Wellengleichung

Die homogene Wellengleichung ist die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

$ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)=0 $

für eine reelle oder komplexe Funktion

$ u(t,x_{1}\dots x_{n})\,. $

Sie heißt auch d'Alembert-Gleichung und zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen.

Verwendet man die Zeit $ t'=c\,t\,, $ dann absorbiert dies den Faktor $ c^{2} $ in der Wellengleichung, sie hat dann die Form wie für $ c=1\,. $

Die Lösungen der Wellengleichung sind die Wellen. Diese überlagern sich ohne gegenseitige Beeinflussung und breiten sich unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen aus. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann man sie anregt. Verschobene oder verspätete Wellen sind daher auch Wellen.

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die linear inhomogene partielle Differentialgleichung

$ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)=v(t,x_{1}\dots x_{n})\,. $

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer räumlichen Dimension

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension

$ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0 $

hat die allgemeine Lösung

$ u\left(t,x\right)=f(x+ct)+g(x-ct) $

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen $ f(x)\, $ und $ g(x)\, $. Dabei ist der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links und der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts mit unveränderter Form laufende Welle. Die Funktionen $ f(x)\, $ und $ g(x)\, $ werden auch Riemann-Invarianten genannt.

Die Funktionen $ f $ und $ g $ lassen sich als Linearkombination von Kosinus-Funktionen

$ \cos(kx-\omega t+\varphi ) $

oder von komplexen Exponentialfunktionen

$ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\, $

schreiben:

$ u(t,x)={\text{Re}}\int \mathrm {d} k\,a(k)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (k\,x-\omega \,t)} $

Dabei hängt die Frequenz durch

$ \omega =|k|\,c $

mit der Wellenzahl $ |k|\, $ zusammen. Die Phase $ \varphi {(k)} $ steckt dabei in der komplexen Amplitude $ a(k) $.

Lösung mit vorgegebenen Anfangswerten

Sei also $ u\left(t,x\right)=f(x+ct)+g(x-ct) $ die allgemeine Lösung der Wellengleichung und $ u\left(0,x\right)=\phi (x) $ sowie $ {\tfrac {\partial u}{\partial t}}\left(0,x\right)=u_{t}(0,x)=\psi (x) $ zwei Anfangsbedingungen, dann folgt:

$ u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)=\phi (x) $

$ u_{t}\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)=\psi (x) $

Integration der zweiten Gleichung ergibt:

$ f(x)-g(x)={\frac {1}{c}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi , $

Durch Auflösen erhält man:

$ f(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right) $

$ g(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int _{x}^{x_{0}}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right) $

Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach:

$ u(t,x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x+ct)+\phi (x-ct)+{\frac {1}{c}}\int _{x-ct}^{x+ct}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right) $

Die Wellengleichung in drei räumlichen Dimensionen

Auch in mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung als Linearkombination von ebenen Wellen

$ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \mathbf {x} -\omega t)}\ {\text{mit}}\ \omega =\left|\mathbf {k} \right|c $

schreiben. Solch eine ebene Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit c in Richtung von $ \mathbf {k} $. Bei der allgemeinen Lösung

$ u(t,\mathbf {x} )={\text{Re}}\int \mathrm {d} ^{n}k\,a(\mathbf {k} )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \,\mathbf {x} -|\mathbf {k} |\,c\,t)} $

ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der Lösung später zusammenhängen.

In drei Raumdimensionen lässt sich die Lösung der Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion $ u(t,\mathbf {x} ) $ und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit $ t=0 $ durch Funktionen $ \phi $ und $ \psi $ gegeben,

$ u(0,\mathbf {x} )=\phi (\mathbf {x} )\,,\ {\frac {\partial }{\partial t}}u(0,\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} )\,, $

dann ist, wenn wir einfachheitshalber $ c=1 $ wählen, die Linearkombination von Mittelwerten

$ u(t,\mathbf {x} )=t\,M_{t,\mathbf {x} }[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}(t\,M_{t,\mathbf {x} }[\phi ]) $

die zugehörige Lösung der Wellengleichung. Dabei bezeichnet

$ M_{t,\mathbf {x} }[\chi ]={\frac {1}{4\,\pi }}\int _{-1}^{1}\!\!\mathrm {d} \cos \theta \int _{0}^{2\pi }\!\!\mathrm {d} \varphi \,\chi (\mathbf {x} +t\mathbf {n} (\theta ,\varphi ))\quad {\text{mit}}\quad \mathbf {n} (\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}} $

den Mittelwert der Funktion $ \chi \,, $ gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt $ \mathbf {x} $ mit Radius $ |t|\!\,. $ Insbesondere ist $ M_{0,\mathbf {x} }[\chi ]=\chi (\mathbf {x} )\!\,. $

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit $ t $ am Ort $ \mathbf {x} $ nur von den Anfangswerten an den Orten $ \mathbf {y} $ ab, von denen man $ \mathbf {x} $ in der Laufzeit $ |t| $ mit Lichtgeschwindigkeit $ c=1 $ erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip. In einer Raumdimension und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit $ t $ auch von Anfangswerten an Punkten $ \mathbf {y} $ ab, von denen aus man $ \mathbf {x} $ mit langsamerer Geschwindigkeit erreicht.

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

$ u(t,\mathbf {x} )=t\,M_{t,\mathbf {x} }[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}(t\,M_{t,\mathbf {x} }[\phi ])+{\frac {1}{4\pi }}\int _{|\mathbf {z} |\leq |t|}\!\!\mathrm {d} ^{3}z\,{\frac {v(t-{\text{sign}}(t)|\mathbf {z} |,\mathbf {x} +\mathbf {z} )}{|\mathbf {z} |}} $

hängt am Ort $ \mathbf {x} $ zur Zeit $ t>0 $ nur von der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von $ \mathbf {x} $ ab. Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).

Siehe auch

• Klein-Gordon-Gleichung
• Stehende Welle

Weblinks

Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie Kapitel 5.5