Spin-Bahn-Kopplung

Als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet man in der Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik die Tatsache, dass bei einem Teilchen in einem Kraftfeld die Stellung seines Spins relativ zu seinem Bahndrehimpuls die Energie beeinflusst.

Beispiele sind die Elektronen in der Atomhülle, wo die Spin-Bahn-Kopplung (neben relativistischen Effekten und dem Darwin-Term) eine Aufspaltung der Spektrallinien bewirkt und damit zur Feinstruktur der Atomspektren beiträgt. Die bekannteste Aufspaltung ist die der gelben D-Linie von Natrium, die sich bereits mit einem guten Prisma beobachten lässt. Die Spin-Bahn-Kopplung bei Elektronen wird durch die elektromagnetische Wechselwirkung verursacht.

Wesentlich stärker ist die Spin-Bahn-Kopplung im Fall der starken Wechselwirkung, also für die Protonen und Neutronen im Atomkern (siehe Schalenmodell) und bei Kernreaktionen, sowie für alle Elementarteilchen mit starker Wechselwirkung (Hadronen).

Ursache bei Elektronen

Die Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen lässt sich anschaulich in einem semiklassischen Modell begründen. Aus der Maxwelltheorie und der speziellen Relativitätstheorie folgt, dass auf ein Elektron, wenn es im elektrischen Feld eines Atomkerns kreist, ein magnetisches Feld wirkt. Im Ruhesystem des Elektrons wird nämlich eine kreisende Bewegung des Kerns wahrgenommen. Diese Bewegung stellt aufgrund der Ladung des Kerns einen Kreisstrom dar, welcher nach dem Gesetz von Biot-Savart ein Magnetfeld parallel zum Bahndrehimpulsvektor erzeugt. Da das Elektron in seinem Ruhesystem mit seinem Eigendrehimpuls (Spin) auch ein magnetisches Moment besitzt, ergibt sich für eine Spinrichtung parallel zum Feld eine niedrigere Energie und für die entgegengesetzte eine höhere. Hierdurch wird ein einzelnes Energieniveau in zwei Niveaus aufgespalten, und es gibt in den optischen Spektren zwei gegenüber der ursprünglichen Lage leicht verschobene Linien, die bei grober Betrachtung aber als eine erscheinen. Die genaue Herleitung ergibt sich aus der Dirac-Gleichung.

Spin-Bahn-Kopplungsenergie

Aus der Spin-Bahn-Kopplung ergibt sich folgende Energieverschiebung für die einzelnen Energieniveaus:

$ \Delta E=a{\frac {{\vec {\ell }}\cdot {\vec {s}}}{\hbar ^{2}}}={a \over 2}\;[j(j{\mathord {+}}1)-l(l{\mathord {+}}1)-s(s{\mathord {+}}1)] $

$ a $ ist die Spin-Bahn-Kopplungskonstante. Gemäß der obigen Vorstellung berechnet man im Bohrschen Atommodell^[1]

$ a={\frac {Ze^{2}\mu _{0}\hbar ^{2}}{8\pi m_{e}^{2}r^{3}}} $

Hierbei ist die relativistische Thomas-Korrektur mit einem Faktor 1/2 berücksichtigt. m_e bezeichnet die Elektronenmasse, e die Elektronenladung, µ₀ die magnetische Feldkonstante und $ \hbar $ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum. $ a $ ist am größten für die innerste Bahn des Elektrons, deren Radius sich zudem wie $ r\propto {\tfrac {1}{Z}} $ verhält. Insgesamt wächst die Aufspaltung durch Spin-Bahn-Kopplung mit steigender Ordnungszahl also wie $ Z^{4} $.

jj-Kopplung

Die jj-Kopplung ist die Form der Drehimpulsaddition mehrerer Elektronen, die bei schweren Atomen mit großen Ladungszahlen Z (z. B. bei Blei) vorherrscht. Für jedes einzelne Elektron $ i $ koppeln hier schon sein Bahndrehimpuls $ {\vec {\ell }}_{i} $ und Spin $ {\vec {s}}_{i} $, d.h. jedes Elektron ist durch Kombination seiner Zustände zu verschiedenen magnetischen Quantenzahlen $ m_{\ell } $ und $ m_{s} $ in einem Eigenzustand zu seinem Gesamtdrehimpuls

$ {\vec {j}}_{i}={\vec {\ell }}_{i}+{\vec {s}}_{i} $

und hat daher die Quantenzahlen $ \ell _{i},j_{i} $ (dazu die Hauptquantenzahl $ n_{i} $ für die betreffende Schale und den konstanten Spin $ s_{i}={\tfrac {1}{2}} $).

Die $ {\vec {j}}_{i} $ koppeln zum Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}} $ der Atomhülle (wobei sich für abgeschlossene Schalen immer $ {\vec {J}}=0 $ ergibt):

$ {\vec {J}}=\sum _{i}{\vec {j}}_{i} $

LS-Kopplung

Als LS-Kopplung wird in Atomen mit mehreren Elektronen ein zur jj-Kopplung entgegengesetztes Kopplungsschema bezeichnet. Aufgrund seiner ähnlichen Benennung wird es irrtümlich leicht mit der Spin-Bahn-Kopplung in Zusammenhang gebracht, obwohl in diesem Kopplungsschema die oben mit dem Operator $ ({\hat {\vec {\ell }}}\cdot {\hat {\vec {s}}}) $ beschriebene Spin-Bahn-Kopplung bei den einzelnen besetzten Elektronenorbitalen $ \varphi _{n_{i},\ell _{i},m_{\ell i}} $ zunächst völlig vernachlässigt wird. Stattdessen betrachtet man Zustände der ganzen Hülle, in denen der Gesamtbahndrehimpuls

$ {\hat {\vec {L}}}=\sum _{i}{\hat {\vec {\ell }}}_{i} $

einen festen Wert annimmt (Quantenzahl $ L $, Eigenwert $ \hbar ^{2}L(L{\mathord {+}}1) $ zum Operator $ {\hat {\vec {L}}}^{2} $). (Tatsächlich braucht man abgeschlossene Schalen dabei nicht zu berücksichtigen, denn sie haben automatisch $ L{\mathord {=}}0 $.) Wenn mindestens zwei $ \ell _{i}\neq 0 $, dann kann $ L $ mehrere verschiedene Werte haben, die zunächst alle zur gleichen Energie gehören, weil die Elektronen immer in derselben Unterschale $ n,\ell $ sitzen und weitere Energiebeiträge - noch - vernachlässigt sind. Diese energetisch entarteten Zustände werden formal weiter aufgeschlüsselt nach der Quantenzahl $ S $ für den Gesamtspin der Elektronen:

$ {\hat {\vec {S}}}=\sum _{i}{\hat {\vec {s}}}_{i} $

Dabei kommen nur die Kombinationen von $ L $ und $ S $ vor, die dem Pauli-Prinzip entsprechen, d. h. die eine bei Vertauschung zweier Elektronen antisymmetrische Wellenfunktion ergeben. Nun sind die Ortswellenfunktion zu gegebenem $ L $ für sich allein bei Vertauschung (innerhalb einer Unterschale) immer schon entweder symmetrisch oder antisymmetrisch, je nachdem $ L $ gerade oder ungerade ist, und die Spinwellenfunktion zu gegebenem $ S $ ebenso. Damit eine insgesamt antisymmetrische Funktion entsteht, müssen Orts- und Spinfunktion eines Niveaus daher immer entgegengesetzte Symmetrie haben.

Im nächsten Schritt berücksichtigt man die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Elektronen. Sie fällt für verschiedene $ L $ verschieden groß aus, vor allem je nach Symmetriecharakter der jeweiligen Ortswellenfunktion (Austauschintegral), die - wie eben dargestellt - im Symmetriecharakter zum jeweiligen $ S $ passen muss. So ergibt sich für jeden Wert von $ S $ eine andere Energie, obwohl die Spins der Elektronen an den Wechselwirkungen überhaupt noch nicht beteiligt wurden. Je nach Quantenzahlen $ L $ und $ S $ sind also unterschiedliche Energien zu erwarten, die beobachtbaren Niveaus des Atoms zugeordnet werden können. Für leichte Atome (bis etwa zur Kernladungszahl $ Z=10 $) ist das eine gute Näherung.

Die immer noch existente Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen macht sich dann durch eine weitere feine Aufspaltung bemerkbar, wodurch bei festem $ L $ und $ S $ jedem möglichen Eigenwert $ J $ zum Gesamtdrehimpuls $ {\hat {\vec {J}}}={\hat {\vec {L}}}{\mathord {+}}{\hat {\vec {S}}} $ eine etwas verschiedene Energie zugeordnet wird. Es entsteht ein Multiplett mit (im Allgemeinen) $ {2S{\mathord {+}}1} $ eng benachbarten Niveaus.

In LS-Kopplung hat also jedes Elektron nach wie vor die Quantenzahlen $ n_{i},\ell _{i} $, aber nicht $ j_{i} $. Ein Niveau der ganzen Atomhülle hat die drei Quantenzahlen $ L,S,J $, die im Termsymbol $ ^{2S{\mathord {+}}1}L_{J} $ zusammengefasst werden.

Mit zunehmender Kernladungszahl wird die Beschreibung nach der LS-Kopplung eine immer schlechtere Näherung, bis ab mittleren Kernladungszahlen die Spin-Bahn-Wechselwirkung der einzelner Elektronen so groß wird, dass das jj-Kopplungsschema zunehmend besser zutrifft. Man sagt, die LS-Kopplung wird aufgebrochen.

Gelegentlich wird die LS-Kopplung nach den Physikern Henry Norris Russell und Frederick Albert Saunders mit Russell-Saunders-Kopplung bezeichnet.

Einzelnachweise

Weblinks

• Uni Stuttgart Spin-Bahn-Kopplung am Wasserstoffatom