Eigenzustand

Der Eigenzustand bezeichnet in der Quantenmechanik eine der Eigenfunktionen bzw. einen der Eigenvektoren einer Observable. Eine Observable ist in der Quantenmechanik eine Messgröße die durch einen Selbstadjungierten Operator dargestellt wird. Die Anwendung des Operators auf den Eigenzustand ergibt denselben Zustand, multipliziert mit einem Skalar. Dieser Skalar ist der Eigenwert des betreffenden Operators in diesem Zustand. Der Eigenwert selbst oder seine laufende Nummer in einer nummerierten Reihe der Eigenwerte der Observable ist dann die zugehörige Quantenzahl.

Eine Messung der Observablen liefert als Ergebnis einen der Eigenwerte und lässt das physikalische System in dem Eigenzustand zurück, der zu dem gemessenen Eigenwert gehört.

Tendenziell wird der Begriff Eigenvektor eher in Zusammenhang mit der abstrakten Formulierung der Quantenmechanik mit Bra- und Ket-Vektoren oder auch in der Matrixdarstellung der Quantenmechanik verwendet, der Begriff Eigenfunktion dagegen eher für einen Eigenzustand in einer konkreten Darstellung (z. B. im Ortsraum).

Notation

Hat der Operator $ {\hat {A}} $ die Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_1, \, a_2, \,a_3, \,\dots , dann schreibt sich die Eigenwertgleichung für den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,n -ten Eigenzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \psi_n\rangle so:

$ {\hat {A}}|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle $

Beispiel: Die Lösungen der stationären Schrödingergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H | \varphi\rangle =E | \varphi \rangle

sind die Eigenzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,| \varphi \rangle = | \psi_n\rangle des Hamiltonoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H , sodass mit den Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,E_n gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H | \psi_n\rangle =E_n | \psi_n\rangle

Bedeutung

Wenn vor einer bestimmten Messung das untersuchte System in einem Eigenzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \psi_m\rangle des entsprechenden Operators $ {\hat {A}} $ ist, dann ist das sichere Ergebnis dieser Messung gerade der Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_m . Liegt das System aber in einem Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \varphi\rangle vor, der nicht Eigenzustand zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A ist, kann das Messergebnis nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Jeder der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_1, \, a_2, \,a_3, \,\dots ist ein mögliches Messergebnis, wobei die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_n (wenn die Zustände auf 1 normiert sind) durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vert\,\langle \psi_n | \varphi\rangle \vert ^2 gegeben ist (d.h. durch das Betragsquadrat der Komponente des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \varphi\rangle längs Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \psi_n\rangle ). Das Skalarprodunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\langle \psi_n | \varphi\rangle selber wird auch die Amplitude des Zustands Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \psi_n\rangle im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, | \varphi\rangle genannt. Nach einer Messung ist das untersuchte Systems dann in demjenigen Eigenzustand des betreffenden Operators, dessen Eigenwert mit dem Messergebnis übereinstimmt. Dies wird als Zustandsreduktion bezeichnet. Sie sichert u. a., dass eine sofortige Wiederholung der Messung dasselbe Ergebnis zeigt.

Eigenschaften

• Die Eigenzustände desselben hermiteschen Operators, aber mit verschiedenen Eigenwerten, sind orthogonal: Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_n \ne a_m dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \psi_n | \psi_m\rangle =0 .
• Wenn eine Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,g paarweise orthogonaler Eigenzustände desselben hermiteschen Operators denselben Eigenwert haben, heißt dieser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,g -fach entartet. Jede Linearkombination dieser Eigenzustände ist dann auch Eigenzustand zum selben Eigenwert, insgesamt ein $ \,g $-dimensionaler Unterraum des gesamten Zustandsraums. Welche Basisvektoren man darin auswählt, ist beliebig.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,g gibt in der Quantenstatistik das statistische Gewicht des Eigenwerts an. Das wird abgekürzt, aber ungenau, häufig so ausgedrückt, dass es für diesen Messwert „genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,g verschiedene Zustände“ gäbe. Diese Ausdrucksweise bezieht sich auf die maximale Anzahl linear unabhängiger Zustände unter allen Eigenzuständen zum selben Eigenwert, also die Dimension des Unterraums.
• Eine besondere Bedeutung haben die Eigenzustände eines Hamilton-Operators, denn sie sind die stationären Zustände des von diesem Operator beschriebenen Systems (s. Notations-Beispiel oben). Auch sie sind hier nicht die einzigen möglichen Zustände. Allgemein ist jede (normierte) Linearkombination von Zuständen ein möglicher Zustand (Superpositionsprinzip), öfters auch Überlagerungszustand genannt. So ein Überlagerungszustand ist ein Eigenzustand zu einem Operator genau dann, wenn in der Linearkombination nur dessen Eigenzustände zum selben Eigenwert vorkommen.