Entartung (Quantenmechanik)
Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zwei oder mehr Zustände eines quantenmechanischen Systems zur selben Energie existieren.
Der Entartungsgrad n ist die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen zum gleichen Energieeigenwert. Haben n Zustände dieselbe Energie, so spricht man von n-facher Entartung.
(Vorsicht: das Formelzeichen n für den Entartungsgrad darf nicht verwechselt werden mit dem Formelzeichen n für die Hauptquantenzahl!)
Die entarteten Zustände unterscheiden sich in den Werten einer anderen Observablen (z.B. des Bahn- oder des Gesamtdrehimpulses oder des Spins); man sagt, die Zustände sind in dieser Observablen entartet.
Eine Entartung ist generell Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems. So führt Rotationssymmetrie zu einer Entartung in einer beliebigen Komponente des Drehimpulses bei festem Betrag desselben, die Translationssymmetrie in Kristallen führt zu entarteten Gitterschwingungszuständen, so dass man sich bei Betrachtung der Gitterschwingungen auf die erste Brillouin-Zone beschränken kann (siehe Phonon).
Beispiel: Entartung im Wasserstoffatom
In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Keplerproblems zurückführen.
| Hauptquantenzahl $ n $ |
Drehimpuls-QZ $ l=0..n-1 $ |
Orbital | magnetische QZ $ m_{l}=-l..0..+l $ |
totale Entartung: $ \sum _{l=0}^{n-1}{(2l+1)}=n^{2} $-fach |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | s | 0 | 1 |
| 2 | 0 | s | 0 | 4 |
| 1 | p | −1, 0, +1 | ||
| 3 | 0 | s | 0 | 9 |
| 1 | p | −1, 0, +1 | ||
| 2 | d | −2, −1, 0, +1, +2 |
Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf. Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur) und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift) reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.