Geschichte der Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation verknüpft wie die Galilei-Transformation die Koordinaten $ x,y,z,t $ eines Ereignisses in einem bestimmten Inertialsystem mit den Koordinaten $ x',y',z',t' $ des gleichen Ereignisses in einem anderen Inertialsystem, welches in positiver x-Richtung mit der Geschwindigkeit v relativ zum ersten System bewegt ist. Jedoch im Gegensatz zur Galilei-Transformation beinhaltet sie neben dem Relativitätsprinzip die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen und bildet somit die mathematische Grundlage für die spezielle Relativitätstheorie.

Erste Näherungen an diese Transformation wurden von Woldemar Voigt (1887) und Hendrik Lorentz (1892, 1895) veröffentlicht, wobei bei diesen Autoren das ungestrichene System als im Äther ruhend betrachtet wurde, und das „bewegte“ gestrichene System wurde mit der Erde identifiziert. Diese Transformation wurde von Joseph Larmor (1897, 1900) und Lorentz (1899, 1904) vervollständigt und durch Henri Poincaré (1905), welcher der Transformation ihren Namen gab, in ihre moderne Gestalt gebracht. Albert Einstein (1905) schließlich konnte die Gleichungen aus wenigen Grundannahmen ableiten und zeigte den Zusammenhang der Transformation mit fundamentalen Änderungen der Begriffe von Raum und Zeit auf.

In diesem Artikel werden die historischen Ausdrücke durch moderne ersetzt, wobei

$ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $

der Lorentz-Faktor ist, v ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den Körpern, und c ist die Lichtgeschwindigkeit.

Voigt (1887)

Im Zusammenhang mit dem Dopplereffekt und einem inkompressiblen Medium bzw. Äther entwickelte Voigt (1887) folgende Transformation^{[A 1]}, welche die Wellengleichung unverändert ließ und in moderner Notation die Form hatte:^[1]

$ x^{\prime }=x-vt,\quad y^{\prime }={\frac {y}{\gamma }},\quad z^{\prime }={\frac {z}{\gamma }},\quad t^{\prime }=t-x{\frac {v}{c^{2}}} $

Wenn die rechten Seiten dieser Gleichungen mit einem Skalenfaktor $ \gamma $ multipliziert werden, ergeben sich die Formeln der Lorentz-Transformation. Der Grund dafür liegt darin, dass die elektromagnetischen Gleichungen nicht nur lorentzinvariant, sondern auch skaleninvariant und sogar konformalinvariant sind. Jedoch nur die Lorentz-Transformation ist auch außerhalb der Elektrodynamik gültig, d.h. für alle Naturgesetze. Die Voigt-Transformation ist darüber hinaus nicht symmetrisch und verletzt das Relativitätsprinzip.^[2][3]

Lorentz (1909) erklärte später, dass er, wenn er diese Gleichungen gekannt hätte, sie in seiner Elektronentheorie hätte verwenden können.^{[A 2]} Auch Hermann Minkowski sagte 1908 während einer Diskussion zu Bucherers Experimenten, an der auch Voigt beteiligt war:^{[A 3]}

„Minkowski: Historisch will ich noch hinzufügen, daß die Transformationen, die bei dem Relativitätsprinzip die Hauptrolle spielen, zuerst mathematisch von Voigt im Jahre 1887 behandelt sind. Voigt hat damals bereits mit ihrer Hilfe Folgerungen in bezug auf das Dopplersche Prinzip gezogen.
Voigt: Herr Minkowski erinnert an eine alte Arbeit von mir. Es handelt sich dabei um Anwendungen des Dopplerschen Prinzips, die in speziellen Teilen auftreten, aber nicht auf Grund der elektromagnetischen, sondern auf Grund der elastischen Theorie des Lichtes. Indessen haben sich damals bereits einige derselben Folgerungen ergeben, die später aus der elektromagnetischen Theorie gewonnen sind.“

Heaviside, Thomson, Searle (1888, 1889, 1896)

1888 studierte Oliver Heaviside^{[A 4]} die Eigenschaften von bewegten Ladungen gemäß der maxwellschen Elektrodynamik. Er errechnet, neben anderen Dingen, dass Anisotropien in elektrischen Feld bewegter Ladungen auftreten müssten gemäß folgender Formel:^[4]

$ \mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2} $.

Darauf aufbauend entdeckte Joseph John Thomson (1889)^{[A 5]} eine Methode um Berechnungen für bewegte Ladungen substantiell zu vereinfachen, indem er folgende mathematische Transformation benutzte:

$ x^{\prime }=\gamma x $.

Dadurch können inhomogene elektromagnetische Wellengleichungen in eine Poisson-Gleichung transformiert werden.^[5] Schließlich bemerkte George Frederick Charles Searle (1896),^{[A 6]} dass Heavisides' Ausdruck für bewegte Ladungen zu einer Deformation des elektrischen Feldes führt, die er als „Heaviside-Ellipsoid“ mit einem Achsenverhältnis von $ 1/\gamma :1:1\! $ bezeichnete.^[5]

Lorentz (1892, 1895)

Lorentz entwickelte 1892^{[A 7]} ein Modell, in dem der Äther vollständig in Ruhe ist, wodurch im Äther die Lichtgeschwindigkeit in alle Richtungen denselben Wert hat. Um nun die Optik bewegter Körper berechnen zu können, führte Lorentz folgende Hilfsvariablen zur Transformation vom Äthersystem in ein relativ dazu bewegtes System ein:^[6]

$ x^{\prime }=\gamma x^{*},\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=t-\gamma ^{2}x^{*}{\frac {v}{c^{2}}} $

wo x^* die Galilei-Transformation x-vt ist. Während nun t die „wahre“ Zeit für im Äther ruhende Systeme, ist die Zeit t' eine mathematische Hilfsvariable, welche für Berechnungen von im Äther bewegten Systemen benutzt wird. Eine ähnliche „Ortszeit“ wurde bereits von Voigt benutzt, jedoch gab Lorentz später an, zu diesem Zeitpunkt keine Kenntnis von dessen Arbeit besessen zu haben. Ebenso ist unbekannt ob ihm die Arbeiten von Heaviside und Thomson geläufig waren.

1895^{[A 8]} entwickelte er die Lorentzsche Elektrodynamik sehr viel systematischer weiter, wobei ein fundamentales Konzept das "Theorem der korrespondierenden Zustände" für Größen zu v/c war. Aus ihm folgt, dass ein im Äther bewegter Beobachter annähernd dieselben Beobachtungen in seinem „fiktiven“ (elektromagnetischen) Feld macht wie ein im Äther ruhender Beobachter in seinem „realen“ Feld. Das heißt, solange die Geschwindigkeiten relativ zum Äther vergleichsweise gering sind, haben die maxwellschen Gleichungen für alle Beobachter dieselbe Form. Für die Elektrostatik bewegter Körper benutzte er die Transformationen, welche die Dimensionen der Körper folgendermaßen änderte:^[7]

$ x^{\prime }=\gamma x^{*},\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=t $

Als eine zusätzliche und unabhängige Hypothese behauptete Lorentz (1892b, 1895) (ohne Beweis wie er zugab), dass auch die intermolekularen Kräfte und somit auch materielle Körper auf eine ähnliche Weise deformiert werden, und führte zur Erklärung des Michelson-Morley-Experiments die Längenkontraktion ein.^{[A 9]} Dieselbe Hypothese war 1889 bereits von George FitzGerald aufgestellt worden, dessen Überlegungen auf den Arbeiten Heavisides beruhten. Aber während für Lorentz die Längenkontraktion ein realer, physikalischer Effekt war, bedeutete für ihn die Ortszeit vorerst nur eine Vereinbarung oder nützliche Berechnungsmethode. Hingegen für die Optik bewegter Körper benutzte er die Transformationen:

$ x^{\prime }=x^{*},\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=t-x^{*}{\frac {v}{c^{2}}} $

Mit Hilfe der Ortszeit konnte Lorentz die Aberration des Lichts, den Dopplereffekt und die beim Fizeau-Experiment gemessene Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit in bewegten Flüssigkeiten erklären. Wichtig dabei ist, dass Lorentz und später auch Larmor die Transformationen immer in 2 Schritten formulierten. Zuerst die Galilei-Transformation, und danach davon getrennt erst die Erweiterung zum „fiktiven“ elektromagnetischen System mit Hilfe der Lorentz-Transformation. Ihre symmetrische Gestalt erhielten die Gleichungen erst durch Poincaré.

Larmor (1897, 1900)

Larmor wusste zu dieser Zeit, dass das Michelson–Morley-Experiment genau genug war, um bewegungsbedingte Effekte von der Größe $ v^{2}/c^{2}\, $ aufzuzeigen, und so suchte er eine Transformation, welche auch für diese Größen gültig ist. Obwohl er dabei einem sehr ähnliche Schema wie Lorentz folgte, ging er über dessen Arbeit von 1895 hinaus und modifizierte die Gleichungen, sodass er 1897^{[A 10]} und etwas übersichtlicher 1900^{[A 11]} als erster die komplette Lorentz-Transformation aufstellen konnte:^[8][9]

$ x^{\prime }=\gamma x^{*},\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }={\frac {t}{\gamma }}-\gamma x^{*}{\frac {v}{c^{2}}} $

Er zeigte, dass die Maxwell-Gleichungen invariant unter dieser 2-Schritte-Transformation waren (allerdings führte er den Beweis nur für Größen zweiter Ordnung durch, nicht für alle Ordnungen). Larmor bemerkte überdies, dass wenn eine elektrische Konstitution der Moleküle angenommen wird, die Längenkontraktion eine Konsequenz der Transformation sind. Er war auch der Erste, der eine Art Zeitdilatation als Konsequenz der Gleichungen bemerkte, denn periodische Vorgänge von bewegten Objekten laufen im Verhältnis $ 1/\gamma $ langsamer als bei ruhenden Objekten ab.

Lorentz (1899, 1904)

Auch Lorentz leitete 1899^{[A 12]} die vollständige Transformation durch die Erweiterung des Theorems der korrespondierenden Zustände ab. Jedoch benutzte er den unbestimmten Faktor ε als Funktion von $ v $. Wie Larmor bemerkte Lorentz eine Art Zeitdilatation, da er erkannte, dass die Vibrationen eines oszillierenden Elektrons, welches sich relativ zum Äther bewegt, langsamer verlaufen. Durch weitere negative Ätherwindexperimente (Trouton-Noble-Experiment, Experimente von Rayleigh und Brace) war Lorentz gezwungen seine Theorie so zu formulieren, dass Ätherwindeffekte in allen Größenordnungen zu v/c unentdeckbar bleiben. Dazu setzte er 1904 den unbestimmten Faktor ε bzw. $ \ell $ gleich 1^{[A 13]} und so erreichte er dieselbe Form wie Larmor:^[10]

$ x^{\prime }=\gamma lx^{*},\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }={\frac {l}{\gamma }}t-\gamma lx^{*}{\frac {v}{c^{2}}} $

In diesem Zusammenhang leitete er bereits 1899 die korrekten Gleichungen für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der elektromagnetischen Masse ab und er schloss 1904, dass diese Transformation auf alle Kräfte der Natur angewendet werden müsse, nicht nur auf elektrische, und deshalb ist die Längenkontraktion eine Konsequenz der Transformation. Inwieweit Larmor (1897) von Lorentz (1895) und umgekehrt Lorentz (1904) von Larmor (1900) beeinflusst wurde, ist nicht bekannt.

Poincaré (1900, 1905)

Weder Lorentz noch Larmor gaben eine klare Interpretation des Ursprungs der Ortszeit an. 1900^{[A 14][A 15]} interpretierte Poincaré jedoch die Ortszeit als Ergebnis einer mit Lichtsignalen durchgeführten Synchronisation. Er nahm an, dass zwei im Äther bewegte Beobachter A und B ihre Uhren mit optischen Signalen synchronisieren. Da sie glauben sich in Ruhe zu befinden, gehen sie von einer konstanten Lichtgeschwindigkeit in alle Richtungen aus, sodass sie jetzt nur noch die Lichtlaufzeiten berücksichtigen und ihre Signale kreuzen müssen, um die Synchronität der Uhren zu überprüfen. Hingegen aus Sicht eines im Äther ruhenden Beobachters läuft eine Uhr dem Signal entgegen, und die andere läuft ihm davon. Die Uhren sind also nicht synchron (Relativität der Gleichzeitigkeit), sondern zeigen, für Größen erster Ordnung in v/c, nur die Ortszeit $ t^{\prime }=t-vx/c^{2} $ an. Da die bewegten Beobachter aber kein Mittel haben zu entscheiden, ob sie in Bewegung sind oder nicht, werden sie von dem Fehler nichts bemerken. Poincaré verstand daher im Gegensatz zu Lorentz die Ortszeit genauso wie die Längenkontraktion als realen physikalischen Effekt.^[11] Ähnliche Erklärungen wurden später auch von Emil Cohn (1904)^{[A 16]} und Max Abraham (1905)^{[A 17]} gegeben.

Am 5. Juni 1905 (veröffentlicht am 9. Juni)^{[A 18]} vereinfachte Poincaré die Gleichungen (welche äquivalent zu denen von Larmor und Lorentz sind) und gab ihnen ihre moderne symmetrische Form, wobei er im Gegensatz zu Larmor und Lorentz die Galilei-Transformation in die neue Transformation direkt integrierte. Poincaré setzte auch die Lichtgeschwindigkeit gleich 1:^[12][13]

$ x^{\prime }=\gamma (x-vt),\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=\gamma \left(t-vx\right) $

und umgekehrt:

$ x=\gamma (x^{\prime }+vt^{\prime }),\quad y=y^{\prime },\quad z=z^{\prime },\quad t=\gamma \left(t^{\prime }+vx^{\prime }\right) $

Offenbar war Poincaré die Arbeit von Larmor unbekannt, denn er bezog sich nur auf Lorentz und benutzte deswegen als Erster den Ausdruck "Lorentz Transformation" (wobei der Ausdruck „Lorentz'sche Transformation“ bereits 1900 von Emil Cohn für die 1895-Gleichungen von Lorentz verwendet wurde). Er zeigte, dass Lorentz' Anwendung der Gleichungen das Relativitätsprinzip nicht vollständig erfüllen. Poincaré hingegen konnte neben dem Aufzeigen der Gruppeneigenschaft der Transformation die Lorentzkovarianz der Maxwell-Lorentz-Gleichungen vollständig demonstrieren. Eine deutlich erweiterte Fassung dieser Schrift vom Juli 1905 (veröffentlicht Januar 1906)^{[A 19]} enthielt die Erkenntnis, dass die Kombination $ x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2} $ invariant ist; er führte den Ausdruck $ ct{\sqrt {-1}} $ als vierte Koordinate eines vierdimensionalen Raums ein; er benutzte dabei Vierervektoren bereits vor Minkowski, er zeigte dass die Transformationen eine Konsequenz des Prinzip der kleinsten Wirkung sind und er demonstrierte ausführlicher als vorher deren Gruppeneigenschaft, wobei er den Namen Lorentz-Gruppe („Le groupe de Lorentz“) prägte.

Einstein (1905)

Am 30. Juni 1905 (veröffentlicht September 1905)^{[A 20]} präsentierte Einstein im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie eine radikal neue Interpretation und Herleitung der Transformation, welche nur auf dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit beruhte. Während Poincaré nur die ursprüngliche lorentzsche Ortszeit von 1895 durch optische Synchronisation abgeleitet hat, konnte Einstein mit einer ähnlichen Synchronisatiosmethode die gesamte Transformation ableiten, und dabei zeigen, dass operationale Überlegungen in Bezug auf Raum und Zeit ausreichten, und kein Äther dafür benötigt wird (ob Einstein von Poincarés Synchronisationsmethode beeinflusst wurde, ist nicht bekannt). Formal war Einsteins Version der Transformation identisch mit der von Poincaré (wobei Einstein jedoch die Lichtgeschwindigkeit nicht gleich 1 setzte):^[14][15][16]

$ x^{\prime }=\gamma (x-vt),\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right) $

Im Gegensatz zu Lorentz, welcher die Ortszeit nur als mathematischen Trick ansah, zeigte Einstein dass die "effektiven" Koordinaten der Lorentztransformation in der Tat gleichberechtigte Koordinaten von Inertialsystemen sind. Das wurde in gewisser Weise auch schon von Poincaré so dargestellt, jedoch unterschied dieser weiterhin zwischen "wahrer" und "scheinbarer" Zeit.

Siehe auch

Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

Lorentzsche Äthertheorie

Lorentz-Transformation

Quellen

Primärquellen

Sekundärquellen

• Brown, Harvey R.: The origins of length contraction: I. The FitzGerald-Lorentz deformation hypothesis. In: American Journal of Physics. 69, Nr. 10, 2001, S. 1044–1054. arXiv:gr-qc/0104032. Bibcode: 2001AmJPh..69.1044B. doi:10.1119/1.1379733. Siehe auch "Michelson, FitzGerald and Lorentz: the origins of relativity revisited", Online.

• Darrigol, Olivier: Electrodynamics from Ampére to Einstein. Oxford: Clarendon Press 2000, ISBN 0198505949

• Darrigol, Olivier: The Genesis of the theory of relativity. In: Séminaire Poincaré. 1, 2005, S. 1-22.

• Ernst, Andreas & Hsu Jong-Ping; First Proposal of the Universal Speed of Light by Voigt in 1887, pdf Chinese Journal of Physics, 2001.

• Janssen, Michel: A Comparison between Lorentz's Ether Theory and Special Relativity in the Light of the Experiments of Trouton and Noble (Thesis) 1995: Title/TOC, Intro, Intro (Part I), Chapter 1, Chapter 2, Intro (Part 2), Chapter 3, Chapter 4, References

• Katzir, Shaul: Poincaré’s Relativistic Physics: Its Origins and Nature. In: Physics in perspective. 7, 2005, S. 268–292. doi:10.1007/s00016-004-0234-y.

• Macrossan, M. N.: A Note on Relativity Before Einstein. In: The British Journal for the Philosophy of Science. 37, 1986, S. 232-234.

• Miller, Arthur I.: Albert Einstein’s special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911). Reading: Addison–Wesley 1981, ISBN 0-201-04679-2

• Pais, Abraham: "Raffiniert ist der Herrgott ..." : Albert Einstein, eine wissenschaftliche Biographie. Heidelberg: Spektrum 1982/2000, ISBN 3827405297

Einzelnachweise