Zustand (Quantenmechanik)

In der quantenmechanischen Behandlung eines physikalischen Systems ist der momentane Zustand des Systems ein mathematisches Objekt, das für jede am System mögliche (fehlerfreie) Messung und für jedes der dabei möglichen Messergebnisse die Wahrscheinlichkeit festlegt, mit der das betreffende Messergebnis erhalten wird.

Grundbegriffe

Unterschied zur klassischen Physik

Die Einführung von Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse anstelle einer eindeutigen Voraussage bedeutet eine grundsätzliche Abkehr von der klassischen Physik. Dort ist mit der Angabe des momentanen Zustands des Systems das Ergebnis jeder möglichen Messung eindeutig festgelegt (immer fehlerfreie Messung vorausgesetzt). Im Allgemeinen trifft das für makroskopische Systeme (z.B. aus dem Alltag) sehr gut zu, wird aber für immer kleinere Systeme zunehmend falsch. Beispielsweise lässt sich im makroskopischen Alltag einer Schrotkugel oder einem Sandkorn in jedem Moment mit praktisch eindeutiger Genauigkeit ein bestimmter Ort und eine bestimmte Geschwindigkeit zuschreiben. Für ein Elektron ist dies unmöglich: liegt sein Aufenthaltsort eindeutig fest, dann kann die Messung seiner Geschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden beliebigen Wert ergeben, und umgekehrt ebenso (Heisenbergsche Unschärferelation von 1927). Diese Unbestimmtheit lässt sich auch durch präziseste Präparierung des Zustands des Systems nicht beseitigen. Sie ist eine zentrale begriffliche Grundlage der Quantenmechanik.

Reiner Zustand und Zustandsgemisch

Zusätzliche Unsicherheit über das zu erwartende Messergebnis entsteht dann, wenn der Zustand des Systems nicht eindeutig festgelegt ist. Das gilt z. B. für den häufigen Fall, dass das beobachtete System aus einer Anzahl gleichartiger Systeme herausgegriffen wird, die nicht alle im selben Zustand präpariert sind. Die Zustände, in denen sich das beobachtete System (mit möglicherweise unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit) befinden kann, bilden ein Zustandsgemisch. Hier ließe sich die Unsicherheit über die zu erwartenden Messergebnisse noch verringern, indem nur Systeme im selben Zustand zur Messung ausgewählt werden. Zur Verdeutlichung des Unterschieds zum Zustandsgemisch bezeichnet man einen eindeutig präparierten Zustand gelegentlich auch als reinen Zustand. Im folgenden meint Zustand hier immer reiner Zustand.

Eigenzustand

Ein Zustand, in dem für eine bestimmte Messgröße der zu erwartende Messwert eindeutig festliegt, heißt Eigenzustand zu dieser Messgröße. Beispiele sind

1. das an einem Ort lokalisierte Teilchen (Ortseigenzustand)
2. das Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit bzw. Impuls (Impulseigenzustand)
3. das Teilchen in einem gebundenen Zustand bestimmter Energie (Energieeigenzustand).

Hier sind streng genommen wegen der Unschärferelation die Beispiele 1 und 2 keine tatsächlich realisierbaren Zustände, spielen aber eine bedeutende Rolle in der theoretischen Beschreibung. Das Beispiel 3 ist ein Zustand, in dem eine physikalische Größe (Energie) einen bestimmten Wert hat, während sowohl für den Ort als auch den Impuls nur Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Messergebnisse angegeben werden können (für den Ort z. B. durch das Orbital, für den Impuls durch das Betragsquadrat der Fouriertransformierten der betreffenden Ortswellenfunktion).

Superposition von Zuständen

Für ein (potentiell punktförmiges) Teilchen ist in der klassischen Mechanik der Zustand durch dessen Ort und Impuls gegeben, also durch einen Punkt im sechsdimensionalen Zustandsraum. Die an solchen Teilchen beobachteten Interferenzeffekte erfordern aber die Möglichkeit, dass auch die Superposition (oder Überlagerung, Linearkombination mit komplexen Faktoren) mehrerer Zustände einen möglichen Zustand bildet (siehe z. B. Materiewellen). Jeder Zustand, für den zu einer bestimmten Messgröße verschiedene Messwerte mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werden, ist eine Superposition der zu diesen Messwerten gehörigen Eigenzustände. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten dieser Eigenwerte als Messergebnis zu erhalten, ist durch das Betragsquadrat des (i. allg. komplexen) Faktors festgelegt, mit dem der betreffende Eigenzustand in dieser Überlagerung vorkommt. Dieser Faktor heißt Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Zustände, die durch Überlagerung gebildet werden, werden häufig auch als gemischte Zustände angesprochen. Es gibt aber keinen prinzipiellen Unterschied zwischen „gemischten“ und „reinen“ Zuständen: Für ein gegebenes System kann jeder Zustand mit jedem anderen überlagert werden, und jeder Zustand kann als Überlagerung anderer Zustände dargestellt werden. Einen prinzipiellen Unterschied gibt es nur zu den Zustandsgemischen.

Zustand und statistisches Gewicht

Die Menge möglicher Zustände eines Systems (der Phasenraum) ist durch die Möglichkeit der Superposition von erheblich größerer Mächtigkeit als in der klassischen Mechanik. Als Maß dieser Menge gilt in der statistischen Quantenphysik nicht die Größe dieser Menge selbst, sondern deren Dimension, das ist die Anzahl Zustände in der kleinstmöglichen Teilmenge, so dass sich aus ihnen durch Superposition alle überhaupt möglichen Zustände des Systems ergeben können. Da sich innerhalb dieser Auswahl keiner der Zustände als Superposition der anderen darstellen lässt, sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis des Phasenraums. Im Vergleich mit der Zustandsdichte in der klassischen statistischen Physik zeigt sich, dass jeder quantenmechanische Zustand einer solchen Basis das Phasenraumvolumen $ 2\pi \hbar $ belegt (pro Freiheitsgrad des Systems). ($ 2\pi \hbar =h $ ist das Plancksche Wirkungsquantum.)

Mathematische Darstellung

Zustand

Für die mathematische Darstellung des oben physikalisch definierten Zustands eignen sich zwei Formen:

• eine orts- und zeitabhängige Materiewelle oder
• ein Zustandsvektor in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum, der als Hilbertraum bezeichnet wird.

Beide Darstellungen sind äquivalent. Die erste, die auf Erwin Schrödinger zurückgeht ^[1] , ist oft leichter zu veranschaulichen. Die zweite, die auf Werner Heisenberg ^[2] und Paul Dirac ^[3] zurückgeht, hat oft den Vorzug der übersichtlicheren Darstellung in algebraischen Gleichungen. Ein Zustand kann entweder als Wellenfunktion notiert werden, z. B. $ \psi (t,{\vec {r}}) $, oder als Vektor, wofür sich nach Dirac das ket-Symbol $ \vert \psi \rangle $ eingebürgert hat. Handelt es sich um einen Eigenzustand zu einer physikalischen Messgröße, wird der betreffende Eigenwert meist im Symbol mit angegeben. Beispiele:

1. $ \vert {\vec {r}}\rangle $ bezeichnet den Ortseigenzustand eines Teilchens,
2. $ \vert {\vec {p}}\rangle $ oder $ \psi _{\vec {p}}(t,{\vec {r}}) $ den Impulseigenzustand,
3. $ \vert E\rangle $ oder $ \psi _{E}(t,{\vec {r}}) $ den Energieeigenzustand.
4. Wird einem Eigenwert eine Quantenzahl zugeordnet (z. B. Quantenzahl $ \,n $ für das $ \,n $-te Energieniveau $ \,E_{n} $, Quantenzahlen $ \,j,\,m $ für Betrag und z-Komponente des Drehimpulses), so wird der zugehörige Eigenzustand einfach durch Angabe der Quantenzahl(en) oder ein extra vereinbartes Symbol angegeben (Beispiele: $ \vert n\rangle ,\vert j,m\rangle ,\vert \uparrow \rangle ,\vert x\rangle ,\vert p\rangle $).

Allerdings legt der physikalische Zustand, aus dem sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Messergebnisse ergeben sollen, die Funktion $ \psi (t,{\vec {r}}) $ bzw. den Vektor $ \vert \psi \rangle $ nicht umkehrbar eindeutig fest, sondern nur bis auf einen konstanten Faktor. Alle Funktionen $ \alpha \psi (t,{\vec {r}}) $ bzw. Vektoren $ \alpha \vert \psi \rangle $ bezeichnen denselben Zustand, wenn $ \alpha $ eine konstante komplexe Zahl ist. Im Hilbertraum entspricht ein Zustand daher nicht einem Vektor, sondern dem 1-dimensionalen Unterraum (Strahl), der von ihm aufgespannt wird. Dies wird mathematisch angemessen durch den Projektionsoperator $ {\hat {P}}=\vert \psi \rangle \langle \psi \vert $ ausgedrückt.

Wahrscheinlichkeitsamplitude

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der ein Zustand $ \psi $ in einem Zustand $ \phi $ enthalten ist, wird durch das Faltungsintegral bzw. das Skalarprodukt wiedergegeben:

$ \int \phi ^{*}({\vec {r}})\ \psi ({\vec {r}})\ d^{3}r\equiv \langle \phi \vert \psi \rangle $.

Darin ist $ \langle \phi \vert $ der zu $ \vert \phi \rangle $ duale Vektor, der als bra-Vektor bezeichnet wird. (bra und ket fügen sich zu bracket zusammen, engl. für Klammer.) Man beachte, dass der bra zum Vektor $ \alpha \vert \phi \rangle $ durch $ \alpha ^{*}\langle \phi \vert $ gegeben ist. Weiter ist hier vorausgesetzt, dass die Funktionen bzw. Vektoren normiert sind:

$ \int \psi ^{*}({\vec {r}})\ \psi ({\vec {r}})\ d^{3}r\equiv \langle \psi \vert \psi \rangle =1 $,

damit für die Wahrscheinlichkeit, im Zustand $ \psi $ denselben Zustand $ \psi $ zu beobachten, richtig 1 herauskommt. (Eigenzustände zu Messgrößen mit kontinuierlichen Eigenwerten wie Ort und Impuls müssen über die Diracsche δ-Distribution normiert werden, s.u.) Wenn ein System in einem Eigenzustand einer messbaren Größe vorliegt, ist es sicher nicht in einem Eigenzustand (derselben Messgröße) mit einem anderen Eigenwert anzutreffen, die Wahrscheinlichkeitsamplitude hierfür hat den Wert Null:

$ \langle E_{2}\vert E_{1}\rangle =0 $ (wenn : $ E_{2}\neq E_{1} $),

$ \langle {\vec {p}}_{2}\vert {\vec {p}}_{1}\rangle =\delta ({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}) $,

$ \langle {\vec {r}}_{2}\vert {\vec {r}}_{1}\rangle =\delta ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}) $.

Zwei Zustände mit dem Skalarprodukt Null heißen auch zueinander orthogonal. Die wegen ihrer leichteren Anschaulichkeit oft gebrauchte Wellenfunktion des Zustands $ \vert \psi \rangle $ ist $ \psi ({\vec {r}})=\langle x\vert \psi \rangle $, also die Komponente des Zustandsvektors $ \vert \psi \rangle $ längs des Basisvektors $ \vert {\vec {r}}\rangle $, der den Zustand für das am Ort $ \,{\vec {r}} $ fixierte Teilchen beschreibt (auch wenn dieser lokalisierte Zustand in der Natur nicht realisierbar ist).

Messgröße (Observable)

Eine messbare physikalische Größe wird durch einen Operator dargestellt, der im Hilbertraum eine lineare Transformation bewirkt. Das zugehörige Symbol besteht aus dem gewöhnlich benutzten Buchstaben mit einem Dach darüber. Beispiele:

1. Der Operator $ {\hat {V}} $ für die ortsabhängige potentielle Energie $ V({\vec {r}}) $ verwandelt die Wellenfunktion $ \psi ({\vec {r}}) $ in $ V({\vec {r}})\cdot \psi ({\vec {r}}) $.
2. Der Operator $ {\hat {\vec {p}}} $ für den Impuls verwandelt die Wellenfunktion $ \psi ({\vec {r}}) $ in $ {\frac {\hbar }{i}}\nabla \psi ({\vec {r}}) $.
3. Der Hamilton-Operator $ {\hat {H}} $ steht für die Gesamtenergie $ E $ des Systems, für ein punktförmiges Teilchen also $ E={\tfrac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}}) $. Daher $ {\hat {H}}={\tfrac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\hat {V}}({\vec {r}}) $.

Physikalische Messgröße $ \ A $ und zugehöriger Operator $ {\hat {A}} $ werden zusammengefasst Observable genannt. Da alle möglichen Messergebnisse reelle Zahlen sind, muss der Operator hermitesch sein, d. h. die Bedingung

$ \langle \phi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \phi \rangle ^{*} $

erfüllen.

Eigenwert, einzelner Messwert, Erwartungswert

Wirkt eine Observable $ {\hat {A}} $ auf einen ihrer eigenen Eigenzustände $ \varphi _{a} $ (worin der Index $ a $ den Eigenwert angibt), multipliziert sich der Zustandsvektor mit dem Eigenwert (Eigenwertgleichung):

$ {\hat {A}}\vert \varphi _{a}\rangle =a\cdot \vert \varphi _{a}\rangle $.

Die Wahrscheinlichkeit, an einem beliebigen Zustand $ \psi $ bei einer Messung der Observable $ {\hat {A}} $ gerade den Wert $ a $ zu erhalten, ist das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude, das System im zugehörigen Eigenzustand $ \varphi _{a} $ anzutreffen:

$ P_{a}=\vert \langle \varphi _{a}\vert \psi \rangle \vert ^{2} $

Dadurch hat man gleichzeitig das System im Eigenzustand $ \varphi _{a} $ präpariert, denn nach dieser Messung liegt es genau in diesem Zustand vor.

Als Erwartungswert $ \langle {\hat {A}}\rangle $ wird der Mittelwert vieler Einzelmessungen der Observable an immer gleichen Systemen im Zustand $ \psi $ bezeichnet. Aus dem Spektrum aller möglicher Einzelergebnisse $ a $ und ihren Wahrscheinlichkeiten $ P_{a} $ ergibt sich:

$ \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle $.

Phasenfaktor und Superposition

Zwei kets, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden ^[4], beschreiben denselben Zustand, denn alle für diesen Zustand abzuleitenden messbaren Eigenschaften sind von diesem Faktor unabhängig. Der Faktor darf von der Zeit abhängen, aber von keiner Observablen wie z.B. dem Ort. Hat der Faktor den Betrag 1, heißt er auch Phasenfaktor, denn er kann in der Form $ e^{i\Phi } $ geschrieben werden, worin $ \Phi $ als quantenmechanische Phase bezeichnet wird.

Linearkombinationen zweier Zustandsvektoren, also z. B. $ |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle $, mit komplexen Zahlen $ c_{1},c_{2} $, beschreiben ebenfalls erlaubte Zustände (s. o. Superposition von Zuständen). Hier ist die relative Phase der Faktoren ^[5] nicht mehr beliebig. Je nach Phase hat der Überlagerungszustand verschiedene messbare Eigenschaften.^[6] Man spricht daher von kohärenter Superposition, weil wie bei optischer Interferenz mit kohärentem Licht nicht die Betragsquadrate sondern die „erzeugenden Amplituden“ selbst, also $ |\psi _{1}\rangle $ und $ |\psi _{2}\rangle $, superponiert werden.

Zustandsgemisch und Dichteoperator

Ein Zustandsgemisch, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit $ p_{i} $ im Zustand $ \psi _{i} $ (mit $ i=1,2,\ldots ,\,n $) befindet, wird durch den Dichteoperator $ {\hat {\rho }} $ dargestellt, das ist die Summe der entsprechenden Projektionsoperatoren:

$ {\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}\vert \psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\vert $

Im Gegensatz zur kohärenten Superposition bleibt der Dichteoperator ungeändert, wenn man die im Gemisch vertretenen Zustände $ \psi _{i} $ mit beliebigen Phasenfaktoren versieht. Im Zustandsgemisch werden die Zustände also inkohärent überlagert.

Der Erwartungswert einer Messung der Observable $ {\hat {A}} $ ist dementsprechend die gewichtete inkohärente Summe der Erwartungswerte der einzelnen Bestandteile des Gemischs:

$ \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}\vert {\hat {A}}\vert \psi _{i}\rangle $

Dies kann auch einfach als Spur des Operators $ {\hat {\rho }}{\hat {A}} $ dargestellt werden:

$ \langle {\hat {A}}\rangle =Sp({\hat {\rho }}{\hat {A}}) $.

Die letzte Gleichung hat den Vorzug, dass sie gleichermaßen für Gemische und für reine Zustände gilt. (Bei einem reinen Zustand ist $ {\hat {\rho }} $ einfach der zum Zustand gehörige Projektionsoperator.)

Beispiele

a) Die Zustände eines (eindimensionalen) Teilchens in einem Potentialtopf der Breite $ a $ (von 0 bis $ a $) sind Superpositionen von Eigenzuständen des Energieoperators, die durch die Wellenfunktionen $ \langle x\vert n\rangle =\cos n{\tfrac {\pi x}{a}},\ \ n=1,2,\dots $ beschrieben sind und die Energieeigenwerte $ E_{n}=n^{2}{\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}} $ haben. Ein beliebiger Zustand lässt sich dann immer als $ \vert \psi \rangle =\sum \alpha _{n}\vert n\rangle $ schreiben, wobei die Normierungsbedingung $ \sum \vert \alpha _{n}\vert ^{2}=1 $ zu beachten ist.

b) Für Teilchen in einem Zentralfeld sind die Energieeigenzustände auch Eigenzustände des Drehimpulsoperators und tragen daher alle drei Quantenzahlen $ \,n,j,m $: $ {\hat {H}}\vert n,j,m\rangle =E_{n,j}\vert n,j,m\rangle ,\ \ \ {\hat {J}}^{2}\vert n,j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)\vert n,j,m\rangle ,\ \ {\hat {J}}_{z}\vert n,j,m\rangle =\hbar m\vert n,j,m\rangle $

Bezüglich $ \,m $ ist die Energie entartet, so dass ein beliebiger Zustand zu $ \,E_{n,j} $ als $ \vert \psi \rangle ={\underset {m}{\sum }}\alpha _{m}\vert n,j,m\rangle $ geschrieben werden kann, wieder mit geeigneter Normierungsbedingung.

c) Die Spineigenzustände zu $ m_{s}=\pm {\tfrac {1}{2}} $ eines (fermionischen) Teilchens werden einfach als $ \vert \!\!\uparrow \rangle $ und $ \vert \!\!\downarrow \rangle $ geschrieben.

Formales

Im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie ist ein Zustand ein abstraktes Objekt. Der Bezug eines Zustandes zur realen Welt wird durch spezielle Darstellungen beispielsweise in Ortskoordinaten oder Impulskoordinaten repräsentiert. Die Darstellung in Ortskoordinaten wird als Wellenfunktion bezeichnet. Aus diesen Darstellungen der Zustandsvektoren lassen sich nach den Gesetzen der Quantenmechanik exakte Wahrscheinlichkeitsaussagen über Eigenschaften von Teilchen oder Teilchensystemen machen. Die zeitliche Veränderung der Zustandsvektoren wird in der Quantenmechanik durch die Schrödingergleichung beschrieben und ist damit eindeutig bestimmt.

Meist ist mit einem Zustand ein Element (Vektor) eines abstrakten Hilbertraums gemeint. Zustände, die auf diese Weise dargestellt werden, heißen Vektorzustände. Die meisten Zustände lassen sich jedoch nur über Dichtematrizen oder gar nicht in einem Hilbertraum darstellen. Zur Beschreibung allgemeiner Zustände wird der Formalismus der C*-Algebren herangezogen. Ein Zustand auf einer C*-Algebra $ A $ ist dann ein lineares Funktional $ f:A\rightarrow \mathbb {C} $ mit $ \|f\|=1 $ und $ f(x^{*}x)\geq 0\,\forall x\in A $. Die Menge dieser Zustände ist eine konvexe Menge, die reinen Zustände sind dann genau die Extremalpunkte dieser Menge. Jedem Zustand kann man mittels der GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung zuordnen. Genauer findet man eine Hilbertraum-Darstellung $ \pi :A\rightarrow B(H) $ und einen Einheitvektor $ \psi \in H $, so dass $ f(\cdot )=\langle \pi (\cdot )\psi |\psi \rangle $. Dabei werden den reinen Zuständen genau die irreduziblen Darstellungen zugeordnet.

Ein weiteres Beispiel

Es sei ein Zweielektronensystem gegeben, wobei eines der beiden Elektronen sehr weit vom anderen entfernt sei. Gegeben sei ferner an jedem der beiden Orte eine Messapparatur, die nur auf die Spineigenschaften des einzelnen Elektrons ansprechen soll und mit gleicher Wahrscheinlichkeit diesen nach oben bzw. nach unten orientiert. Der betrachtete Zustand des Zweielektron-Systems sei $ |\psi \rangle \propto {(\,\,|\uparrow \rangle }_{1}{|\downarrow \rangle }_{2} $$ -{|\downarrow \rangle }_{1}{|\uparrow \rangle }_{2}\,\,) $.

$ |\psi \rangle $ ist - wohlgemerkt! - ein einziger, wohldefinierter reiner Zustand. Solche Zustände können in natürlicher Weise durch s-Wellen-Zerfall eines einzigen, zunächst gebundenen Elementarteilchensystems entstehen.^[7]

Die möglichen Messergebnisse sind trotzdem zweifach (und haben gleiche Wahrscheinlichkeit): Spin nach oben bei einem der beiden Elektronen und nach unten beim anderen. Aber: Welches der beiden Elektronen, 1 oder 2, den Spin nach oben haben wird, kann man nicht voraussagen.

Wegen der großen gegenseitigen Entfernung erwartet man also Unabhängigkeit der Messresultate. Stattdessen erhält man eine sehr strenge Korrelation (oder besser: Antikorrelation), obwohl man nur Wahrscheinlichkeiten angeben kann.

Dies ist ein Beispiel für einen verschränkten Zustand, der zugleich die extremen Besonderheiten des Zustandsbegriffs in der Quantenmechanik zeigt.

Reine Zustände und Zustandsgemische

In der Quantenmechanik und der Quantenstatistik wird zwischen reinen Zuständen und Zustandsgemischen unterschieden. Reine Zustände stellen den Idealfall einer maximalen Kenntnis der beobachtbaren Eigenschaften (Observablen) des Systems dar. Häufig ist aber nach der Präparation oder aufgrund von Messungenauigkeiten der Zustand des Systems nur unvollständig bekannt (Beispiel: der Spin des einzelnen Elektrons in einem unpolarisierten Elektronenstrahl).^[8] Dann können den verschiedenen möglicherweise vorkommenden reinen Zuständen $ |\psi _{i}\rangle $ bzw. den zugeordneten Projektionsoperatoren $ \mathrm {P} _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}| $ nur Wahrscheinlichkeiten p_i zugeordnet werden (siehe unten). Solche unvollständig bekannten Zustände werden als Zustandsgemische bezeichnet. Zur Darstellung von Zustandsgemischen verwendet man den Dichteoperator ρ, der auch Dichtematrix oder Zustandsoperator der Quantenstatistik genannt wird.

Ein reiner Zustand entspricht einem 1-dimensionalen Unterraum (Strahl) in einem Hilbertraum. Die zugehörige Dichtematrix $ \rho =\mathrm {P} _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}| $ ist der Operator für die Projektion auf diesen Unterraum. Sie erfüllt die Bedingung der Idempotenz, d.h. ρ²=ρ. Zustandsgemische sind dagegen nur durch nicht-triviale Dichtematrizen darstellbar, d.h. dass ρ² < ρ gilt. Eine Beschreibung durch einen Strahl ist dann nicht möglich.

Charakteristische Merkmale dieser Zustandsbeschreibung sind die Superponierbarkeit („Kohärenz“) der reinen Zustände und das daraus folgende Phänomen der Quantenverschränkung, während bei den Zustandsgemischen die Beiträge der verschiedenen beteiligten Zustände inkohärent summiert werden.

Das Ergebnis von Messungen an einem Quantensystem ergibt bei Wiederholung an einem exakt gleich präparierten System auch bei reinen Zuständen eine nicht-triviale Verteilung von Messwerten, die in der Quantenstatistik zusätzlich (inkohärent! ^[9]) mit den p_i gewichtet wird. Die Verteilung entspricht im Einzelnen dem quantenmechanischen Zustand $ |\psi \rangle $ (bzw. $ |\psi _{i}\rangle $) und der Observablen $ \,A $ für den Messprozess ($ \,A $ repräsentiert i.W. die Messapparatur). Für reine Zustände folgt aus der Quantenmechanik: Der Mittelwert der durch Wiederholung erzeugten Messreihe und der quantenmechanische Erwartungswert $ \langle \psi |A|\psi \rangle $ sind identisch.

Für das Ergebnis der Messungen ist also im Unterschied zur klassischen Physik selbst bei reinen (also vollständig bekannten) quantenmechanischen Zuständen nur eine Wahrscheinlichkeit angebbar (deshalb heißt es im Folgenden nicht das Resultat, sondern das zu erwartende Resultat, s.u.). Für Zustandsgemische gilt wegen der p_i eine zusätzliche (inkohärente!) Unbestimmtheit: $ {\overline {A}}=\sum \,p_{i}\cdot \langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle \,. $

Also selbst das zu erwartende Resultat des Ausgangs einer einzelnen Messung kann nur in Spezialfällen (etwa $ p_{1}=1,\,\,p_{2}=p_{3}=...=0 $) sicher vorhergesagt werden. Nur die (speziellen!) Eigenzustände $ |\phi _{k}\rangle $ der betrachteten Observable $ \,A $ bzw. die zugehörigen Eigenwerte $ \,a_{k} $ kommen bei gegebenem $ |\psi \rangle $ überhaupt als Messwerte in Frage, und selbst in dem oben angegebenen Fall eines reinen Zustands, etwa $ |\psi \rangle \equiv |\psi _{1}\rangle $, d.h. selbst bei vollständig bekannter Wellenfunktion, kann man für die verschiedenen Eigenzustände $ |\phi _{k}\rangle $ bei gegebenem $ |\psi \rangle $ nur Wahrscheinlichkeiten angeben, $ w_{k}=|\langle \psi |\phi _{k}\rangle |^{2}\,, $ obwohl der Zustand $ |\phi _{k}\rangle $ bei einer unmittelbar anschließenden Folgemessung mit derselben Apparatur genau reproduziert wird. Unbekannte Zustände können dagegen nicht durch Messung bestimmt werden (siehe No-Cloning-Theorem).^[10] Es gilt ferner
$ \rho =\sum p_{i}\,\mathrm {P} _{i}\,, $
d.h. dass jetzt nicht die zu den Projektionsoperatoren gehörigen kets superponiert werden, sondern die Projektionsoperatoren selbst mit Wahrscheinlichkeiten versehen werden.

Insgesamt gilt also: $ {\overline {A}}=\sum \sum \,p_{i}\cdot a_{k}\cdot |\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle |^{2} $, wobei sich der Index i auf die (reinen) Zustände, der Index k dagegen auf die Messgröße bezieht.

(Wenn auch die a_k bzw. die $ \,|\phi _{k}\rangle $ nur „ungefähr“ bekannt wären, müsste man die p_i noch mit zwei entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfaktoren, q _k bzw. r _i,k, multiplizieren.)

Informationsentropie

Die Informationsentropie des Zustandes, ein quantitatives Maß für dessen Unkenntnis, ist Null für reine Zustände und $ -k_{B}\cdot \sum p_{i}\cdot \ln p_{i} $ für Gemische. Dabei wurden Boltzmann'sche Einheiten benutzt, insbesondere ist k_B die Boltzmann-Konstante. In Shannon'schen Einheiten wird dagegen diese Konstante durch Eins und der natürliche Logarithmus, ln ... (=_e log ...), durch ₂ log ... ersetzt (Basiswechsel).

Resümee

Der quantenmechanische Zustand („Reinheit“ vorausgesetzt), Zustandsvektor $ |\psi \rangle $) beschreibt also nicht einfach, „was ist“ , sondern gibt die Gesamtheit der „Komponenten“ von $ |\psi \rangle $ an, die $ \{|\phi _{k}\rangle \}, $ die durch eine zur Messgröße $ \,A $ passende Messung aus dem Vektor herausprojiziert werden können („Präparation“), und gibt insbesondere an, mit welcher Wahrscheinlichkeit dabei die k-te Komponente ausgewählt wird $ (w_{k}=|\langle \psi |\phi _{k}\rangle |^{2}). $ Auch $ |\psi \rangle $ selbst muss i.A. erst durch Messungen präpariert werden.

Dagegen ist der Zustand der Messapparatur i.W. „klassisch“ (obwohl sie auch von der quantenmechanischen Messgröße $ \,A $ abhängt). Trotzdem ist ein wesentlicher Aspekt der Messapparatur deshalb „klassisch“, weil die Apparatur analog zu einer hinreichend großen Uhr eindeutig (z. B. durch Zeigerstellung) feststellt, welcher Eigenwert a_k bei der Messung herausgekommen ist („Registrierung“). Der neu präparierte Zustand, jetzt $ |\phi _{k}\rangle , $ gehorcht trotzdem bis zur nächsten Messung nicht der klassischen, sondern der quantenmechanischen Zeitentwickung (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik#Zeitliche Entwicklung).

Anders gesagt: Der quantenmechanische Zustand ist „präparatorisch“, der klassische dagegen „registrierend“.

Siehe auch

• Quantenmechanische Messung
• Heisenbergsche Unschärferelation
• Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon

Einzelnachweise und Fußnoten