Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt – und damit Winkel- und Längenbegriffen –, der vollständig ist bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm, dem Längenbegriff. Ein Hilbertraum ist ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem Prähilbertraum.

Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine Hilbertraumdimension. Diese kann eine beliebige Kardinalzahl sein. Ist die Dimension endlich, so handelt es sich um einen euklidischen Raum. In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik, ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. Ein Element eines Hilbertraums kann als eine Familie einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen kartesische Koordinaten genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer Hamelbasis ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in abzählbar vielen Koordinaten einer Orthonormalbasis ungleich null und die Koordinatenfamilie ist quadratsummabel.

Hilberträume tragen durch ihr Skalarprodukt eine topologische Struktur, dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von Normen bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen.

Definition

Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $H$ mit einem Skalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert. Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum.

Im Folgenden sei das Skalarprodukt linear im zweiten und semilinear im ersten Argument, d. h. ist $H$ komplexer Vektorraum und sind $u,v\in H$ Vektoren und $\lambda$ eine komplexe Zahl, so ist

$⟨u,\lambda v⟩=\lambda ⟨u,v⟩$ und $⟨\lambda u,v⟩=\overline{\lambda }⟨u,v⟩$.

In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft anders herum gehandhabt.

Bedeutung

Hilberträume spielen in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen, und damit auch in der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenmechanik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbertraum bilden. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur.

Beispiele für Hilberträume

• Der Raum ${\mathbb{R}}^n$ mit dem reellen Standardskalarprodukt $⟨u,v⟩=u_1{v}_1+\cdots +u_n{v}_n$.

• Der Raum ${\mathbb{C}}^n$ mit dem komplexen Standardskalarprodukt $⟨u,v⟩={\overline{u}}_1{v}_1+\cdots +{\overline{u}}_n{v}_n$.

• Der Folgenraum ${\ell }^2$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlichdimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu ${\ell }^2$ sind.

• Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen $L^2$ mit dem Skalarprodukt $⟨f,g{⟩}_{L^2}=\int \overline{f(x)}g(x)\mathrm{d}x$. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume.

• Der Raum ${\mathrm{AP}}^2$ der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu $\lambda \in \mathbb{R}$ betrachte man die Funktionen $f_{\lambda }:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ mit $f_{\lambda }\left(t\right)=e^{i\lambda t}$. Durch das Skalarprodukt $⟨f,g⟩=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{4T}{\int }_{-T}^T\overline{f(t)}g(t)\mathrm{d}t$ wird der Raum $\mathrm{lin}\{f_{\lambda }:\lambda \in \mathbb{R}\}$ (der von den Funktionen $f_{\lambda }$ aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung ${\mathrm{AP}}^2$ dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass er im Gegensatz zu den obigen Beispielen ein Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum ist.

• Der Sobolev-Raum $H^p$ für alle $p\ge 0$ und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

• Der Raum $HS$ der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

• Für $p=2$ sind der Hardy-Raum $H^2(\mathbb{D})$ und der reelle Hardy-Raum ${\mathcal{H}}^2({\mathbb{R}}^n)$ Hilberträume.

Orthogonalität und Orthogonalsysteme

Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die Orthogonalbasen eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die lineare Hülle im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen keine Basis im üblichen Sinn der linearen Algebra (Hamelbasis). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. Die Vektoren $v_i$ bilden also genau dann ein Orthonormalsystem, wenn $⟨v_i,v_j⟩={\delta }_{ij}$ für alle $i,j$. Dabei ist ${\delta }_{ij}$ das Kronecker-Delta.

Mittels des Lemmas von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden).

Unterräume

Ein Unterhilbertraum oder Teilhilbertraum eines Hilbertraums ist eine Teilmenge, die mit der Skalarmultiplikation, Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet (siehe auch Unterraum). Konkret heißt das, dass die Teilmenge die null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein Untervektorraum ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne abgeschlossen ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als abgeschlossene Unterräume bzw. abgeschlossene Teilräume und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als Unterräume bzw. Teilräume Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als dichter Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner Vervollständigung. Auch ist es möglich einen Quotientenraum bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist.

Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige Banachräume, wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber normierte Räume sind. Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des Projektionssatzes: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das orthogonale Komplement, und das Konzept der Orthogonalprojektion. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein komplementärer Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum.

Operatoren zwischen Hilberträumen

Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt lineare Abbildungen, im Folgenden lineare Operatoren genannt.

Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der stetigen Operatoren, die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators. Eine stärkere Einschränkung ist die der Kompaktheit. Die Schattenklassen sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und Operatortopologien definiert.

Unitäre Operatoren liefern einen natürlichen Isomorphismenbegriff für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der Kategorie der Hilberträume mit den linearen Kontraktionen als Morphismen. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der adjungierte Operator zu einem linearen Operator von $X$ nach $Y$ als linearer Operator von $Y$ nach $X$ verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator kommutiert, solche Operatoren bilden die Klasse der normalen Operatoren. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem selbstadjungierten Operator.

Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden eingeschränkt auf Operatoren auf einem einzigen Hilbertraum Operatoralgebren. Mit der Adjungierung als Involution, unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar involutive Banachalgebren. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der Operatornorm bilden eine C*-Algebra.

Klassifikation

Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind gleichmächtig. Die Kardinalität einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche Hilbertraumdimension oder kurz Dimension genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind isomorph: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder Kardinalzahl einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum ${\ell }^2(I)$ (wobei $I$ eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst):

${\ell }^2(I):=\{u:I\to K\mid \sum _{i\in I}{|u(i)|}^2<\mathrm{\infty }\}$,

wobei $K=\mathbb{R}$ oder $K=\mathbb{C}$ und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich $0$ sind (vgl. unbedingte Konvergenz). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt

$⟨u,v⟩:=\sum _{i\in I}\overline{u(i)}v(i)$,

welches wohldefiniert ist. Die Vektoren $u_i$ mit $u_i(j)={\delta }_{ij}$ bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes ${\ell }^2(I)$. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum ${\ell }^2(I)$ für passendes $I$ ist als Satz von Fischer-Riesz bekannt.

Dualraum

Der topologische Dualraum $H^{\prime }$ der stetigen, linearen Funktionale auf einem Hilbertraum $H$ ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der Satz von Fréchet-Riesz: Jeder reelle Hilbertraum $H$ ist mittels des isometrischen Vektorraumisomorphismus $H\to H^{\prime },v\mapsto ⟨v,\cdot ⟩$ isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur semilinear, das heißt ein antiunitärer Operator. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator $H\to H^{\prime }$ lässt sich nämlich in einen unitären Operator $H\to H^{\prime }$ und einen antiunitären Operator $H^{\prime }\to H^{\prime }$ zerlegen), und somit erst recht zu seinem Bidualraum, jeder Hilbertraum ist also reflexiv.

Fourierkoeffizient

Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$ und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei $B=(b_1,b_2,\dots )$ eine Orthonormalbasis und $v$ ein Vektor aus dem Hilbertraum.

Da $B$ eine Basis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten ${\alpha }_k\in \mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$, so dass $v=\sum _k{\alpha }_k{b}_k$. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis: $⟨b_n,v⟩=⟨b_n,\sum _k{\alpha }_k{b}_k⟩=\sum _k{\alpha }_k⟨b_n,b_k⟩$. Da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist, erhält man so $⟨b_n,v⟩={\alpha }_n$.

Der $n$-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden.

Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

Trivia

An mehreren deutschen Universitäten gibt es als „Hilbertraum“ bezeichnete Räumlichkeiten, zum Beispiel an den Universitäten Mainz, Frankfurt, Konstanz und an der Georg-August-Universität Göttingen, an der David Hilbert über viele Jahre lehrte und forschte; dort trägt das Foyer des Mathematischen Instituts, in dem eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist, diesen Namen.

Siehe auch

• Besselsche Ungleichung
• Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
• Hilbertraumbasis
• Hilbertraum-Tensorprodukt
• Parallelogrammgleichung
• Parsevalsche Gleichung
• Peetre-Ungleichung

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII