung. Im Experiment wurde ein zirkular polarisierter Laserpuls von nur 5·10⁻¹⁵ s Dauer (während dieser Zeit rotiert der elektrische Feldvektor einmal um 360°) auf ein Elektron geschossen, das „hinter“ einem Potentialwall von 24,6 eV an ein Heliumatom gebunden war. Die Durchtrittswahrscheinlichkeit des Elektrons ist bei dieser Wallhöhe so gering, dass keine spontane Ionisation des He-Atoms beobachtet wird.

Durch den kurzen Laserpuls verringerte sich die Höhe des Potentialwalls für eine definierte Zeit so weit, dass eines der beiden Elektronen das Atom verlassen konnte. Dann wurde es vom elektrischen Feld des Lichtpulses beschleunigt und vom He⁺-Ion entfernt. Aus der Abflugrichtung konnte der Zeitverlauf berechnet werden. Nach Ansicht der Forscher ist das Elektron unmittelbar nach seinem „Verschwinden“ auf der Innenseite des Potentialwalls wieder außen aufgetaucht. Bei dem Versuch handelte es sich nicht um eine Photoionisation, weil dazu eine Photonenenergie im UV-Bereich notwendig ist. Der verwendete Femtosekundenlaser hat zwar keine exakt definierbare Wellenlänge, der Schwerpunkt seines breitbandigen Bereiches liegt jedoch eindeutig im IR-Bereich. Hier reicht die Photonenenergie nicht aus, um Helium zu ionisieren.

Siehe auch

• Evaneszenz
• Franz-Keldysh-Effekt
• Holstein-Herring Methode
• Rastertunnelmikroskop
• Superluminares Tunneln
• Zener-Effekt

Literatur

• Robert Williams Wood: A new form of Cathode Discharge and the Production of X-Rays, together with some Notes on Diffraction, Phys. Rev. 5, 1 (1897)
• Julius Elster und Hans Friedrich Geitel: Über den Einfluß eines magnetischen Feldes auf die durch Bequerelstrahlen bewirkte Leitfähigkeit der Luft, Verh. Dtsch. Ges. 1, 136 (1899)
• Ernest Rutherford und Frederick Soddy, J. Chem. Soc. 81, 321, 837 (1902)
• Ernest Rutherford und Thomas Royds, Phil. Mag. 6, 17, 281 (1909)
• Hendrik Anthony Kramers: Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung, Z. Phys. 39, 828 (1926)
• Ralph Howard Fowler, Lothar Wolfgang Nordheim: Electron Emission in Intense Electric Fields, Proc. Roy. Soc. Lond. A119, 173 (1928)
• George Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkernes, Z. Phys. 51, 204 (1928)
• Ronald W. Gurney und Edward U. Condon: Wave Mechanics and Radioactive Disintegration, Nature 122, 439 (1928)
• Hans Bethe und Arnold Sommerfeld: Handbuch der Physik von Geiger und Scheel, Julius-Springer-Verlag Berlin, 24/2, 450 (1933)
• R. Holm und B. Kirschstein: Über den Widerstand dünnster Fremdschichten in Metallkontakten, Z. Tech. Physik 16, 488 (1935)
• R. Holm: The Electric Tunnel Effect across Thin Insulator Films in Contact, J. Appl. Phys. 22, 569 (1951)
• J. Simmons: Generalized Formula for the Electric Tunnel Effect between Similar Electrodes Separated by a Thin Insulating Film, J. Appl. Physics 34, 1793 (1963)
• Erwin Wilhelm Müller: Versuche zur Theorie der Elektronenemission unter der Einwirkung hoher Feldstärke, Phys. Z. 37 838 (1936)
• Erwin Wilhelm Müller: Das Feldionenmikroskop, Z.Phys. 131, 136 (1951)
• Leo Esaki: New Phenomenon in Narrow Germanium p-n Junctions, Phys. Rev. 109, 603 (1958)
• J. C. Fisher und Ivar Giaever: Tunneling Through Thin Insulating Layers, J. Appl. Phys. 32, 172 (1961)
• Brian D. Josephson: Possible New Effects in Superconducting Tunneling, Phys. Lett. 1, 251 (1962)
• Philip W. Anderson, J. M. Rowell und D. E. Thomas: Image of the Phonon Spectroscopy in the Tunneling Characteristic between Superconductors, Phys. Rev. Lett. 10, 334 (1963)
• Sidney Shapiro: Josephson Current in Superconducting Tunneling: The Effect of Microwaves and other Observations, Phys. Rev. Lett. 11, 80 (1963)
• Gerd Binnig und Heinrich Rohrer: Gerät zur rasterartigen Oberflächenuntersuchung unter Ausnutzung des Vakuum-Tunneleffekts bei kryogenischen Temperaturen, Europäische Patentanmeldung 0 027 517, Priorität: 20. September 1979 CH 8486 79
• Gerd Binnig, Heinrich Rohrer, C. Gerber und E. Weibel: Tunneling through a Controllable Vacuum Gap, Appl. Phys. Lett. 40, 178 (1982)
• Dilip K.Roy: Quantum mechanical tunnelling and its applications. World Scientific, Singapore 1986, ISBN 9971-5-0024-8
• Markus Bautsch: Rastertunnelmikroskopische Untersuchungen an mit Argon zerstäubten Metallen, Kapitel 2.1 Vakuumtunneln, Verlag Köster, Berlin (1993), ISBN 3-929937-42-5
• Shin Takagi: Macroscopic quantum tunneling. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-80002-1
• Joachim Ankerhold: Quantum tunneling in complex systems - the semiclassical approach. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-68074-1

Einzelnachweise

Weblinks

• Physik-Nobelpreisträger Gerd Binnig erklärt den Tunneleffekt auf anschauliche Weise vom 18. August 2010
• Elektronen beim Tunneln beobachtet, Artikel auf Welt der Physik
• Quantentheorie – Wie ein Blitz durch den Tunnel FAZ
• Tunnel Effect Kyoto University
• Interaktive Simulation (Java Webstart Programm)
• BR alpha Centauri: Tunneleffekt mit Professor Lesch (Video)
• Rechnung: Tunneln durch Potentialbarriere