Vektorpotential
Das Vektorpotential
Mathematisch ist das Vektorpotential (im Unterschied zum Skalarpotential) ein Vektorfeld
ein zweites Vektorfeld
Vektorpotentiale lassen sich u.a. dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten sogen. Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen. So zeigt sich, dass das Vektorpotential über eine Faltung aus einer gegebenen ortsabhängigen Stromdichte
Das Vektorpotential hat die Einheit
Definition
Das Vektorpotential
gilt. Hierbei ist
In der Elektrodynamik gilt die obige Formel unverändert, wohingegen für das elektrische Feld
gilt. Hierbei ist
Diese beiden Ansätze, zusammen mit der Lorenz-Eichung, werden benutzt, um die Maxwellgleichungen zu entkoppeln. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenz-Eichung darstellt.
Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential
zusammengefasst.
Eigenschaften des Vektorpotentials
(1) Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion
- Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.
(2) Das Vektorpotential ist als Vektorfeld nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes
(3) In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet
.
(4) In der Elektrodynamik, d.h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die sog. Lorenz-Eichung, nämlich folgende Beziehung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:
Dabei ist das sog. skalare Potential (s.u.) und die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
(5) In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung, für die gilt (mit der Vakuumpermittivität
.
- Daraus erhält man folgende einfache Darstellung des Vektorpotentials über eine Faltung (siehe Greensche Funktion):
Die Ausdrücke
(6) In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential
,
- wobei
der d'Alembert-Operator ist.
Die (inhomogene) Lösung dieser Gleichung ist das sog. retardierte Vektorpotential
, mit .
Die homogene Lösung wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
(7) Die drei Komponenten
Elektrisches Vektorpotential
Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z.B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential
Auf Grund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt
bzw. sowie .
Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen
Das Wirbelfeld
Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential
Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld
Ist
Quelle
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5