Wellenoptik

Als Wellenoptik, oder physikalische Optik, bezeichnet man in der Physik den Teilbereich der Optik, der Licht als Elektromagnetische Welle behandelt. Mithilfe der Wellenoptik lassen sich Eigenschaften wie Farbe, Interferenzfähigkeit, Beugung und Polarisation des Lichtes erklären, die mit geometrischer Optik nicht erklärbar sind.

Geschichte

Beugung am Spalt gemäß dem Huygensschen Prinzip. Die gelben Punkte zeigen dabei die gedachten Ausgangspunkte für neue Wellen.

Bereits im 17. Jahrhundert erkannte man, dass die klassische Deutung von Licht als Bündel geradliniger Strahlen unvollständig sein muss. Beugung und Interferenz lassen sich so nicht erklären. Christiaan Huygens bemerkte um 1650, dass eine Lichtausbreitung analog zu Wasserwellen die Phänomene erklären würde. Er formulierte sein Huygenssches Prinzip, welches besagt, dass von jedem Punkt einer beugenden Fläche kugelförmige Elementarwellen ausgehen, die sich überlagern und so die beobachtbaren Beugungseffekte hervorrufen. Zunächst wurde Huygens nicht ernst genommen, da man die Korpuskeltheorie von Isaac Newton favorisierte. Erst im 19. Jahrhundert wurde die Wellentheorie (auch als Undulationstheorie bezeichnet) durch das Doppelspaltexperiment von Thomas Young bestätigt. Die Arbeiten von Joseph von Fraunhofer und Augustin Jean Fresnel bauten die Theorie weiter aus. Friedrich Magnus Schwerd wandte die Wellentheorie zur Erklärung seiner umfassenden Beugungsexperimente an.

Grundlagen

Bei Betrachtung der Wechselwirkungen von Licht mit Materie können experimentell verschiedene Effekte beobachtet werden, die sich nicht mehr mit geometrischer Optik erklären lassen. Dies ist der Fall wenn die Objekte, mit denen das Licht wechselwirkt, in derselben Größenordnung wie die Wellenlänge liegen. Im Grenzfall sehr kurzer Wellenlängen bzw. sehr großer Objekte ergeben sich umgekehrt die Gesetze der Strahlenoptik (=der geometrischen Optik). In der Wellenoptik wird Licht durch eine Transversalwelle mit Wellenlänge, Amplitude und Phase beschrieben. Jede Welle wird mathematisch als Lösung einer Wellengleichung dargestellt:

$ \Delta u(\vec r, t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2u(\vec r, t)}{\partial t^2} $

Dabei ist $ \Delta $ der Laplace-Operator, c die Lichtgeschwindigkeit und u die von Ort $ \vec r $ und Zeit t abhängende Wellenfunktion. Die Wellenfunktion kann dabei entweder skalar oder vektoriell sein. Die vektorielle Beschreibung des Lichts ist notwendig, wenn die Polarisation eine Rolle spielt, ansonsten ist die skalare Beschreibung die einfachere.

Übergang zur Geometrischen Optik

Hauptartikel: Geometrische Optik

Die Wellengleichung ist äquivalent zur Helmholtzgleichung, da beide über die Fouriertransformation in der Zeit $ t $ bzw. Frequenz $ \omega $ zusammenhängen:

$ \left(\Delta +\frac{\omega^2}{c^2}\right)\hat{u}(\vec{r},\omega)=0 $.

Dabei ist $ \hat{u}(\vec{r},\omega) $ die Fouriertransformierte von $ u(\vec{r},t) $. Führt man die Wellenzahl $ k=\omega/c $ ein, so ergibt sich die Helmholtzgleichung

$ \left(\Delta +k^2\right)\hat{u}(\vec{r},k)=0 $.

Eine Lösung dieser Gleichung ergibt sich aus dem Ansatz

$ u(\vec{r},k)=a(\vec{r})e^{ikS(\vec{r})}, $

unter der Näherung, dass die Amplitude $ a(\vec{r}) $ nur langsam veränderlich ist, d.h. über eine Strecke in der Größenordnung der Wellenlänge $ \lambda=\frac{2\pi}{k} $ als konstant betrachtet werden kann.

Die Flächen $ kS(\vec{r})=\mathrm{const} $ bestimmen die Flächen gleicher Phase (=Wellenfronten). Für $ S(\vec{r})=x $ würde sich z.B. eine ebene Welle ergeben. Das Gradientenfeld $ \nabla S(\vec{r}) $ gibt die Ausbreitungsrichtung der einzelnen Punkte der Wellenfront an. Im Beispiel der ebenen Welle ist das Gradientenfeld $ \nabla x=(1,0,0)^T $ und die Wellenfronten breiten sich in x-Richtung aus. In der Nähe eines Punktes $ \vec{r}_0 $ kann jede, durch obige Lösung beschriebene Welle, als ebene Welle mit Wellenzahl $ k_0=k/n(\vec{r}_0) $ (Brechungsindex $ n(\vec{r}_0) $ an dieser Stelle) und Ausbreitungsrichtung $ \hat{\vec{k}}\propto \nabla S(\vec{r})|_{\vec{r}_0} $ aufgefasst werden. $ S(\vec{r}) $ heißt Eikonal und ist eine wichtige Funktion in der geometrischen Optik, denn sie bestimmt die lokalen Wellenvektoren der Welle (Ausbreitungsrichtung mal Wellenzahl). Die Strahlengänge in der geometrischen Optik sind mit den lokalen Wellenvektoren identisch.[1] Unter der angegebenen Näherung kann durch Einsetzen des Ansatzes in die Helmholtzgleichung die Eikonalgleichung gewonnen werden:

$ (\nabla S(\vec{r}))^2=n^2(\vec{r}) $.

Diese Gleichung besagt, dass der Brechungsindex $ n $ die Phase der Welle bestimmt und bildet die formale Grundlage der geometrischen Optik:

  • Die Näherung, dass die Amplitude der Welle in der Größenordnung der Wellenlänge nicht stark variiert, entspricht der üblichen Aussage, dass die geometrische Optik gültig ist, solange die streuenden Objekte sehr viel größer als die Wellenlänge des Lichts sind.
  • Der lokale Brechungsindex bestimmt das Gradientenfeld der Phase und damit die lokale Ausbreitungsrichtung und Wellenzahl der Welle.

Paraxiale Strahlen

Bild der Lichtintensität eines 630 nm Laserpointers, der auf eine Digitalkamera fokussiert ist. Es ist die dominante $ \mathrm{TEM}_{00} $ Mode zu sehen.

Ein großes Anwendungsgebiet der Wellenoptik befasst sich mit Lasern. Laserlicht ist einerseits nahezu monochromatisch und andererseits so stark gebündelt, dass der Lichtstrahl für große Strecken achsennah bleibt (= nicht divergiert). Solche Wellen sind Lösungen der Helmholtzgleichung unter der paraxialen Näherung. Diese besagt, dass sich die Amplitude $ a(\vec{r}) $ in Ausbreitungsrichtung $ z $ nicht stark ändern darf. Mathematisch bedeutet dies, dass die 2. Ableitung der Amplitude nach z vernachlässigt werden darf: $ \partial_z^2 a(\vec{r})\approx 0 $.

Eine wichtige Lösung, die sich unter dieser Näherung ergibt ist die Gauß-Lösung. Im nebenstehenden Bild ist die gaußverteilte Intensitätsverteilung von Licht eines Laserpointers zu sehen.

Farbe und Intensität

Hauptartikel: Farbe

Die Farbe des Lichtes entspricht seiner Wellenlänge. Monochromatisches Licht hat nur eine Wellenlänge, während Weißlicht eine Überlagerung vieler Wellen unterschiedlicher Wellenlängen darstellt. Eigentlich ist die Frequenz der Lichtwelle ausschlaggebend für die Farbe; die Wellenlänge ist abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit und somit vom Medium in dem sich das Licht ausbreitet. In den gebräuchlichen Aussagen über die Farbe von Licht im Zusammenhang mit seiner Wellenlänge wird die Ausbreitung im Vakuum vorausgesetzt. In Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur geringfügig kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit, sodass auch die Wellenlänge einer bestimmten Frequenz in Luft nur gering von der im Vakuum abweicht. Die Intensität des Lichtes ist proportional zum Quadrat der Amplitude dieser Welle, gemittelt über die Zeit.

Kohärenz und Interferenz

Hauptartikel: Kohärenz und Interferenz

Neben der Amplitude kann man auch die Phase der Welle betrachten. Stehen mehrere Wellen in einer konstanten Phasenbeziehung, so spricht man von Kohärenz. Kohärente Wellen haben die Eigenschaft, dass sie miteinander interferieren können. Unterschiedliche Wellen überlagern sich dabei so, dass es zur Verstärkung (Wellenberg trifft auf Wellenberg – konstruktive Interferenz) oder Abschwächung (Wellenberg trifft auf Wellental – destruktive Interferenz) kommt.

Polarisation

Hauptartikel: Polarisation

Eine Transversalwelle schwingt zwar stets senkrecht zur Richtung der Lichtausbreitung, hat jedoch noch immer zwei Freiheitsgrade. Findet die Schwingung nur in einer Ebene statt oder ändert sie sich regelmäßig, so spricht man von polarisiertem Licht. Die Polarisation kann nur durch die vektorielle Darstellung als elektromagnetische Welle erklärt werden.

Wellenfronten

Statt Lichtstrahlen betrachtet man in der Wellenoptik das verallgemeinerte Konzept der Wellenfront. Eine Wellenfront ist eine Fläche, die Punkte gleicher Phase verschiedener Wellen in sich vereinigt. Lichtstrahlen stehen stets senkrecht auf der Wellenfront.

Grenzen der Wellenoptik

Es gibt Phänomene, die sich durch die Wellentheorie nicht erklären lassen. Dazu gehört der von Wilhelm Hallwachs 1887 entdeckte und von Albert Einstein 1905 erklärte äußere Photoeffekt (Nobelpreis 1921). Einstein erklärte die Wechselwirkung zwischen Licht und Materie mit der Lichtquantenhypothese. Man sprach dann von Welle-Teilchen-Dualismus. Der scheinbare Widerspruch dass sich Licht sowohl wie Wellen als auch wie Teilchen verhält, wird von der modernen Quantenphysik aufgelöst.

Literatur

Belege

  1. Florian Scheck: Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Von Der Elektrodynamik Zu Den Eichtheorien. Springer 2005, ISBN 978-3-540-23145-5 (Zugriff am 3. Januar 2012), S. 224

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News aus den Naturwissenschaften

04.03.2021
Exoplaneten
Eine nahe, glühend heiße Super-Erde
In den vergangenen zweieinhalb Jahrzehnten haben Astronomen Tausende von Exoplaneten aus Gas, Eis und Gestein aufgespürt.
04.03.2021
Exoplaneten
Vulkane könnten den Nachthimmel dieses Planeten erhellen
Bisher haben Forschende keine Anzeichen auf globale tektonische Aktivität auf Planeten ausserhalb unseres Sonnensystems gefunden.
01.03.2021
Sonnensysteme - Teilchenphysik
„Ausgestorbenes Atom“ lüftet Geheimnisse des Sonnensystems
Anhand des „ausgestorbenen Atoms“ Niob-92 konnten Forscherinnen Ereignisse im frühen Sonnensystem genauer datieren als zuvor.
01.03.2021
Akustik - Optik - Quantenoptik
Nanoschallwellen versetzen künstliche Atome in Schwingung
Einem deutsch-polnischen Forscherteam ist es gelungen, gezielt Nanoschallwellen auf einzelne Lichtquanten zu übertragen.
01.03.2021
Quantenoptik
Nicht verlaufen! – Photonen unterwegs im dreidimensionalen Irrgarten
Wissenschaftlern ist es gelungen, dreidimensionale Netzwerke für Photonen zu entwickeln.
24.02.2021
Kometen_und_Asteroiden
Asteroidenstaub im „Dinosaurier-Killer-Krater“ gefunden
Ein internationales Forscherteam berichtet über die Entdeckung von Meteoriten-Staub in Bohrproben aus dem Chicxulub-Impaktkraters in Mexiko.
24.02.2021
Quantenphysik
Zwillingsatome: Eine Quelle für verschränkte Teilchen
Quanten-Kunststücke, die man bisher nur mit Photonen durchführen konnte, werden nun auch mit Atomen möglich. An der TU Wien konnte man quantenverschränkte Atomstrahlen herstellen.
19.02.2021
Quantenphysik
Auch in der Quantenwelt gilt ein Tempolimit
Auch in der Welt der kleinsten Teilchen mit ihren besonderen Regeln können die Dinge nicht unendlich schnell ablaufen.
22.02.2021
Sterne - Teilchenphysik
Erstes Neutrino von einem zerrissenen Stern
Ein geisterhaftes Elementarteilchen aus einem zerrissenen Stern hat ein internationales Forschungsteam auf die Spur eines gigantischen kosmischen Teilchenbeschleunigers gebracht.
23.02.2021
Satelliten - Raumfahrt
Unglaubliche Bilder vom Rover Perseverance auf dem Mars