Magnetisches Moment

Das magnetische Moment $ {\vec {m}} $ (auch magnetisches Dipolmoment) ist in der Physik ein Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols und analog zum elektrischen Dipolmoment definiert.

Auf ein magnetisches Moment wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte $ {\vec {B}} $ ein Drehmoment

$ {\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}}, $

durch das es in die Feldrichtung gedreht wird ($ \times $: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel $ \theta $ zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

$ E_{\text{pot}}=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}}\equiv -m\,B\cos \theta . $

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel und der Elektromotor.

Die Einheit des magnetischen Moments lautet im SI-System A·m², multipliziert mit der magnetischen Feldkonstante $ \mu _{0} $ lautet sie T·m³.

Ein magnetisches Moment kann zwei Ursachen haben:

• Ein elektrischer Strom mit der Stromdichteverteilung $ {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}}) $ hat ein magnetisches Moment

$ {\vec {m}}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{3}r\left[{\vec {r}}\times {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})\right]. $

Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus

$ m=I\cdot A, $

wobei $ A $ die vom Strom $ I $ umflossene Fläche ist.

Dies ist z. B. in der Elektrotechnik Grundlage für Generatoren, Motoren und Elektromagnete.

• Teilchen mit einem Eigendrehimpuls (Spin) $ {\vec {s}} $ haben ein magnetisches Moment

$ {\vec {m}}=\gamma {\vec {s}}, $

wobei $ \gamma $ gyromagnetisches Verhältnis genannt wird. Beispiele sind Elektronen, die durch die Parallelstellung ihrer magnetischen Momente den Ferromagnetismus der Elemente der Eisengruppe und der Seltenen Erden hervorrufen. Diese werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

Beispiele

Ebene Leiterschleife

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

$ {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})\;\mathrm {d} ^{3}r=I\;\mathrm {d} {\vec {r}}. $

Dabei bezeichnet

• $ {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}}) $ die Stromdichte am Ort $ {\vec {r}} $
• $ \int \mathrm {d} ^{3}r $ ein Volumenintegral
• $ I $ die Stromstärke durch die Leiterschleife
• $ \int \mathrm {d} {\vec {r}} $ ein Wegintegral entlang der Leiterschleife.

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

$ {\vec {m}}={\frac {I}{2}}\int _{C}({\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}})=I\cdot {\vec {A}}=I\cdot A\cdot {\vec {n}} $

mit dem Normalenvektor $ {\vec {n}} $ auf der ebenen Fläche $ A $.

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl $ n $, Stromstärke $ I $ und Fläche $ A $:

$ {\vec {m}}=n\cdot I\cdot {\vec {A}}. $

Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn

klassisch

Ist der Kreisstrom durch eine Ladung $ Q $ auf einer Kreisbahn (Radius $ r $, Umlaufperiode $ T $ ) verursacht, ergibt diese Formel

$ {\vec {m}}=IA\;{\vec {n}}={\frac {Q}{T}}\cdot \pi r^{2}\;{\vec {n}}\equiv {\frac {Q}{2M}}{\vec {L}}\quad . $

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

$ {\vec {L}}=\omega Mr^{2}\;{\vec {n}} $

verknüpft. Der konstante Faktor $ \gamma ={\tfrac {Q}{2M}} $, darin $ M $ die Masse des Teilchens, ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit $ \omega ={\tfrac {2\pi }{T}} $ benutzt.)

quantenmechanisch

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Einheit $ \hbar $ (Plancksches Wirkungsquantum) annehmen kann ^{[Anmerkung 1]}, hat auch dies magnetische Bahnmoment eine kleinste Einheit, das Magneton:

$ \mu ={\frac {Q\hbar }{2M}}\quad . $

Für das Elektron wird dies als Bohrsches Magneton $ \mu _{B}={\tfrac {e\hbar }{2m_{e}}} $ bezeichnet, für das Proton als Kernmagneton $ \mu _{K}={\tfrac {e\hbar }{2m_{p}}} $. Da die Protonenmasse $ m_{p} $ knapp 2000 mal größer ist als die Elektronenmasse $ m_{e} $, ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohrsche Magneton. Daher sind die magnetischen Wirkungen der Atomkerne nur sehr schwach und schwer zu beobachten (Hyperfeinstruktur).

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin $ {\vec {s}} $ besitzen ein magnetisches Spinmoment $ {\vec {\mu _{s}}} $, das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins $ g_{s}{\mathord {\neq }}1 $ ausgedrückt. Man schreibt für Elektron ($ e^{-} $) und Positron ($ e^{+} $)

$ {\vec {\mu }}_{s}=g_{e}\,\mu _{B}\,{\frac {\vec {s}}{\hbar }} $ mit dem Bohrschen Magneton $ {\vec {\mu _{B}}} $,

für Proton (p) und Neutron (n)

$ {\vec {\mu }}_{s}=g_{p,n}\,\mu _{K}\,{\frac {\vec {s}}{\hbar }} $ mit dem Kernmagneton $ {\vec {\mu _{K}}} $,

und für andere Teilchen analog. Für das Myon wird im Bohrschen Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung. Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.^{[Anmerkung 2]}

Teilchen	Spin-g-Faktor
Elektron $ e^{-} $	−2,002 319 304 361 53(53)
Positron $ e^{+} $	+2,002 319 304 375 8(43)
Myon $ \mu ^{-} $	−2,002 331 841 8(13)
Proton $ p $	+5,584 694 712 (46)
Neutron $ n $	-3,826 085 44 (90)

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen) exakt $ g_{s}{\mathord {=}}\pm 2 $, quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa $ g_{s}{\mathord {=}}\pm 2,0023 $ vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.

Weisen die Teilchen (z.B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind) zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf, so gilt, dass sich das magnetische Moment aus dem oben betrachteten magnetischem Moment des Spins ($ {\vec {\mu }}_{s} $) und dem des Bahndrehimpulses ($ {\vec {\mu }}_{\ell } $) zusammensetzt:

$ {\vec {\mu }}={\vec {\mu }}_{s}+{\vec {\mu }}_{\ell } $.

Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols

Ein magnetischer Dipol $ {\vec {m}} $ am Koordinatenursprung führt am Ort $ {\vec {r}} $ zu einer magnetischen Flussdichte

$ {\vec {B}}({\vec {r}})\,=\,{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,{\frac {3{\vec {r}}({\vec {m}}\cdot {\vec {r}})-{\vec {m}}r^{2}}{r^{5}}} $ .

Sowohl Rotation als auch Divergenz dieses Feldes verschwinden. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

$ {\vec {A}}({\vec {r}})\,=\,{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,{\frac {{\vec {m}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}} $ ,

wobei $ {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}} $ ist.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.

Anmerkung