Eigenleitungsdichte

Die Eigenleitungsdichte (auch intrinsische Ladungsträgerdichte) ist die charakteristische Ladungsträgerdichte eines Stoffes in Abhängigkeit von der Temperatur. Da sie die Leitfähigkeit bestimmt, ist sie besonders bei der Auswahl von Materialien für Halbleiterbauelemente von Interesse, man spricht in dem Zusammenhang auch von der Eigenleitung als Leitungsmechanismus.

Physikalische Beschreibung

Bei Halbleitern sind im absoluten Nullpunkt sämtliche Elektronen an den Kristallatomen gebunden. Erst ab einer bestimmten Temperatur steht eine ausreichende thermische Energie zur Verfügung, um Elektronen in das Leitungsband anzuheben. Die so frei gewordenen Elektronen und zurückbleibenden Defektelektronen (Löcher) stehen dadurch zum Ladungstransport zur Verfügung (Generation von Elektron-Loch-Paaren); diesem Effekt entgegengerichtet ist die Rekombination von Elektron-Loch-Paaren unter Freiwerdung von Energie.

Im thermodynamischen Gleichgewicht stellt sich ein Gleichgewicht aus Generation und Rekombination ein. Die Anzahl an frei beweglichen Ladungsträgern ist im zeitlichen Mittel konstant. Die Eigenleitungsdichte setzt sich somit aus der durchschnittlichen Anzahl an freien Elektronen und Löchern bei einer bestimmten Temperatur zusammen. Sie berechnet sich zu:

$ n_{\mathrm {i} }^{2}=n\cdot p $ (Massenwirkungsgesetz)

Für schwach dotierte Systeme kann man die Boltzmann-Verteilung anstatt der Fermi-Verteilung anwenden, und die Ladungsträgerdichten ergeben sich zu:

$ n=N_{\mathrm {c} }\exp \left(-{\frac {E_{\mathrm {c} }-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right) $ und $ p=N_{\mathrm {v} }\exp \left({\frac {E_{\mathrm {v} }-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right) $

Somit ergibt sich die Eigenleitungsdichte

$ n_{\mathrm {i} }^{2}=np=N_{\mathrm {c} }N_{\mathrm {v} }\exp \left(-{\frac {E_{\mathrm {c} }-E_{v}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)=N_{\mathrm {c} }N_{\mathrm {v} }\exp \left(-{\frac {E_{\mathrm {g} }}{k_{\mathrm {B} }T}}\right) $

mit

n, p: Elektronendichte, Löcherdichte

N_c, N_v: effektive Zustandsdichte in Leitungs- und Valenzband (c steht für englisch conduction, dt.: Leitung)

E_c: Energie der Unterkante Leitungsband

E_v: Energie der Oberkante Valenzband

E_g: Energie der Bandlücke, es gilt $ E_{\mathrm {g} }=E_{\mathrm {c} }-E_{\mathrm {v} } $

μ: chemisches Potential

k_B: Boltzmannkonstante

T: Temperatur

Zustand in realen Kristallen

Allerdings ist zu beachten, dass es keinen perfekten Kristall gibt (Entropieargument der Thermodynamik), die intrinsische Störstellenkonzentration beträgt ca. 5·10¹³ cm⁻³, das heißt, jedes 10⁹-te Atom ist ein anderes Element. Die Ladungsträgerdichte und damit die Leitfähigkeit lässt sich durch extrinsische Störstellen (Dotierung) weiter steigern.

Da der Ionisationsgrad der Störstellen von der Temperatur abhängt, nimmt die Ladungsträgerdichte zunächst mit der Temperatur zu (Störstellenreserve). Bei Raumtemperatur sind (bei Silizium) normalerweise alle Störstellen ionisiert (Störstellenerschöpfung), und die Ladungsträgerdichte hängt nicht mehr von der Temperatur, sondern von der Dotierkonzentration ab. Dieser Fall wird als extrinsisch bezeichnet. Erhöht man die Temperatur weiter, verliert der Halbleiter seinen Charakter als n-dotiert oder p-dotiert, da zunehmend mehr Ladungsträger durch die intrinsische Ladungsträgergeneration generiert werden. Das Halbleitermaterial wird wieder intrinsisch, weil die thermische Energie ausreicht, Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband anzuregen. Bei Silizium-Halbleiterbauelementen wird deshalb eine maximale Betriebstemperatur von 125 °C angegeben.

Einzelnachweise