Geschichte der Mathematik

Die Geschichte der Mathematik reicht zurück bis ins Altertum und den Anfängen des Zählens in der Jungsteinzeit. Nachweise erster Anfänge von Zählverfahren reichen ca. 50.000 Jahre zurück.^[1] Der vor über 4500 Jahren im Alten Ägypten einsetzende Pyramidenbau mit seinen exakt berechneten Formen ist ein deutliches Anzeichen für das Vorhandensein von bereits weitreichenden mathematischen Kenntnissen. Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen Papyri nur wenige Quellen existieren, liegt von der babylonischen Mathematik in Mesopotamien ein Bestand von etwa 400 Tontafeln vor. Die beiden Kulturräume hatten zwar unterschiedliche Zahlensysteme, kannten aber beide die vier Grundrechenarten sowie Annäherungen für die Kreiszahl $ \pi $. Mathematische Belege aus China sind deutlich jüngeren Datums, da Dokumente durch Brände vernichtet wurden, ähnlich schlecht lässt sich die frühe indische Mathematik datieren. Im antiken Europa wurde die Mathematik von den Griechen als Wissenschaft im Rahmen der Philosophie betrieben. Aus dieser Zeit datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und der erste Ansatz einer Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Arabische Mathematiker griffen die von den Römern eher vernachlässigten griechischen, aber auch indische Erkenntnisse auf und begründeten die Algebra. Von Spanien und Italien aus verbreitete sich dieses Wissen in die europäischen Klosterschulen und Universitäten.

Mathematik der alten Ägypter und Babylonier

Ägypten

Die wichtigsten der wenigen erhaltenen Quellen, die uns Auskunft über die mathematischen Fähigkeiten der Ägypter geben, sind der Papyrus Rhind, der Papyrus Moskau und die so genannte Lederrolle. Die Ägypter verwendeten die Mathematik meist nur für praktische Aufgaben wie die Lohnberechnung, die Berechnung von Getreidemengen zum Brotbacken oder Flächenberechnungen. Sie kannten die vier Grundrechenarten, so war die Subtraktion die Umkehrung der Addition, die Multiplikation führte man auf das fortgesetzte Verdoppeln zurück und die Division auf das wiederholte Halbieren. Um die Division vollständig durchführen zu können, verwendeten die Ägypter allgemeine Brüche natürlicher Zahlen, die sie durch Summen von Stammbrüchen und dem Bruch 2/3 darstellten. Sie konnten auch Gleichungen mit einer abstrakten Unbekannten lösen. In der Geometrie waren ihnen die Berechnung der Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen, $ \!^{{\left({\frac {16}{9}}\right)}^{2}} $ als Näherung der Kreiszahl π (pi) und die Berechnung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs^[2] bekannt. Archäologische Funde von Aufzeichnungen einer mathematischen Beweisführung fehlen bis heute. Sie hatten für Zahlen eigene Hieroglyphen, ab dem Jahr 1800 v. Chr. benutzten sie die hieratische Schrift, die mit abgerundeten und vereinfachten hieroglyphischen Schriftzeichen geschrieben wurde.

Babylon

Babylonische Keilschrifttafel YBC 7289 mit einer sexagesimalen Näherung für die Quadratwurzel von 2 (auf der Diagonalen).

Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimal-Stellenwertsystem für die Darstellung von beliebigen Zahlen sowie die Rechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Multiplikation mit dem Kehrwert).

Neben dem Algorithmus für die Berechnung von Quadratwurzeln legten sie Zahlentabellen (z. B. für Kehrwerte, Quadrate, Kuben, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und Logarithmen) an. Die Babylonier berechneten Zwischenwerte durch lineare Interpolation und konnten quadratische Gleichungen lösen. Sie kannten den Satz des Pythagoras und als Näherung für die Kreiszahl π benutzten sie 3 oder 3+1/8. Eine strenge Beweisführung wurde von den Babyloniern offenbar nicht angestrebt.

Mathematik der Antike

Die Mathematik der klassischen Antike teilt sich in vier große Perioden:

• Ionische Periode (Ionische Philosophie / Vorsokratiker: Thales, Pythagoras, Anaxagoras, Demokrit, Hippokrates, Theodoros) von 600 bis 400 v. Chr.
• Athenische Periode (Sophisten, Platon, Aristoteles, Theaitetos, Eudoxos von Knidos, Menaichmos, Deinostratos, Autolykos von Pitane) von 400 bis 300 v. Chr.
• Alexandrinische Periode (Euklides, Aristarchos, Archimedes, Eratosthenes, Nikomedes, Apollonios) von 300 bis 200 v. Chr.
• Spätzeit (Hipparchos, Menelaos, Heron von Alexandria, Ptolemäus, Diophant von Alexandrien, Pappos) von 200 v. Chr. bis 300 n. Chr.

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  Thales

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  Archimedes

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  Heron von Alexandria

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  Claudius Ptolemäus

Nach einer aus der Antike stammenden, aber unter Wissenschaftshistorikern umstrittenen Überlieferung beginnt die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft mit Pythagoras von Samos. Ihm wird – allerdings wohl zu Unrecht – der Grundsatz „Alles ist Zahl“ zugeschrieben. Er begründete die Schule der Pythagoreer, aus der später Mathematiker wie Hippasos von Metapont und Archytas von Tarent hervorgingen. Im Unterschied zu den Babyloniern und Ägyptern hatten die Griechen ein philosophisches Interesse an der Mathematik. Zu den Erkenntnissen der Pythagoreer zählt die Irrationalität von geometrischen Streckenverhältnissen, die von Hippasos entdeckt worden sein soll. Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoreern eine philosophische „Grundlagenkrise“ auslöste, da sie ihre früheren Überzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen. Die antike Legende, wonach Hippasos Geheimnisverrat beging, indem er seine Entdeckung veröffentlichte, soll aus einem Missverständnis entstanden sein.

In der Platonischen Akademie in Athen stand die Mathematik hoch im Kurs. Platon schätzte sie sehr, da sie dazu diente, wahres Wissen erlangen zu können. Die griechische Mathematik entwickelte sich danach zu einer beweisenden Wissenschaft.

Aristoteles formulierte die Grundlagen der Aussagenlogik. Eudoxos von Knidos schuf mit der Exhaustionsmethode zum ersten Mal eine rudimentäre Form der Infinitesimalrechnung. Wegen des Fehlens von reellen Zahlen und Grenzwerten war diese Methode allerdings recht unhandlich. Archimedes erweiterte diese und berechnete damit unter anderem eine Näherung für die Kreiszahl π.

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  Platon

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  Aristoteles

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  Euklid von Alexandria

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  Demokrit

Euklid fasste in seinem Lehrbuch „Elemente“ einen Großteil der damals bekannten Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen. Unter anderem wird darin bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieses Werk gilt als Musterbeispiel für mathematisches Beweisen: aus wenigen Vorgaben werden alle Ergebnisse in einer Strenge hergeleitet, die es zuvor nicht gegeben haben soll. Euklids „Elemente“ wird auch noch heute nach über 2000 Jahren als Lehrbuch verwendet.

Im Gegensatz zu den Griechen befassten sich die antiken Römer kaum mit Mathematik. Bis zur Spätantike blieb die Mathematik weitgehend eine Domäne der griechischsprachigen Bewohner des Reichs, der Schwerpunkt mathematischer Forschung lag in römischer Zeit auf Sizilien und in Nordafrika, dort vor allem in Alexandria.

Chinesische und indische Mathematik

China

Das erste noch erhaltene Lehrbuch chinesischer Mathematik ist das Zhoubi suanjing. Es wurde während der Han-Dynastie, zwischen 206 v. Chr. bis 220 n. Chr., von Liu Hui ergänzt, da infolge der Bücher- und Urkundenverbrennungen während der Qin-Dynastie die meisten mathematischen Aufzeichnungen zerstört waren und aus dem Gedächtnis heraus wieder aufgeschrieben wurden. Die mathematischen Erkenntnisse werden bis in das 18. Jahrhundert v. Chr. datiert. Es folgten später bis 1270 n. Chr. weitere Ergänzungen. Es enthält außerdem einen Dialog über den Kalender zwischen Zhou Gong Dan, dem Herzog von Zhou, und dem Minister Shang Gao.

Fast genauso alt ist „Jiuzhang Suanshu“ („Neun Kapitel über mathematische Kunst“), welches 246 Aufgaben über verschiedene Bereiche enthält; unter anderem ist darin auch der Satz des Pythagoras zu finden, jedoch ohne jegliche Beweisführung.

Die Chinesen verwandten ein dezimales Stellenwertsystem aus waagerechten und senkrechten Strichen (Suan Zi, Rechnen mit Pfählen genannt)^[3] geschrieben; um 300 n. Chr. errechnete Liu Hui über ein 3072-Eck die Zahl 3,14159 als Näherung für π.

Den Höhepunkt erreichte die chinesische Mathematik im 13. Jahrhundert. Der bedeutendste Mathematiker dieser Zeit war Zhu Shijie mit seinem Lehrbuch Siyuan Yujian („Kostbarer Spiegel der vier Elemente“), das algebraische Gleichungssysteme und algebraische Gleichungen vierzehnten Grades behandelte und diese durch eine Art Hornerverfahren löste. Nach dieser Periode kam es zu einem jähen Abbruch der Mathematik in China. Um 1600 griffen Japaner die Kenntnisse in der Wasan (Japanische Mathematik) auf. Ihr bedeutendster Mathematiker war Seki Takakazu (um 1700). Mathematik wird als geheime Tempelwissenschaft betrieben.

Indien

Aryabhata

Datierungen sind, dem Bonmot des Indologen W. D. Whitney zufolge, in der gesamten indischen Geschichte außerordentlich problematisch.^[4]

Die ältesten Andeutungen über geometrische Regeln zum Opferaltarbau finden sich bereits im Rig Veda. Doch erst mehrere Jahrhunderte später entstanden (d. h. wurden kanonisiert) die Sulbasutras („Seilregeln“, geometrische Methoden zur Konstruktion von Opferaltären) und weitere Lehrtexte wie beispielsweise die Silpa Sastras (Regeln zum Tempelbau) usw. Möglicherweise halbwegs verlässlich datiert auf etwa um 500 n. Chr. das Aryabhatiya und verschiedene weitere „Siddhantas“ („Systeme“, hauptsächlich astronomische Aufgaben).

Doch waren es jedenfalls die Inder, die das uns vertraute dezimale Positionssystem, d. h. die Polynomschreibweise zur Basis 10 sowie dazugehörende Rechenregeln entwickelten. Schriftliches Multiplizieren etwa in babylonischer, ägyptischer oder römischer Zahlnotation ist außerordentlich kompliziert und arbeitet mittels Substitution; d. h. mit vielen auf die Notation bezogenen Zerlegungs- und Zusammenfassungsregeln, während sich in indischen Texten viele „elegante“ und einfache Verfahren beispielsweise auch schon zum schriftlichen Wurzelziehen finden.

Unsere Zahlzeichen (Indische Ziffern) für die Dezimalziffern leiten sich direkt aus der indischen Devanagari ab. Die früheste Verwendung der Ziffer 0 wird vorsichtig auf etwa 400 n. Chr. datiert; Aryabhata um 500 und Bhaskara um 600 verwenden sie jedenfalls bereits ohne Scheu, sein Zeitgenosse Brahmagupta rechnet sogar mit ihr als Zahl und kennt negative Zahlen.

Bezüglich der Benennung der Zahlzeichen herrscht etwas Konfusion: Die Araber nennen diese (adoptierten Devanagari-) Ziffern indische Zahlen, wir Europäer auf Grundlage der mittelalterlichen Rezeptionsgeschichte arabische Zahlen und die Japaner aus analogem Grund Romaji, d. h. lateinische oder römische Zeichen (zusammen mit dem lat. Alphabet). Doch unter 'römischen Zahlen' verstehen Europäer wiederum etwas ganz anderes…

Mit der Ausbreitung des Islams nach Osten übernimmt um etwa 1000 bis spätestens 1200 die muslimische Welt viele der indischen Erkenntnisse, islamische Wissenschaftler übersetzen indische Werke ins Arabische, die über diesen Weg auch nach Europa gelangen. Ein Buch des persischen Mathematikers Muhammad ibn Musa Chwarizmi wird im 12. Jahrhundert in Spanien ins Lateinische übersetzt; erste Verwendung der indischen Ziffern („figurae Indorum“) von italienischen Kaufleuten; um 1500 bekannt in Deutschland.

Andere bedeutende Mathematiker: Brahmagupta (um 600), Bhaskara II (um 1150, Buch „Lilavati“); ab 1200 n. Chr.

Mathematik im islamischen Mittelalter

• Al-Chwarizmi.JPG

  Al-Chwarizmi

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  Al-Tusi

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  Abu'l Wafa

In der islamischen Welt bildete für die Mathematik die Hauptstadt Bagdad das Zentrum der Wissenschaft. Die muslimischen Mathematiker übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus und entwickelten die griechische und indische Trigonometrie weiter, ergänzten die griechische Geometrie und übersetzten und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. Die bedeutendste mathematische Leistung der Muslime ist die Begründung der heutigen Algebra.

Diese Kenntnisse gelangten über Spanien, die Kreuzzüge und den italienischen Seehandel nach Europa, dort (z. B. in Toledo → „Übersetzerschule von Toledo“) wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische übertragen;

• Frühzeit; Al-Chwarizmi (um 820 n. Chr.), Name steckt im Wort „Algorithmus“ (Rechnen nach Art des Algorismi), schreibt De numero indorum in dem das indische Positionssystem beschrieben ist und Al-dschabr wa'l muqabalah (Aufgabensammlung für Kaufleute und Beamte, steckt im Wort „Algebra“); andere Mathematiker: Thabit Ibn Qurra, Al-Battani (Albategnius), al-Jawhari, Abu'l Wafa
• Hochblüte; um 1000 n. Chr.; Al-Karagi erweitert die Algebra; der persische Mediziner, Philosoph und Mathematiker Ibn Sina (Avicenna) betont die Bedeutung der Mathematik; Al-Biruni; Ibn al-Haitham (Alhazen);
• Spätzeit; Der persische Dichter und Mathematiker Omar Khayyām „der Zeltmacher“ (um 1100) verfasst ein Lehrbuch für Algebra; Nasir Al-din al-Tusi (um 1250); Al-Kashi (um 1400);

Mathematik der Maya

Die einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik der Maya stammt aus dem Dresdner Kodex. Das Zahlensystem der Maya beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Maya mit Fingern und Zehen zählten. Die Maya kannten die Zahl 0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und Kreise, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. Die Mathematik der Maya war hochentwickelt, vergleichbar mit den Hochkulturen im Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und für die Astronomie. Der Maya-Kalender war der genaueste seiner Zeit.

Mathematik in Europa

Mathematik im Mittelalter

Das Mittelalter als Epoche der europäischen Geschichte begann etwa mit dem Ende des römischen Reiches und dauerte bis zur Renaissance. Die Geschichte dieser Zeit war bestimmt durch die Völkerwanderung und den Aufstieg des Christentums in Westeuropa. Der Niedergang des römischen Reiches führte zu einem Vakuum, das in Westeuropa erst durch den Aufstieg des Frankenreiches kompensiert wurde. Im Zuge der Gestaltung einer neuen politischen Ordnung durch die Franken kam es zu der sogenannten karolingischen Renaissance. Das Wissen des Altertums wurde zunächst in Klöstern bewahrt. Klosterschulen wurden im späteren Mittelalter von Universitäten als Zentren der Gelehrsamkeit abgelöst. Eine wichtige Bereicherung der westeuropäischen Kultur erfolgte unter dem Einfluss der arabischen Tradition, indem die arabische Überlieferung und Weiterentwicklung griechischer Mathematik, Medizin und Philosophie sowie die arabische Adaption indischer Mathematik und Ziffernschreibung auf dem Weg von Übersetzungen ins Lateinische im Westen bekannt wurden. Die Kontakte zu arabischen Gelehrten und deren Schriften ergaben sich einerseits als Folge der Kreuzzüge in den Vorderen Orient und andererseits durch die Kontakte mit den Arabern in Spanien und Sizilien, hinzu kamen Handelskontakte besonders der Italiener im Mittelmeerraum, denen zum Beispiel auch Leonardo da Pisa („Fibonacci“) einige seiner mathematischen Kenntnisse verdankte.

Aufstieg der Klosterschulen

Boëthius (Mittelalterliche Illustration)

An der Grenze zwischen dem römischen Reich und dem beginnenden Neuen steht Boëthius (ca. 480–524). Seine Einführung in die Arithmetik bildete die Grundlage für den Unterricht dieses Faches bis zum Ausgang des Mittelalters, ebenfalls einflussreich, wenn auch in geringerem Maße, war seine Einführung in die Geometrie. Im Jahre 781 berief Karl der Große den Gelehrten Alkuin von York (735–804) zum Leiter seiner Hofschule, der das Bildungswesen des Frankenreiches aufbauen sollte. Man nannte ihn auch den Lehrer der West-Franken. Im östlichen Frankenreich begründete ein Schüler Alkuins das Schulwesen, der aus Mainz stammende Rabanus Maurus. Mathematische Lehrinhalte wurden gemäß der Einteilung der Sieben Freien Künste in den vier Fächern des Quadriviums gelehrt:

• Arithmetik: Die Eigenschaften und Arten der Zahlen (z. B. gerade, ungerade, Primzahlen, Flächen- und Körperzahlen) sowie Proportionen und Zahlenverhältnisse, jeweils nach Boëthius, außerdem Grundkenntnisse über griechische und lateinische Zahlschrift, Grundrechenarten, Fingerrechnen und im 11.–12. Jahrhundert Abakusrechnen, seit dem 13. Jahrhundert auch schriftliches Rechnen mit arabischen Ziffern
• Geometrie: Elemente euklidischer Geometrie, Mess- und Vermessungswesen, Geographie und z. T. auch Geschichte
• Astronomie: Grundkenntnisse der Ptolemäischen Astronomie und z. T. auch Astrologie, seit dem 10. Jahrhundert Benutzung des Astrolabs, außerdem Komputistik zur Berechnung des Ostertermins und der beweglichen Feste des Kirchenjahres
• Musik: Harmonielehre nach den Zahlenverhältnissen der antiken Kirchentonarten

Berechnung des Ostertermins

Die Berechnung des Termins für das Osterfest, das wichtigste Fest des Christentums, hat im Mittelalter eine große Rolle für die Weiterentwicklung der Mathematik gespielt. Karl der Große verfügte, dass sich in jedem Kloster ein Mönch mit der Komputistik befasste. Dadurch sollte das Wissen um die Berechnung des Osterdatums sichergestellt werden. Die genaue Berechnung des Termines und die Entwicklung des modernen Kalenders wurde durch diese Mönche weiterentwickelt, die Grundlagen übernahm das Mittelalter von Dionysius Exiguus (ca. 470 bis ca. 540) und Beda Venerabilis (ca. 673–735). Im Jahre 1171 publizierte Reinher von Paderborn eine verbesserte Methode zur Berechnung des Osterdatums.

Universitäten

Die frühmittelalterlichen Klosterschulen wurden erst im weiteren Verlauf des Mittelalters ergänzt durch die Kathedralschulen, die Schulen der beiden Bettelorden und die Universitäten. Sie waren deshalb zunächst die einzigen Träger des antiken Kulturerbes, indem sie für die Abschrift und Verbreitung der antiken Werke sorgten. Die Abschrift, Kommentierung und kompilierende Aufbereitung des Lehrguts blieb lange Zeit die einzige Form der Auseinandersetzung mit den Themen der Mathematik. Erst im Hochmittelalter entwickelte sich die in Ansätzen kritischere Methode der Scholastik, mit der Lehrmeinungen in ihrem pro und contra auf Widersprüche überprüft und diese nach Möglichkeit in Übereinstimmung mit den als grundlegend erachteten Standpunkten der kirchlichen und antiken Autoritäten aufgelöst wurden.

Diese Methode wird ab dem 12. Jahrhundert auf die Darstellungen der antiken Wissenschaft angewendet, insbesondere die des Aristoteles.

Im 12. Jahrhundert werden die Universitäten Paris und Oxford zum europäischen Zentrum der wissenschaftlichen Aktivitäten. Robert Grosseteste (1168–1253) und sein Schüler Roger Bacon (1214–1292) entwerfen ein neues Wissenschaftsparadigma. Nicht die Berufung auf kirchliche oder antike Autoritäten, sondern das Experiment soll die Bewertung der Korrektheit maßgeblich bestimmen. Roger Bacon wurde von Papst Clemens IV. im Jahre 1266 aufgefordert, ihm seine Ansichten und Vorschläge zur Behebung der Missstände in der Wissenschaft mitzuteilen. Bacon verfasste als Antwort mehrere Bücher, darunter sein Opus Maius. Bacon weist auf die Bedeutung der Mathematik als Schlüssel zur Wissenschaft hin; er befasste sich insbesondere mit der Geometrie angewendet auf die Optik. Unglücklicherweise starb der Papst, bevor ihn das Buch erreichte. Ein weiterer wichtiger Beitrag Bacons betrifft die Kalenderreform, die er einforderte, die allerdings dann erst im Jahre 1582 als Gregorianische Kalenderreform durchgeführt wurde.

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  Robert Grosseteste

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  Roger Bacon

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  Nikolaus von Oresme

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  Wilhelm von Ockham

Eine wichtige methodische Entwicklung in der Wissenschaft war die Quantifizierung von Qualitäten als Schlüssel für die quantitative Beschreibung von Vorgängen. Nikolaus von Oresme (1323–1382) war einer der Ersten, die sich weitergehend auch mit der Veränderung der Intensitäten beschäftigten. Oresme untersuchte verschiedene Formen der Bewegung. Er entwickelte eine Art funktionale Beschreibung, indem er Geschwindigkeit gegen Zeit auftrug. Er klassifizierte die unterschiedlichen Formen der Bewegungen und suchte nach funktionalen Zusammenhängen.

Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)

Oresme, aber auch Thomas Bradwardine (1295–1349), Wilhelm von Ockham (1288–1348), Johannes Buridan (ca. 1300 bis ca. 1361) und andere Gelehrte des Merton College untersuchten die funktionale Beschreibung der Zusammenhänge von Geschwindigkeit, Kraft, Ort, kurzum: sie beschäftigten sich mit Kinetik. Es wurden auch methodisch wichtige Fortschritte erzielt. Grosseteste formulierte das Prinzip der Uniformität der Natur, demzufolge Körper gleicher Beschaffenheit sich unter gleichen Bedingungen auf gleiche Weise verhalten. Hier wird deutlich, dass schon damals den Gelehrten bewusst war, dass die Umstände, unter denen bestimmtes Verhalten betrachtet wird, zu kontrollieren sind, wenn Vergleiche angestellt werden sollen. Weiterhin formulierte er das Prinzip der Ökonomie der Beschreibung, nach dem unter gleichen Umständen diejenige Argumentation vorzuziehen ist, die zum vollständigen Beweis weniger Fragen zu beantworten oder weniger Annahmen erfordert. William Ockham war einer der größten Logiker der damaligen Zeit, berühmt ist Ockhams Rasiermesser, ein Grundsatz, der besagt, dass eine Theorie immer so wenig Annahmen und Begrifflichkeiten wie möglich enthalten soll.

Man darf nicht vergessen, dass die Gelehrten der damaligen Zeit oft auch Theologen waren. Die Beschäftigung mit religiösen Fragen wie z. B. der Allmacht Gottes führte sie zu Fragen des Unendlichen. In diesem Zusammenhang ist Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus) (1401–1464) zu nennen, der als einer der ersten, noch vor Galilei oder Giordano Bruno, die Unendlichkeit der Welt beschrieben hat. Sein Prinzip der coincidentia oppositorum zeugt von einer tiefgehenden philosophischen Beschäftigung mit dem Thema Unendlichkeit.

Praktische Mathematik

Gegen Ende des Mittelalters entstanden die Kathedralen Europas, deren Bau ganz neue Anforderungen an die Beherrschung der Statik stellte und zu technologischen Höchstleistungen auf diesem Gebiet herausforderte. In diesem Zusammenhang wurden auch immer wieder geometrische Probleme behandelt. Ein wichtiges Lehrbuch, das die Architektur behandelt ist das Bauhüttenbuch von Villard de Honnecourt. In späterer Zeit befasste sich auch Albrecht Dürer mit dieser Thematik.

Im Bereich der Vermessungsgeometrie wurden während des gesamten Mittelalters stetige Fortschritte erzielt, besonders zu nennen sind hier im 11. Jahrhundert die Geometrie der Geodäten zurückgehend auf ein Buch des Boëthius, im 12. Jahrhundert die eher konventionelle Geometria practica von Hugo von St. Victor (1096–1141). Im 13. Jahrhundert wurde von Levi ben Gershon (1288–1344) ein neues Vermessungsgerät beschrieben, der sogenannte Jakobsstab.

Beginn der Geldwirtschaft

Leonardo da Pisa (Fibonacci), Fantasieporträt

Mit dem Beginn einer Wirtschaft, die nicht auf Warentausch, sondern auf Geld basiert, entstanden neue Anwendungsgebiete der Mathematik. Dies gilt insbesondere für Italien, das zur damaligen Zeit ein Umschlagplatz für Waren von und nach Europa war, und dessen damals führende Rolle im Finanz- und Bankwesen sich noch heute in der Verwendung von Wörtern wie „Konto“, „brutto“ und „netto“ auswirkt. In diesem Zusammenhang ist besonders Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, und sein Liber abbaci zu nennen, der nichts mit dem Abacus als Rechenbrett zu tun hat, sondern gemäß einem zu dieser Zeit in Italien aufkommenden Sprachgebrauch das Wort abacus oder „abbacco“ als Synonym für Mathematik und Rechnen verwendet. In der Mathematik Fibonaccis vollzog sich eine für das Mittelalter singuläre Synthese aus kaufmännischem Rechnen, traditioneller griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Methoden der arabischen und (arabisch vermittelten) indischen Mathematik. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14. Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.

Mathematik der frühen Neuzeit

Im Zuge der Reconquista werden die Mauren aus Europa vertrieben. Ihre Mathematik lassen sie zurück und sie beeinflusst in der Folge die europäische Mathematik grundlegend. Begriffe wie Algebra, Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück.

In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär.

In Frankreich entdeckte René Descartes, dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch mit Zahlen beschreiben kann. Alles, was dazu nötig ist, sind zwei Linien, die einen rechten Winkel miteinander bilden sowie eine Länge „1“ (Normierung) und eine allgemeine Länge „a“. Dann kann man bei affinen Abbildungen, z. B. zentrischen Streckungen, alle Größen algebraisch, also wie mit Zahlen, berechnen. Das kartesische Koordinatensystem stammt in seiner heutigen Form von Leonhard Euler. Blaise Pascal fand den Zusammenhang der Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck) und definierte die Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung).

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  Adam Ries(e)

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  René Descartes

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  Blaise Pascal

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  Pierre de Fermat

Vieta verwendete als erster Mathematiker Variablen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat fand neben seinem Beruf als Richter wichtige Resultate in der Zahlentheorie, insbesondere den „kleinen Fermatschen Satz“ und formulierte den „großen Fermatschen Satz“. Er behauptete, dass die Gleichung $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls $ n\geq 3 $. Am Rand seiner Ausgabe der „Arithmetica“ von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. 400 Jahre suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis. Erst im Jahre 1995 gelang dem britischen Mathematiker Andrew Wiles nach jahrelanger geheimer Arbeit der Beweis für das Fermat-Problem (Fermats letzter Satz). Man nimmt heute an, Fermat habe einen Beweis für einen Spezialfall gefunden, von dem er glaubte, ihn verallgemeinern zu können. In Italien fanden Cardano und Tartaglia die Formel für die Lösungen der kubischen algebraischen Gleichung. Galileo Galilei entdeckte, dass sich Kräfte wie Vektoren verhalten; damit wurde die Vektorrechnung zusammen mit den kartesischen Koordinaten ein wichtiger Teil der Physik.

Entwicklung der Infinitesimalrechnung

Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

Unabhängig voneinander entwickelten Isaac Newton und Leibniz eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die Infinitesimalrechnung und damit den Begriff der Ableitung. Newton beschrieb damit in seinem Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica seine grundlegenden Gleichungen der Physik. Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte er dabei hauptsächlich über Geschwindigkeiten. Leibniz ging einen philosophischeren Weg, er postulierte seine Monaden und kam damit zur Differentialrechnung. Er erfand auch den eigentlichen Infinitesimalkalkül und die Bezeichnungen $ {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} $ und das Zeichen für das Integral$ \textstyle \int $. Zwischen den beiden und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit. Letztendlich erwies sich die Leibnizsche Symbolik als dauerhafter.

Mit der Infinitesimalrechnung war die Analysis begründet. Zusammen mit den Newtonschen Gleichungen konnte bald die gesamte Mechanik und Astronomie mit mathematischen Mitteln behandelt werden.

Mathematik im 18. Jahrhundert

Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden weiter entwickelt, auch wenn ihre Grundlagen auf tönernen Füßen stünden, wie einige Philosophen, zum Beispiel George Berkeley, scharf kritisieren.

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  Leonhard Euler

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  Johann Bernoulli

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  Jakob Bernoulli

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  Jean Baptiste Joseph Fourier

Einer der produktivsten Mathematiker jener Zeit war der Schweizer Leonhard Euler. Ein Großteil der heute verwendeten „modernen“ Symbolik geht auf Euler zurück. Neben seinen Beiträgen zur Analysis führte er, neben vielen anderen Verbesserungen in der Notation, als erster das Symbol i als eine Lösung der Gleichung x² = −1 ein. Auch wenn sich niemand eine Zahl vorstellen konnte, deren Quadrat negativ ist, wird die Verwendung dieser Größe populär. Die komplexen Zahlen halten Einzug in die Mathematik. Außerdem spekulierte Euler darüber, wie eine „Analysis situs“ aussehen könnte, also die Beschreibung von Objekten ohne Verwendung von genauen Längen. Diese Idee wurde schließlich zum Theoriegebäude der Topologie ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des Königsberger Brückenproblems und sein Polyedersatz. Ein weiterer fundamentaler Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der Zahlentheorie geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von bestimmten Potenzreihen und Primzahlen, die Bernhard Riemann unter anderem in der Riemannschen Vermutung verwendet, entdeckte Euler als Erster.

Weitere Beiträge zur Analysis der Zeit stammten von den Bernoullis, auf französischer Seite von Blaise Pascal, Fourier, Laplace, Lagrange, D'Alembert, wo viele bedeutende Mathematiker von der Pariser Universität angezogen wurden.

In England wurden von Thomas Bayes wichtige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt.

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  Joseph-Louis Lagrange

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  Augustin Louis Cauchy

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  Carl Friedrich Gauß

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  Bernhard Riemann

Mathematik im 19. Jahrhundert

Ab dem 19. Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. Augustin Louis Cauchy begründete die $ \epsilon $-Definition des Grenzwertes. Außerdem legte er die Grundlagen der Funktionentheorie. Die Verwendung komplexer Zahlen wurde von Dedekind und Kronecker algebraisch fundiert.

Der Legende nach schrieb der Franzose Évariste Galois am Vorabend eines für ihn tödlich verlaufenen Duells seine Galoistheorie nieder. Damit war er der erste Vertreter der Gruppentheorie. Zu seiner Zeit von wenigen verstanden, wurde diese ein mächtiges Hilfsmittel in der Algebra. Mit Hilfe der Galoistheorie wurden die drei klassischen Probleme der Antike als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels, die Verdoppelung des Würfels und die Quadratur des Kreises.

Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in Gruppen, Ringen und Körpern formalisiert. Der Norweger Sophus Lie untersuchte die Eigenschaften von Symmetrien. Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen Quantenfeldtheorien beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen.

In Göttingen wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann. Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die Differentialgeometrie – Geometrie wurde mit analytischen Methoden beschrieben. Auch wurde dank ihres Mitwirkens zum ersten Mal Euklids Geometrie neu überarbeitet: die Nichteuklidische Geometrie entstand.

Georg Cantor überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der Mengenlehre.

Nach Tausenden von Jahren erfuhr die Logik eine Runderneuerung. Gottlob Frege erfand die Prädikatenlogik, die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit Aristoteles. Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der Grundlagenkrise der Mathematik.

Moderne Mathematik

Die moderne Mathematik entsteht aus dem Bedürfnis, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für allemal zu festigen. Allerdings beginnt alles mit einer Krise anfangs des 20. Jahrhunderts: Bertrand Russell erkennt die Bedeutung von Freges Arbeiten. Gleichzeitig entdeckt er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin (Russellsche Antinomie). Diese Erkenntnis erschüttert die gesamte Mathematik. Falls es nur einen einzigen widersprüchlichen Satz in der Mathematik gibt, fällt die ganze Wissenschaft wie ein Kartenhaus zusammen. Sollte der Packesel Mathematik, der so viele gute Dienste geleistet hat, unter Cantors Unendlichkeiten erdrückt werden? Eine Zeit lang schien eine Lösung im Intuitionismus Brouwers nahezuliegen. Aber die zunächst sehr interessierten Mathematiker wandten sich schnell von dieser philosophischen Richtung ab. Mehrere Versuche zur Rettung werden gemacht: Russell und Alfred North Whitehead versuchen in ihrem mehrtausendseitigen Werk „Principia Mathematica“ mit Hilfe der Typentheorie ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründen Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel die Mengenlehre axiomatisch (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre). Letztere setzt sich durch, weil ihre wenigen Axiome wesentlich handlicher sind als die schweren „Principia Mathematica“.

David Hilbert, Foto aus dem Jahr 1886

Der Zweifel an den Grundlagen bleibt aber bestehen. Es bedurfte eines Geistesriesen, um den (scheinbaren) Ausweg aus der Situation zu finden. Dieser kam in Gestalt von David Hilbert, von dem gesagt wird, dass er der Letzte war, der die gesamte Mathematik überblicken konnte. Seine Idee – um die Mathematik wasserdicht zu machen – war, das mathematische Beweisen selbst mit Hilfe der Mathematik zu untersuchen. Schließlich waren Beweise nur eine Folge von Symbolen mit vorgegebenen Verknüpfungen, und Symbole und Verknüpfungen kann man mit mathematischen Methoden behandeln. Es konnte wieder Hoffnung aufkommen.

Diese wurde jedoch jäh von Kurt Gödel zerstört. Sein Unvollständigkeitssatz zeigt, dass nicht jeder wahre Satz bewiesen werden kann. Dies war wahrscheinlich eine der wichtigsten Erkenntnisse in der Mathematik. Damit schien der Traum, eine umfassende Widerspruchsfreiheit zu finden, zunächst ausgeträumt. Allerdings konnten Mathematiker und Logiker wie Gerhard Gentzen und Paul Lorenzen zeigen, dass eine konstruktive Mathematik und Logik durchaus widerspruchsfrei ist. Allerdings muss dort auf einen Teil des Satzbestandes der Mathematik verzichtet werden.

Für manche rationalitätskritische Philosophen war die Erkenntnis Gödels aber die Bestätigung ihrer Ansicht, dass der Rationalismus gescheitert sei. Andererseits kann man sich fragen, ob eine Theorie, die ihre eigenen Grenzen erkennt, nicht mächtiger ist als eine, die das nicht kann.

Neben der Logik wird die Mathematik zunehmend abstrahiert. Die polnische Schule unter ihrer Leitfigur Stefan Banach begründet die Funktionalanalysis. Mit Hilfe der Banachräume und ihrer Dualitäten können viele Probleme, zum Beispiel der Integralgleichungen, sehr elegant gelöst werden. Aber auch hier - sowie in den Querbeziehungen z.B. zur Theoretischen Physik - sind letztlich Hilbert'sche Erkenntnisse grundlegend.

Andrei Kolmogorow liefert eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich dem Flächeninhalt und kann mit Methoden der Maßtheorie behandelt werden. Damit ist auch dieses Feld logisch einwandfrei (siehe auch: Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung).

John von Neumann

Andrew Wiles

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts werden alle Teilgebiete der Mathematik in mengentheoretischer Sprache formuliert und auf axiomatische Grundlagen gestellt. Einen Höhepunkt erreichen Abstraktion und Formalisierung im Schaffen des Autorenkollektivs Nicolas Bourbaki.

Im Zweiten Weltkrieg entsteht großer Bedarf an der Lösung konkreter mathematischer Probleme, beispielsweise bei der Entwicklung der Atombombe oder der Entschlüsselung von Codes. John von Neumann, Alan Turing und andere entwickeln deshalb ein abstraktes Konzept einer universalen Rechenmaschine. Zuerst nur auf dem Papier, werden diese Ideen bald in Hardware gegossen und der Computer hält Einzug in die Mathematik.

Dies führt zu einer dramatischen Weiterentwicklung der numerischen Mathematik. Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Probleme, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden.

1995 kann schließlich Andrew Wiles den Satz von Fermat beweisen. Fermats Aussage, dass der Rand einer Buchseite zu schmal für einen Beweis sei, bestätigt sich: Wiles' Beweis ist über 100 Seiten lang, und er braucht Hilfsmittel, die weit über den mathematischen Erkenntnisstand zu Fermats Zeiten hinausgehen.

Siehe auch

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• Liste bedeutender Mathematiker
• Mengenunterscheidung bei Tieren

Literatur

• Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9.
• Joseph W. Dauben, Christoph J. Scriba (Hrsg.): Writing the History of Mathematics. Its Historical Development. Birkhäuser, Basel u. a. 2002, ISBN 3-7643-6167-0.
• Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient, Mathematik im Abendland. Matrixverlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1.
• Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Bd. 1, Oxford University Press, New York, Oxford 1972, ISBN 0-19-506135-7. (2 Bände)
• Uta Merzbach, Carl Benjamin Boyer: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-0-470-52548-7.
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-22471-8.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0. (2 Bände)
• Eleanor Robson, Jacqueline Stedall (Herausgeber): The Oxford handbook of the history of mathematics. Oxford University Press, Oxford 2009, ISBN 978-0-19-921312-2.
• Thomas Sonar 3000 Jahre Analysis, Springer Verlag 2011
• John Stillwell Mathematics and its History, Springer, 1989, 2. Auflage 2002
• Dirk Struik Abriß der Geschichte der Mathematik, 7. Auflage, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1980 (englische Ausgabe A concise history of mathematics, Dover 1987)
• Jean Dieudonné (Herausgeber und Mitautor) Geschichte der Mathematik 1700-1900 - ein Abriss, vieweg 1985
• Jean-Paul Pier (Herausgeber): Development of Mathematics 1900-1950, Birkhäuser 1995
• Jean-Paul Pier (Herausgeber): Development of Mathematics 1950-2000, Birkhäuser 2000

Biographien von Mathematikern finden sich in:

• Dictionary of Scientific Biography
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote: Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut, Leipzig 1990

Weblinks

Commons: Geschichte der Mathematik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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Wikisource: Mathematik – Quellen und Volltexte

Wikisource: Rechenbücher – Quellen und Volltexte

• Sendereihe: Die Geschichte der Mathematik Vierteilige Sendereihe der BBC, The Story of Maths, vom WDR für Planet Schule auf Deutsch übersetzt, die Filme können online angesehen werden
• ERAM Literaturdatenbank 1868-1942, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
• MacTutor: Mathematik-Geschichts-Projekt der Universität St. Andrews mit umfassendem Archiv vorzüglicher Biografien (auf englisch)
• Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (in etlichen Fällen dürfte die verzeichnete Quelle aber nur die älteste englischsprachige sein; anderssprachige Originalliteratur scheint noch unzureichend berücksichtigt)
• Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Die Herkunft der Mathematik (Private Homepage von Wolfgang Ast, Bad Abbach)
• Elemente vorantiker Mathematik Vergleich zwischen babylonischen und ägyptischen Rechentechniken (PDF-Datei; 313 kB)
• Guter Artikel zur Mathematikgeschichte
• HNF – Heinz Nixdorf MuseumsForum: Mehr als das größte Computermuseum der Welt in Paderborn

Einzelnachweise

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