Vektorpotential

Das Vektorpotential $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $ ist, historisch gesehen, ein mathematisches Hilfsmittel, das in der klassischen Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, dazu eingeführt wurde, den Umgang mit der magnetischen Induktion bzw. Flussdichte $ \mathbf {B} (\mathbf {r} ) $ (anschaulich gesprochen mit dem "Magnetfeld") zu vereinfachen. Der Aharonov-Bohm-Effekt allerdings kann allein über die Flussdichte $ \mathbf {B} (\mathbf {r} ) $ nicht erklärt werden, sondern nur über das Vektorpotential, so dass es inzwischen mehr als ein Hilfsmittel ist.

Mathematisch ist das Vektorpotential (im Unterschied zum Skalarpotential) ein Vektorfeld $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $, dessen Rotation gemäß folgender Formel

$ \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} \ \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $

ein zweites Vektorfeld $ \mathbf {B} (\mathbf {r} ) $ liefert.

Vektorpotentiale lassen sich u.a. dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten sogen. Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen. So zeigt sich, dass das Vektorpotential über eine Faltung aus einer gegebenen ortsabhängigen Stromdichte $ \mathbf {j} (\mathbf {r} ) $ (also eine Anordnung von stromdurchflossenen Leitern im Raum, wie zum Beispiele eine Spule) hervorgeht, man also das Vektorpotential zu einer gegebenen Stromdichte berechnen kann, und daraus dann die messbare magnetischen Induktion bzw. Flussdichte $ \mathbf {B} (\mathbf {r} ) $, die durch diese Anordnung erzeugt wird.

Das Vektorpotential hat die Einheit $ [\mathbf {A} ]=\mathrm {\frac {V\,s}{m}} $.

Definition

Das Vektorpotential $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $ wird so definiert, dass

$ \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $

gilt. Hierbei ist $ \nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ) $ die Rotation des Vektorpotentials. Durch diesen Ansatz ist die Divergenz von $ \mathbf {B} $ Null, da $ \operatorname {div} \mathbf {B} =\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0 $ für alle zweifach stetig differenzierbaren Vektorfelder. Dies wird durch die Maxwellgleichungen gefordert.

In der Elektrodynamik gilt die obige Formel unverändert, wohingegen für das elektrische Feld $ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t) $

$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ,t)-\partial _{t}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t) $

gilt. Hierbei ist $ \Phi $ das skalare Potential.

Diese beiden Ansätze, zusammen mit der Lorenz-Eichung, werden benutzt, um die Maxwellgleichungen zu entkoppeln. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenz-Eichung darstellt.

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

$ A^{\mu }=\left(\Phi /c,\mathbf {A} \right) $

zusammengefasst.

Eigenschaften des Vektorpotentials

(1) Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion $ \chi (\mathbf {r} ,t) $ gilt also

$ {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'&=\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \chi (\mathbf {r} ,t)\\\Rightarrow \;\;\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)'&=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\,.\end{aligned}} $

Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.

(2) Das Vektorpotential ist als Vektorfeld nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes $ \alpha $ darstellbar und es würde gelten:

$ \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,. $

(3) In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

$ \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )=0 $.

(4) In der Elektrodynamik, d.h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die sog. Lorenz-Eichung, nämlich folgende Beziehung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

$ \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi (\mathbf {r} ,t)=0\,. $ Dabei ist $ \Phi (\mathbf {r} ,t) $ das sog. skalare Potential (s.u.) und $ c $ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

(5) In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung, für die gilt (mit der Vakuumpermittivität $ \epsilon _{0} $ und der Vakuumpermeabilität $ \mu _{0} $):

$ \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} \equiv -\mu _{0}\mathbf {j} $.

Daraus erhält man folgende einfache Darstellung des Vektorpotentials über eine Faltung (siehe Greensche Funktion):

$ \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,. $

Die Ausdrücke $ \nabla \cdot \mathbf {A} $ und $ \nabla \times \mathbf {A} $ werden manchmal auch als $ \mathrm {div} \,\mathbf {A} $ bzw. $ \mathrm {rot} \,\mathbf {A} $ bezeichnet.

(6) In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

$ \Box \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} $,

wobei $ \Box $ der d'Alembert-Operator ist.

Die (inhomogene) Lösung dieser Gleichung ist das sog. retardierte Vektorpotential

$ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r' $, mit $ t'=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}} $.

Die homogene Lösung wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt.

(7) Die drei Komponenten $ A_{x} $, $ A_{y} $ und $ A_{z} $ des Vektorpotentials und das skalare Potential $ \Phi /c $ können in der Elektrodynamik zu einem sog. Vierervektor zusammengefasst werden, der sich bei den sog. Lorentz-Transformationen der Speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins wie das Quadrupel (x, y, z ,ct) transformiert. c ist dabei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Elektrisches Vektorpotential

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z.B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential $ \mathbf {F} $.

Auf Grund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

$ \mathrm {div} \,\mathbf {D} =0 $ bzw.

$ \mathrm {div} \,\mathbf {E} =0 $ sowie

$ \mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0 $.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen $ \mathbf {D} (r) $ und $ \mathbf {F} (r) $ zu erhalten subtrahiert man die Gleichungen $ \mathrm {div} \,\mathbf {D} =0 $ und $ \mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0 $ voneinander und erhält:

$ \mathrm {div} \,(\mathbf {D} -\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )=0 $

Das Wirbelfeld $ \mathbf {F} $ nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld $ {\vec {H}}({\vec {r}}) $ als Superposition zweier Komponenten $ {\vec {F}}({\vec {r}}) $ und $ {\vec {G}}({\vec {r}}) $ aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials $ \Phi ({\vec {r}}) $ ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials $ {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}) $:

$ {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}) $

Ist $ {\vec {F}}({\vec {r}})\, $ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft $ {\vec {F}}\, $ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials $ \Phi \ $ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

$ {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}). $

Quelle

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5