Boltzmann-Statistik
Die Boltzmann-Statistik der Thermodynamik (auch Boltzmann-Verteilung oder Gibbs-Boltzmann-Verteilung, nach Josiah Willard Gibbs und Ludwig Boltzmann) gibt die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems an, welches im thermodynamischen Gleichgewicht an ein Wärmebad der absoluten Temperatur
In der Quantenstatistik gehen die Fermi-Dirac-Statistik und die Bose-Einstein-Statistik bei großen Energien bzw. hohen Temperaturen jeweils in die Boltzmann-Statistik über.
Mathematisch gesehen ist die Boltzmann-Verteilung eine univariate diskrete Verteilung einer unendlichen Menge.
Definition
mit Wahrscheinlichkeiten
Wir nehmen an, dass die Zustände durchnummeriert sind mit
mit
- der Normierung
, auch Zustandssumme genannt, - dem Entartungsgrad
des Zustands , also der Anzahl von Zuständen gleicher Energie , (ist normalerweise gleich 1) und - dem Faktor
, d.h. dem Kehrwert der thermischen Energie- darin die Boltzmannkonstante
.
- darin die Boltzmannkonstante
Man erhält die Boltzmann-Statistik aus der Annahme, dass alle Zustände im abgeschlossenen Gesamtsystem, welches das betrachtete System und das Wärmebad umfasst, a priori gleich wahrscheinlich sind.
mit Teilchenzahlen
Die Boltzmann-Statistik lässt sich auch durch Teilchenzahlen ausdrücken. Die Zahl
mit der Teilchenzahl
Der Faktor
Gleichwertigkeit der beiden Definitionen
Die Formeln lassen sich ineinander überführen, da im Gleichgewicht die tatsächliche Besetzung jedes Zustands gerade proportional ist zur Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand besetzt wird.
Beispiel: wird bei zehn Teilchen der obere Zustand jeweils mit Wahrscheinlichkeit 10 % besetzt, dann ist im Gleichgewicht eines der zehn Teilchen in diesem Zustand.
Mit der Gesamtzahl
Dabei wurde benutzt, dass
Bedeutung
Die Boltzmann-Statistik ist anwendbar auf alle möglichen klassischen und quantenmechanischen Systeme: magnetische Eigenschaften von Festkörpern, Phononen, Gasen, usw. Sie definiert auch die Empfindlichkeit spektroskopischer Methoden, z. B. der NMR.
Für klassische Systeme wie z. B. ideale Gase wird die Darstellung schwieriger, da die Energien der Zustände kontinuierlich dicht liegen und damit aus der Wahrscheinlichkeit eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird. Dazu muss das richtige Maß gefunden werden. Gibbs gab es heuristisch mit
Der zu den Zuständen gehörige
Weblinks
- Eintrag In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy
Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford |
Bernoulli |
beta-binomial |
binomial |
kategorial |
hypergeometrisch |
Rademacher |
Zipf |
Zipf-Mandelbrot
Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann |
Conway-Maxwell-Poisson |
negativ binomial |
erweitert negativ binomial |
Compound-Poisson |
diskret uniform |
discrete-Phase-Type |
Gauss-Kuzmin |
geometrisch |
logarithmisch |
parabolisch-fraktal |
Poisson |
Poisson-Gamma |
Skellam |
Yule-Simon |
Zeta
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta |
Cantor |
Kumaraswamy |
raised Cosine |
Dreieck |
U-quadratisch |
stetig uniform |
Wigner-Halbkreis
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime |
Bose-Einstein |
Burr |
Chi-Quadrat |
Coxian |
Erlang |
Exponential |
F |
Fermi-Dirac |
Folded normal |
Fréchet |
Gamma |
Gamma-Gamma |
Extremwert |
verallgemeinert invers Gauß |
halblogistisch |
halbnormal |
Hotellings T-Quadrat |
hyper-exponentiale |
hypoexponential |
invers Chi-Quadrat |
scale-invers Chi-Quadrat |
Invers Normal |
Invers Gamma |
Lévy |
log-normal |
log-logistisch |
Maxwell-Boltzmann |
Maxwell-Speed |
Nakagami |
nichtzentriert Chi-Quadrat |
Pareto |
Phase-Type |
Rayleigh |
relativistisch Breit-Wigner |
Rice |
Rosin-Rammler |
shifted Gompertz |
truncated normal |
Type-2-Gumbel |
Weibull |
Wilks’ Lambda
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy |
Extremwert |
exponential Power |
Fishers z |
Fisher-Tippett (Gumbel) |
generalized hyperbolic |
Hyperbolic-secant |
Landau |
Laplace |
alpha-stabil |
logistisch |
normal (Gauß) |
normal-invers Gauß’sch |
Skew-normal |
Studentsche t |
Type-1-Gumbel |
Variance-Gamma |
Voigt
Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen |
multinomial |
Dirichlet compound multinomial
Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet |
generalized Dirichlet |
multivariat normal |
multivariat Student |
normalskaliert invers Gamma |
Normal-Gamma
Multivariate Matrixverteilungen:
Invers Wishart |
Matrix-normal |
Wishart