Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformationen, benannt nach Hendrik Antoon Lorentz, verbinden in der speziellen Relativitätstheorie und der lorentzschen Äthertheorie die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Dabei handelt es sich um geradlinig gleichförmig bewegte Beobachter und um Koordinaten, in denen kräftefreie Teilchen gerade Weltlinien durchlaufen. Bei Lorentz-Transformationen bleibt die Lichtgeschwindigkeit $c$ unverändert, umgekehrt war die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Ausgangspunkt von Einsteins Herleitung der Lorentz-Transformation.

Von der Lorentztransformation betroffen sind:

• die zum Geschwindigkeitsvektor $\overrightarrow{v}$ parallelen Ortsvariablen
• die zum Geschwindigkeitsvektor $\overrightarrow{v}$ senkrechten elektromagnetischen Feldkomponenten
• die Zeit.

Lorentztransformation für Orte und Zeiten

Ist ein gleichförmig bewegter Beobachter mit Geschwindigkeit $v$ in $x$-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter bewegt, so hängen die Koordinaten $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, die er einem Ereignis zuschreibt, durch die Lorentz-Transformation

$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z$

mit den Koordinaten $(t,x,y,z)$ des anderen Beobachters für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme gleich orientiert sind und zum Zeitpunkt $t=t^{\prime }=0$ einen gemeinsamen Ursprung haben, etwa bei einem vorausgehenden, auslösenden Ereignis.

Für eine koordinatenfreie Darstellung dieser Transformation zerlegt man den Abstand zwischen zwei Ereignissen in Komponenten parallel und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor:^[1]

$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{r}}{c^2}),r_{\parallel }^{\prime }=\gamma (r_{\parallel }-vt),r_{\mathrm{\perp }}^{\prime }=r_{\mathrm{\perp }}$

mit der Abkürzung $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Lorentztransformation für das elektromagnetische Feld

Auch schon bei kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$ treten im Hinblick auf das elektromagnetische Feld relativistische Effekte auf. Diese grundsätzliche Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich:

• Ein Beobachter, der eine (relativ zu ihm nicht bewegte) Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.

• Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu- oder von ihr weg, so wird er einerseits bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld verändert. Das bedeutet, dass der Beobachter bei gleicher Entfernung von der Ladung, aber anderer Relativgeschwindigkeit zur Ladung ein unterschiedliches E-Feld misst. Andererseits interpretiert der Beobachter die Ladung aber auch als einen Strom, der sich von ihm fort oder auf ihn zubewegt. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.

Ebenso wie Orte und Zeiten müssen daher die elektromagnetischen Feldkomponenten einer Lorentztransformation unterzogen werden, wenn das Bezugssystem der Beobachtung gewechselt wird. Für die elektrischen und magnetischen Größen gilt^[2]:

$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{E}}^{\prime }=\gamma (\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})+(1-\gamma )\frac{\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}\overrightarrow{v}\\ & {\overrightarrow{B}}^{\prime }=\gamma (\overrightarrow{B}-\frac{1}{c^2}\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{E})+(1-\gamma )\frac{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}\overrightarrow{v}\\ & {\overrightarrow{D}}^{\prime }=\gamma (\overrightarrow{D}+\frac{1}{c^2}\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{H})+(1-\gamma )\frac{\overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}\overrightarrow{v}\\ & {\overrightarrow{H}}^{\prime }=\gamma (\overrightarrow{H}-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{D})+(1-\gamma )\frac{\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}\overrightarrow{v}\\ & {\overrightarrow{j}}^{\prime }=\overrightarrow{j}-\gamma \cdot \rho \cdot \overrightarrow{v}+(\gamma -1)\frac{\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}\overrightarrow{v}\\ & {\rho }^{\prime }=\gamma \cdot (\rho -\frac{1}{c^2}\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{v})\end{array}$

In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten $v\ll c$, gilt ungefähr $\gamma \approx 1$. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen zu unterschieden werden, und für die Feldgrößen gilt:

$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{E}}^{\prime }=\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\\ & {\overrightarrow{B}}^{\prime }=\overrightarrow{B}-(1/c^2)\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{E}\approx \overrightarrow{B}\\ & \overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}^{\prime }-\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{B}}^{\prime }\\ & \overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}^{\prime }+(1/c^2)\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{E}}^{\prime }\approx {\overrightarrow{B}}^{\prime }\end{array}$

Geschichtliche Entwicklung

Hauptartikel: Geschichte der Lorentz-Transformation

Die Arbeiten von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905, welcher den Lorentz-Transformationen ihren Namen gab) zeigten, dass die Lösungen der Gleichungen der Elektrodynamik durch Lorentz-Transformationen aufeinander abgebildet werden oder mit anderen Worten, dass die Lorentz-Transformationen Symmetrien der Maxwell-Gleichungen sind.

Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen Äther zu erklären. Als bemerkenswerteste Eigenschaft dieses Äthers stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. In seiner Äthertheorie konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten, die von bewegten Uhren und Maßstäben angezeigt werden, bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz' Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest, der ein absolut ruhendes, aber eben nicht nachweisbares System auszeichnete.

Einsteins spezielle Relativitätstheorie löste Newtons Mechanik und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem Relativitätsprinzip ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit $c$. Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen, statt wie in Newtons Mechanik durch eine Galilei-Transformation.

Herleitung

Die folgenden Überlegungen klären, wie Koordinaten zusammenhängen, die gleichförmig bewegte Beobachter zur Benennung der Zeit und des Ortes von Ereignissen verwenden.

Um das Formelbild einfach zu halten, wird als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt, definiert. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt $c=1.$ Untersuchungen in anderen Maßsystemen bringen keine tieferen Einsichten.

Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear inhomogen ist.

Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen.

Zudem muss die Differenz $t^2-x^2-y^2-z^2$ bei beiden Beobachtern übereinstimmen

$t^{\prime 2}-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}=t^2-x^2-y^2-z^2.$

Denn auf einer gleichförmig bewegten Uhr, die den Ursprung durchläuft, vergeht die Zeit

$\tau =\sqrt{t^2-x^2-y^2-z^2}$

bis sie das Ereignis durchläuft, das der eine Beobachter mit $(t,x,y,z)$ und der andere mit $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ benennt. Da beide Beobachter diese Uhr ablesen können und darin übereinstimmen, welchen Wert sie in einem Ereignis anzeigt, müssen die obigen Differenzen von Quadraten übereinstimmen.

Unterstellen wir einfachheitshalber (siehe unten) dass die $y$- und $z$-Koordinaten beider Beobachter übereinstimmen, dann suchen wir eine lineare Transformation von $(t,x)$ auf $(t^{\prime },x^{\prime })$ mit

$t^{\prime 2}-x^{\prime 2}=t^2-x^2.$

Die Aufgabe vereinfacht sich durch Verwendung der binomischen Formel

$t^2-x^2=(t+x)(t-x)=t_{+}{t}_{-},t_{+}=t+x,t_{-}=t-x.$

und der Verwendung von $t_{+}$ und $t_{-}$ als Basis. Es ist also eine lineare Transformation

$t_{+}^{\prime }=a{t}_{+}+b{t}_{-},t_{-}^{\prime }=c{t}_{+}+d{t}_{-}$

mit Koeffizienten $a,b,c,d$ gesucht, so dass

$(a{t}_{+}+b{t}_{-})(c{t}_{+}+d{t}_{-})=t_{+}^{\prime }{t}_{-}^{\prime }$

gilt. Ausmultiplizieren und Vergleich der Koeffizienten ergibt

$ac=0=bd,ad+bc=1.$

Eine Lösung ist $b=c=0$, wobei $ad=1.$ Diese lineare Transformation staucht $t_{+}$ um denselben Faktor, um den sie $t_{-}$ streckt, das heißt mit $k=1/a=d$

$t_{+}^{\prime }=\frac{1}{k}{t}_{+},t_{-}^{\prime }=k{t}_{-}.$

Für die Zeit- und Raumkoordinaten

$t=\frac{1}{2}(t_{+}+t_{-}),x=\frac{1}{2}(t_{+}-t_{-})$

besagt dies

$t^{\prime }=\frac{1}{2}(k+\frac{1}{k})t-\frac{1}{2}(k-\frac{1}{k})x,x^{\prime }=-\frac{1}{2}(k-\frac{1}{k})t+\frac{1}{2}(k+\frac{1}{k})x.$

Die Bedeutung des Parameters $k$ wird klar, wenn wir bedenken, dass auf der Weltlinie des bewegten Beobachters $x^{\prime }=0,$ also $t_{+}^{\prime }=t_{-}^{\prime },$ gilt: jeder Beobachter ruht im Ursprung seines Bezugssystems. In den Koordinaten des ruhenden Beobachters gilt für die Weltlinie des bewegten Beobachters

$t_{+}^{\prime }=t_{-}^{\prime }\iff \frac{1}{k}{t}_{+}=k{t}_{-}.$

Lösen wir nach $k$ auf, setzen $t_{+}$ und $t_{-}$ ein, kürzen und bedenken, dass $v=x/t$ die Geschwindigkeit des bewegten Beobachters ist, so erhalten wir

$k^2=\frac{t_{+}}{t_{-}}=\frac{t+x}{t-x}=\frac{1+x/t}{1-x/t}=\frac{1+v}{1-v}.$

Ziehen wir die Wurzel (die negative Wurzel würde zu einem Beobachter gehören, dessen Zeit rückwärts liefe) und erweitern wir mit $\sqrt{1+v},$ so ergibt sich

$k=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}.$

In dieser Form ist klar, dass der inverse Streckungsfaktor zur umgekehrten Geschwindigkeit gehört

$k(-v)=\frac{1}{k(v)}$

und

$\frac{1}{2}(k+\frac{1}{k})=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}},\frac{1}{2}(k-\frac{1}{k})=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}.$

Setzen wir dies ein, so erhalten wir die in der Einleitung angegebene Lorentz-Transformation

$t^{\prime }=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}},x^{\prime }=\frac{-vt+x}{\sqrt{1-v^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.$

Dabei sind die gestrichenen Koordinaten diejenigen, die ein in $x$-Richtung mit Geschwindigkeit $v$ bewegter Beobachter für ein Ereignis verwendet, und die ungestrichenen Koordinaten diejenigen, mit denen ein ruhender Beobachter dasselbe Ereignis bezeichnet.

Alternative Herleitung

Mit einem Argument von Macdonald^[3] kann man die Transformationsformeln mit geringem Aufwand aus der Zeitdilatation gewinnen. An einer Lichtfront, die sich in positiver x-Richtung bewegt, hat die Differenzkoordinate $ct-x$ überall denselben Wert, ebenso $c{t}^{\prime }-x^{\prime }$. Man betrachtet eine Front, die durch das Ereignis E geht, und irgendwann (vorher oder nachher) auf den bewegten Koordinatenursprung O' trifft, der ja langsamer ist als Licht. Wegen der gleichbleibenden Werte stehen die Differenzkoordinaten bei E in derselben Beziehung zueinander wie am Punkt O'. An diesem gilt $x^{\prime }=0,x=vt$, sowie nach der Dilatationsformel $t=\gamma t^{\prime }$ wobei $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ist. Für die Differenzkoordinaten gilt daher

$ct-x=(1-\frac{v}{c})\gamma (c{t}^{\prime }-x^{\prime })$

Analog hat an einer Lichtfront, die sich in negativer x-Richtung bewegt, die Summenkoordinate $ct+x$ überall denselben Wert, ebenso $c{t}^{\prime }+x^{\prime }$. Auch eine solche Front geht durch E (mit gleichen Koordinaten wie oben) und durch O' (zu einem anderen Zeitpunkt als oben). In der Gleichung analog zur vorhergehenden werden nun Summen statt Differenzen gebildet, daher lautet sie

$ct+x=(1+\frac{v}{c})\gamma (c{t}^{\prime }+x^{\prime })$

Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt $ct,x$ als Funktion von $c{t}^{\prime },x^{\prime }$.

Invarianz der transversalen Koordinaten

Bei Relativbewegung in x-Richtung definiert ein Maßstab, der in y-Richtung aufgestellt ist, einen Streifen parallel zur x-Achse. Die Beobachter im gestrichenen und ungestrichenen System können die Breite der Streifen zu beliebig gewählten Zeitpunkten, also völlig unabhängig von der Zeit, vergleichen. Anders als bei Maßstäben in x-Richtung, bei denen es zur Lorentzkontraktion kommt, wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit hier nicht aus. Da die Inertialsysteme äquivalent sind, müssen die Streifen gleiche Breite haben, d.h. $y=y^{\prime }$.

Lorentzinvariante

Eine Größe, die sich bei Lorentztransformationen nicht ändert, heißt Lorentzinvariante. Feststehende Eigenschaften eines physikalischen Systems, die also von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet werden, muss man, sofern sie nicht einfach durch einen immer gleichen Zahlenwert wiedergegeben werden, durch Lorentzinvarianten ausdrücken können. Z. B. kann man aus einem Vierervektor nur eine einzige Lorentzinvariante bilden, seine Norm. Bei zwei Vierervektoren ist außer ihren zwei Normen auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur, etc. Entsprechende physikalische Größen sind die Masse (mc ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors), der raumzeitliche Abstand zweier Ereignisse (Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte), Betrag des Drehimpulses (Norm des Drehimpulsvektors), etc. Weitere lorentzinvariante physikalische Größen sind etwa die Geschwindigkeit v=c, die elektrische Ladung, etc.

Poincaré- und Lorentz-Gruppe

Hauptartikel: Lorentz-Gruppe

Die Poincaré-Gruppe ist die Menge der linear inhomogenen Transformationen,

$T_{\mathrm{\Lambda },a}:x\to T_{\mathrm{\Lambda },a}x=x^{\prime },x^{\prime m}={\mathrm{\Lambda }}^m{}_n{x}^n+a^m,m,n\in \{0,1,2,3\}$

die den Abstand zweier Vierervektoren invariant lassen. Die Untergruppe der homogenen Transformationen $T_{\mathrm{\Lambda },0}$ bildet die Lorentz-Gruppe, $\mathrm{O}(1,3)$, das ist die Gruppe der linearen Transformationen von ${\mathbb{R}}^4$ auf ${\mathbb{R}}^4$, die das Längenquadrat

$w^2=t^2-x^2-y^2-z^2$

jedes Vektors $w=(t,x,y,z)$ aus ${\mathbb{R}}^4$ invariant lassen. Schreiben wir das Längenquadrat als Matrixprodukt

$w^{\mathrm{T}}\eta w$

des Spaltenvektors $w$ (den wir im laufenden Text als Zeile notieren) mit der Matrix

$\eta =\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)$

und der transponierten Spalte, der Zeile $w^{\mathrm{T}}$, so muss für jeden Lorentz-transformierten Vektor $\mathrm{\Lambda }w$ gelten

$w^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{T}}\eta \mathrm{\Lambda }w=w^{\mathrm{T}}\eta w.$

Dies ist genau dann der Fall, wenn die Lorentz-Transformation die Gleichung

${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{T}}\eta \mathrm{\Lambda }=\eta .$

erfüllt.

Alle Lösungen dieser Gleichung, die die Zeitrichtung und räumliche Orientierung nicht umdrehen, sind von der Form

$\mathrm{\Lambda }=D_1{\mathrm{\Lambda }}_v{D}_2.$

Dabei sind $D_1$ und $D_2$ Drehungen

$D=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & D_{3\times 3}\end{array}\right),D_{3\times 3}^{\mathrm{T}}{D}_{3\times 3}=\mathbf{1},\text{det}{D}_{3\times 3}=1.$

Diese Drehungen bilden die Untergruppe SO(3) der Lorentz-Gruppe. Die Matrix

${\mathrm{\Lambda }}_v=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \frac{v}{c}& 0& 0\\ -\gamma \frac{v}{c}& \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

bewirkt die oben angegebene Lorentz-Transformation mit einer Geschwindigkeit $v:|v|<c.$

Der hier auftretende Faktor $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$ heißt Lorentzfaktor.

Die Transformationen

$\mathrm{\Lambda }=D{\mathrm{\Lambda }}_v{D}^{-1}.$

heißen Lorentzboost. Sie transformieren auf die Koordinaten des bewegten Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit $v$ in die Richtung bewegt, die sich durch die Drehung $D$ aus der $x$-Richtung ergibt.

Lorentz-Transformationen, die das Vorzeichen der Zeitkoordinate, die Richtung der Zeit, nicht ändern,

• ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\ge 1,$

bilden die Untergruppe der orthochronen Lorentz-Transformationen. Wenn die räumlichen Bezugsrichtungen so wie die $x-$, $y-$ und $z-$Achse ein Rechtshandsystem bilden, handelt es sich um die orientierungstreuen Lorentz-Transformationen

• ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\cdot det\mathrm{\Lambda }\ge 1.$

Die zeit- und orientierungstreuen Lorentz-Transformationen

• ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\ge 1,det\mathrm{\Lambda }=1,$

bilden die eigentliche Lorentz-Gruppe. Sie ist zusammenhängend: jede eigentliche Lorentz-Transformation kann durch stetige Veränderung der sechs Parameter, drei für die Drehachse und den Drehwinkel und drei für die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, in die identische Abbildung übergeführt werden.

Zeit- und Raumspiegelung

Die nicht mit der $\mathbf{1}$ zusammenhängenden Lorentz-Transformationen erhält man, indem man die Zeitspiegelung oder die Raumspiegelung

$\mathcal{T}=\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right),\mathcal{P}=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)$

oder beide mit den Lorentz-Transformationen multipliziert, die mit der $\mathbf{1}$ zusammenhängen. Die Lorentz-Gruppe $\mathrm{O}(1,3)$ hat vier Zusammenhangskomponenten.

Geschwindigkeitsaddition

Hauptartikel: Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Im folgenden gilt für die Lichtgeschwindigkeit $c=1$. Hintereinander ausgeführte Lorentzboosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit $v_1$ und $v_2$ ergeben Lorentzboosts mit der Gesamtgeschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v=\frac{v_1+v_2}{1+v_1\,v_2}\,.

Man erkennt hieran sofort, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa $v_1$ die Lichtgeschwindigkeit, das heißt $v_1=1$, so ist $v=\frac{1+v_2}{1+1v_2}=1$ ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.

Obige Additionsformel ergibt sich aus der Transformation (siehe oben)

$t_{-}^{\prime }=k_1{t}_{-}$ und $t_{-}^{\prime \prime }=k_2{t}_{-}^{\prime }$ also $t_{-}^{\prime \prime }=k{t}_{-}$ mit $k=k_2{k}_1.$

Setzen wir in $k=k_2{k}_1$ ein, wie die Faktoren $k$ von der Geschwindigkeit abhängen, und quadrieren wir, so gilt

$\frac{1+v}{1-v}=\frac{1+v_2}{1-v_2}\frac{1+v_1}{1-v_1}.$

Dies lässt sich leicht nach der Gesamtgeschwindigkeit $v$ auflösen und ergibt, wie sich bei Bewegung in dieselbe Richtung Geschwindigkeiten kombinieren.

Hintereinander ausgeführte Lorentzboosts in verschiedene Richtungen ergeben normalerweise keine Lorentzboosts: die Menge der Lorentzboosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.

Überlagerungsgruppe

Die folgenden Überlegungen zeigen, dass die Gruppe der linearen Transformationen des zweidimensionalen, komplexen Vektorraumes ${\mathbb{C}}^2,$ deren Determinante den speziellen Wert $1$ hat, die sogenannte spezielle lineare Gruppe $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}),$ die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen Lorentz-Transformationen ist. Dabei überlagert die Untergruppe der speziellen unitären zweidimensionalen Transformationen, SU(2) die Gruppe der Drehungen, $\mathrm{SO}(3).$

Jede hermitesche $2\times 2$ - Matrix ist von der Form:

$\hat{w}=\left(\begin{array}{cc}t+z& x-\mathrm{i}y\\ x+\mathrm{i}y& t-z\end{array}\right)={\hat{w}}^{\mathrm{T}\ast }={\hat{w}}^{†}.$

Da sie umkehrbar eindeutig durch die vier reellen Parameter $w=(t,x,y,z)$ bezeichnet wird und da Summen und reelle Vielfache hermitscher Matrizen wieder hermitesch sind und zu den Summen und Vielfachen der Vierervektoren $w$ gehören, ist sie Element eines vierdimensionalen Vektorraums.

Die Determinante

$\text{det}\hat{w}=t^2-x^2-y^2-z^2$

ist das Längenquadrat des Vierervektors $w.$

Multipliziert man $\hat{w}$ von links mit einer beliebigen, komplexen $2\times 2$ - Matrix und von rechts mit deren adjungierten, so ist das Ergebnis $M\hat{w}{M}^{†}=\hat{u}$ wieder hermitesch und lässt sich als $\hat{u}$ schreiben, wobei $u=\mathrm{\Lambda }w$ linear von $w$ abhängt. Ist $M$ aus der speziellen linearen Gruppe der komplexen $2\times 2$-Matrizen, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$, deren Determinanten den speziellen Wert $1$ haben, so stimmt das Längenquadrat von $w$ und $u=\mathrm{\Lambda }w$ überein, $\mathrm{\Lambda }$ ist also eine Lorentz-Transformation. Zu jedem $M$ aus $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ gehört so vermöge

$M\hat{w}{M}^{†}=\widehat{\mathrm{\Lambda }w}$

eine Lorentz-Transformation $\mathrm{\Lambda }$ aus $\mathrm{O}(1,3)$. Genauer gehört zu jedem Paar $\pm M$ von komplexen $2\times 2$-Matrizen aus $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ genau eine Lorentz-Transformation $\mathrm{\Lambda }(M)=\mathrm{\Lambda }(-M)$ aus dem Teil von $\mathrm{O}(1,3)$, welcher mit der $\mathbf{1}$ stetig zusammenhängt. Dieser Teil der Lorentz-Gruppe ist eine Darstellung der Gruppe $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$.

Die Gruppe $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ ist die Produktmannigfaltigkeit ${\mathbb{R}}^3\times S^3$ und einfach zusammenhängend. Der Gruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen ist hingegen nicht einfach zusammenhängend: Drehungen um eine feste Achse mit Winkeln, die von $\alpha =0$ bis $\alpha =2\pi$ anwachsen, bilden in der Drehgruppe einen geschlossenen Kreis. Man kann diese Transformationen nicht stetig in andere Drehungen abändern, so dass dieser Kreis auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Referenzen

• Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman: Mechanik (= Berkeley Physik Kurs. Bd. 1). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-528-08351-4, S. 232: Kap. 11.
• Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie.

Einzelnachweise

Weblinks

• Interaktives Java Applet