Feinstruktur (Physik)

Feinstruktur-Aufspaltung der Energieniveaus am Beispiel des Wasserstoffatoms (nicht maßstäblich);
Bezeichnung der Feinstruktur-Niveaus s. Termsymbol

Als Feinstruktur wird die Aufspaltung von einzelnen Spektrallinien in mehrere dicht beieinander liegende Linien innerhalb der Linienspektren von Atomen bezeichnet. Dies bedeutet, dass es im jeweiligen Atom Energieniveaus gibt, die sehr nahe zusammen liegen, da jede Spektrallinie einem Abstand von Energieniveaus zugeordnet werden kann.

Die Größenordnung dieser feineren Aufspaltung ist jedoch im Vergleich zu den übrigen Niveaus etwa 10.000-mal geringer, da die Korrekturen mit $(Z\alpha {)}^2$ gehen, wobei $Z$ die Kernladungszahl und α die Feinstrukturkonstante sind. So beträgt die Änderung der Wellenlängen für die H_α-, H_β- und H_γ-Linie der Balmer-Serie beim Wasserstoffatom nur 0,14 Å, 0,08 Å bzw. 0,07 Å (zum Vergleich: die Wellenlänge der H_α-Linie liegt bei 6562,8 Å). Dies erklärt auch die relativ späte Entdeckung der Feinstruktur durch Willis Eugene Lamb, für die er 1955 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Ursprung

Die Aufhebung der Entartung der Energieniveaus ist eine Folge der Dirac-Gleichung der relativistischen Quantenmechanik.^[1] Um diese Effekte zu berücksichtigen, addiert man Korrekturterme zum nicht-relativistischen Hamiltonoperator $H_0$ des Systems und der Ruheenergie $m_{\mathrm{e}}{c}^2$ des Elektrons. Der Hamiltonoperator lautet dann in erster Ordnung:

$H=m_{\mathrm{e}}{c}^2+H_0+W_{\mathrm{M}}+W_{\mathrm{SB}}+W_{\mathrm{D}}+\dots .$

Die Korrekturterme zur nicht-relativistischen Schrödinger- bzw. Pauli-Gleichung sind im Einzelnen:

• $W_{\mathrm{M}}=-\frac{{\overrightarrow{p}}^4}{8m_{\mathrm{e}}^3{c}^2}$ - die relativistische Korrektur der kinetischen Energie
• $W_{\mathrm{SB}}=\frac{1}{2m_{\mathrm{e}}^2{c}^2}\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{L}\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ - die Spin-Bahn-Kopplung
• $W_{\mathrm{D}}=\frac{{\hslash }^2}{8m_{\mathrm{e}}^2{c}^2}\mathrm{\Delta }V$ - der Darwin-Term als Korrektur der potentiellen Energie

Die Energieverschiebung, die man als Feinstruktur bezeichnet, ist dann entsprechend

$\mathrm{\Delta }E=E_{\mathrm{M}}+E_{\mathrm{SB}}+E_{\mathrm{D}}.$

Neben der Feinstruktur kann man auch noch feinere Strukturen in den Spektren beobachten: die Hyperfeinstruktur, welche jedoch kein relativistischer Effekt ist, sondern eine Wechselwirkung zwischen Elektron und Kernspin.

Im Wasserstoffatom

Beim Wasserstoffatom kann man relativistische Effekte, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Darwin-Term zu folgender Formel für die Korrektur der Energieniveaus zusammenfassen^[2]:

$\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{FS}}=E_{\mathrm{n}}\left[\frac{Z^2{\alpha }^2}{n^2}(\frac{n}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4})\right]$

mit

• der Energie $E_{\mathrm{n}}=E_R\frac{Z^2}{n^2}$ der Niveaus im Wasserstoffatom ohne Feinstruktur
  • der Rydberg-Energie $E_R\approx 13,6\text{eV}$
  • der Kernladungszahl $Z$
  • der Hauptquantenzahl $n$
• der Feinstrukturkonstante $\alpha$^[3]
• der Gesamtdrehimpulsquantenzahl $j$.

Diese Formel verursacht für jedes mögliche $n$ und $j$ eine Absenkung der Energie.

Quellen