Magnetostatik

Erweiterte Suche

(Weitergeleitet von Magnetisches Gleichfeld)

Die Magnetostatik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik. Sie behandelt magnetische Gleichfelder, also zeitlich konstante Magnetfelder.

Grundlagen

In der Magnetostatik wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung von Dauermagneten und von stationären Strömen (Konzept des Stromfadens) untersucht. Ein stationärer Strom ist beispielsweise Gleichstrom in einem elektrischen Leiter. Hierzu gehören neben den einzelnen magnetischen Eigenschaften der Stoffe wie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. auch das Erdmagnetfeld. Außerdem beinhaltet die Magnetostatik die Kraftwirkung derartig erzeugter Felder auf Magnete und Ströme. Hierzu gehört das Verhalten eines magnetischen Dipols in einem zeitlich konstanten Magnetfeld; beispielsweise das Verhalten einer (frei beweglichen) Magnetnadel im Erdmagnetfeld. Die Grundbegriffe sind der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischen Ladung entspricht Nordpol und Südpol bzw. positive und negative Polstärke eines Magneten. Im Gegensatz zur Elektrostatik können magnetische Polstärken nicht isoliert werden, sondern treten in einem Körper immer zusammen auf.

Veranschaulichung

Obwohl es keine isolierten magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gibt, können magnetostatische Effekte mit einer Analogie zur Elektrostatik veranschaulicht werden, dies wird insbesondere in der Schulphysik benutzt. Dabei betrachtet man einen Stabmagnet der Länge l als zwei entgegensetzte magnetische Ladungen im Abstand l.

Das Analogon zur elektrischen Ladung ist die magnetische Polstärke p, sie ist von der gleichen Dimension wie der magnetische Fluss und wird somit in der Einheit Weber angegeben.

Es gilt dann das Magnetische Kraftgesetz (auch magnetostatisches Kraftgesetz):

$ F= \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{p_1\cdot p_2}{r^2} $,

Dabei ist F die Kraft, μ0 die magnetische Feldkonstante und p die magnetische Polstärke.

Feldtheorie

Für zeitlich konstante Felder entkoppeln die Gleichungen für E- und B-Felder. Setzt man in den Maxwellgleichungen alle Zeitableitungen gleich 0, so entstehen Gleichungen, die nicht gleichzeitig E und B enthalten. Die Phänomene der Magnetostatik lassen sich mit folgenden zwei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

  1. $ \nabla \cdot \vec B = 0 $
  2. $ \nabla \times \vec B = \mu \vec j $

Man führt das Vektorpotential $ \vec A $ als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

$ \vec B = \nabla \times \vec A $

Dadurch wird automatisch die Gleichung $ \nabla \cdot \vec B = 0 $ erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist $ \nabla \cdot \left( {\nabla \times \vec A} \right) \equiv 0 $.

$ \vec A $ ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da $ \vec B $ invariant ist unter einer Eichtransformation $ \chi $ mit $ \vec A' = \vec A + \nabla \chi $. D.h. die durch A und A' festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

$ \vec B' = \nabla \times \vec A' = \nabla \times \vec A + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A = \vec B $,

da die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man $ \vec B = \nabla \times \vec A $ in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung 2)

$ \mu \vec j = \nabla \times \nabla \times \vec A = \nabla \left( {\nabla \cdot \vec A} \right) - \Delta \vec A $

ein, so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung $ \nabla \cdot \vec A = 0 $ die besonders einfache Form:

$ \Delta \vec A = - \mu \vec j $

Dies stellt für jede Komponente eine Poisson-Gleichung dar, die durch

$ \vec {A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{{4\pi}}\int d^3r'\frac{\vec j(\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|} $

gelöst wird.

Wendet man die Rotation auf A an so erhält man das Biot-Savart-Gesetz für das physikalisch relevante B-Feld

$ \vec B\left( {\vec r} \right) = \nabla _{\vec r} \times \vec A\left( {\vec r} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\nabla _{\vec r} \times \frac{{\vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|}}} d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\left( {\nabla _{\vec r} \frac{1}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|}}} \right) \times } \vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\vec j\left( {\vec{r}\,'} \right) \times \frac{{\vec r - \vec{r}\,'}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|^3 }}d^3 r'} $

Für einen Stromfaden geht $ \vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)d^3 r' $ zu $ Id\vec s\,' $ über:

$ \vec B\left( {\vec r} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}I\int {d\vec{s}\,' \times \frac{{\vec r - \vec{r}\,'}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|^3 }}} $

Magnetostatische Felder

Magnetostatische Felder existieren innerhalb gleichstromführender Leiter. Sie sind quellenfrei und es gibt keine magnetischen Ladungen,

$ \mathrm{div} \; B(r) = 0 $.

Die Ursache magnetostatischer Felder sind bewegte elektrische Ladungen bzw. ihnen äquivalente Gleichströme mit der Wirbeldichte:

$ \mathrm{rot} \; H(r) = J_L(r) $.

Literatur

  • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News aus den Naturwissenschaften

25.11.2021
Sonnensysteme | Exoplaneten
Wenig Kollisionsgefahr im Planetensystem TRAPPIST-1
Sieben erdgrosse Planeten umkreisen den Stern TRAPPIST-1 in nahezu perfekter Harmonie.
23.11.2021
Optik
„Maßgeschneidertes“ Licht
Ein Forscherteam entwickelt erstmals ein Lichtfeld, welches die Struktur des vierdimensionalen Raums widerspiegelt.
15.11.2021
Schwarze Löcher
Woher kommt das Gold?
Wie werden chemische Elemente in unserem Universum produziert?
08.11.2021
Teilchenphysik
Neue Einblicke in die Struktur des Neutrons
Sämtliche bekannte Atomkerne und damit fast die gesamte sichtbare Materie bestehen aus Protonen und Neutronen – und doch sind viele Eigenschaften dieser allgegenwärtigen Bausteine der Natur noch nicht verstanden.
08.11.2021
Physikdidaktik | Strömungsmechanik
Warum Teekannen immer tropfen
Strömungsmechanische Analysen der TU Wien beantworten eine alte Frage: Wie kommt es zum sogenannten „Teapot-Effekt“?
05.11.2021
Teilchenphysik | Thermodynamik
Elektronen-Familie erzeugt bisher unbekannten Aggregatzustand
Ein internationales Forschungsteam des Exzellenzclusters ct.
04.11.2021
Galaxien | Schwarze Löcher
Jet der Riesengalaxie M87
In verschiedenen Wellenlängen lässt sich ein gigantischer Teilchenstrahl beobachten, der von der Riesengalaxie M87 ausgestoßen wird.
04.11.2021
Galaxien
Am weitesten entfernter Nachweis von Fluor in sternbildender Galaxie
Eine neue Entdeckung gibt Aufschluss darüber, wie Fluor – ein Element, das in unseren Knochen und Zähnen als Fluorid vorkommt – im Universum entsteht.
02.11.2021
Monde | Kometen und Asteroiden
Planetologen erforschen schweres Bombardement des Mondes vor 3,9 Milliarden Jahren
Der Mond war vor 3,9 Milliarden Jahren einem schweren Bombardement mit Asteroiden ausgesetzt.
29.11.2021
Optik | Quantenoptik
Nur durch Billiardstel Sekunden getrennt
Ultrakurze Lichtblitze dauern weniger als eine Billiardstel Sekunde und haben eine wachsende technologische Bedeutung.