Doppelspaltexperiment

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Doppelspaltexperiment

Beim Doppelspaltexperiment lässt man kohärentes Licht durch eine Blende mit zwei schmalen, parallelen Spalten treten. Voraussetzung dabei ist, dass die Wellenlänge λ des Lichts kleiner ist als der Abstand a der beiden Spalte. Auf einem Beobachtungsschirm in einer Distanz zur Blende, die sehr viel größer ist als der Abstand a der Spalte, zeigt sich ein sogenanntes Interferenzmuster. Dieses Muster entsteht durch Beugung des Lichtes an einem Spalt. Bei monochromatischem Licht (z. B. von einem Laser) besteht dieses Muster auf dem Schirm aus hellen Streifen (Maxima) und dunklen Streifen (Minima), ansonsten kommen Farberscheinungen hinzu.

Das Experiment kann nicht nur mit den „Wellen“ des Lichts, sondern auch mit „Teilchen“ (Elektronen, Neutronen, Atomen, Fulleren-Molekülen usw.) durchgeführt werden. Es zeigt sich auch in diesen Fällen ein Interferenzmuster wie bei der Durchführung mit Licht. Das bedeutet, dass auch klassische Teilchen unter bestimmten Bedingungen Welleneigenschaften zeigen – man spricht dann von „Materiewellen“. Mit dem Doppelspaltexperiment kann man so den Welle-Teilchen-Dualismus demonstrieren, der nur im Rahmen der Quantenmechanik erklärt werden kann. Dieses Experiment gilt als das wichtigste Experiment der Quantenmechanik, es ist ein herausragendes Beispiel dafür, wie die Quantenmechanik unsere Weltanschauung verändert.

Geschichte

1802 führte Thomas Young das Experiment erstmalig durch, um die Wellennatur des Lichtes zu beweisen.

1927 zeigten Clinton Davisson und Lester Germer die Welleneigenschaften von Elektronen anhand der Beugung eines Elektronenstrahls an einem Nickel-Kristall.^[1] Der Kristall wirkt dabei als Reflexionsgitter. Statt zweier Spalte sind hier sehr viele Streuzentren im Spiel.

1961 wurde das Doppelspaltexperiment mit Elektronen durch Claus Jönsson^[2][3] durchgeführt und gelingt inzwischen auch mit Atomen und Molekülen.

Im September 2002 wurde es in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft in der Zeitschrift „Physics World“^[4] zum schönsten physikalischen Experiment gewählt.

Experimentelle Beobachtung

Ergebnis eines Doppelspaltexperiments, welches das Interferenzmuster von Elektronen zeigt. Anzahl Elektronen: 11 (a), 200 (b), 6000 (c), 40000 (d), 140000 (e).

• Die beiden interferierenden Wellen müssen eine feste Phasenbeziehung zueinander haben, damit überhaupt Interferenz auftreten kann. Ausreichende räumliche Kohärenz ist gegeben, wenn die Breite der Quelle (bei Young ein Eintrittsspalt) aus Sicht des Doppelspaltes nicht aufgelöst werden kann (siehe Rayleigh-Kriterium). Die Anforderung an die zeitliche Kohärenz hängt davon ab, wie viele Streifen man neben dem zentralen Streifen erkennen will. Mit ‘inkohärentem’ Tageslicht erscheint bereits die erste Beugungsordnung bunt. Mehr dazu unter Kohärenz.
• Deckt man einen der beiden Blendenspalte ab, beobachtet man nun je nach Breite b des Spaltes entweder ein Beugungsmuster am Einzelspalt (b → Wellenlänge λ) oder aber einen breiten, hellen Streifen hinter dem jeweils geöffneten Spalt mit Interferenzmustern hinter den Kanten des Spaltes (b >> λ).
• Versucht man, durch eine beliebige Apparatur herauszufinden, welchen Weg ein bestimmtes Teilchen genommen hat (durch Spalt 1 oder Spalt 2), verschwindet das Interferenzmuster. Diese Information erhält man auch dadurch, dass man einen der Spalte abdeckt. Dieses Verschwinden wird in der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik durch den sogenannten Kollaps der Wellenfunktion erklärt. Das bedeutet, dass das System bei Interferenz in einer Überlagerung der beiden möglichen Wege ist, während eine Messung des tatsächlichen Weges dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird. Dies gilt auch, wenn der Weg des Teilchens erst später festgestellt wird.
• Bezüglich des Interferenzmusters muss beachtet werden, dass die Energie des Lichts nicht reduziert wird. Vielmehr handelt es sich lediglich um eine Umverteilung der Energie (Licht) – die Energie bleibt also erhalten.
• Das Interferenzmuster hängt nicht von der Anzahl oder Gleichzeitigkeit der beteiligten Photonen ab. Bei einer langsamen Folge von einzelnen Teilchen baut sich das Interferenzmuster langsam auf der Photoplatte auf. Nach dem Detektieren von immer mehr Teilchen sieht man die bekannte Verteilung immer genauer. Das ist das eigentlich Überraschende, denn jedes einzelne Teilchen „kennt“ die früher oder später kommenden Teilchen nicht, jeder „Durchflug“ eines Teilchens durch den Doppelspalt ist unabhängig von den anderen. Daher muss auch die Verteilung der Wahrscheinlichkeit des Ankommens an den Positionen auf der Photoplatte bei jedem einzelnen Durchflug entstehen. Das lässt sich als Interferenz der Teilchen mit sich selbst interpretieren^[5].

Physikalische Beschreibung

Schematische Darstellung des Doppelspaltexperiments

Voraussetzung für die folgenden Abschnitte ist der senkrechte Einfall einer ebenen Welle der Wellenlänge $ \lambda $ auf einen Doppelspalt mit Spaltbreite b und Spaltmittenabstand a. In der Spaltebene sind die Phasen noch im Gleichtakt, Phasenunterschiede, die den Interferenzeffekt ausmachen, ergeben sich erst durch die Abstände s von Punkten in den Spaltöffnungen zum Beobachtungspunkt (rote Linien). Der Abstand d des Schirms soll groß sein, $ d\gg {\tfrac {a^{2}}{\lambda }} $, Fernfeldnäherung.

Orte der Minima und Maxima

Ein Minimum der Intensität findet man für solche Orte, wo der Gangunterschied $ \Delta s $ von den Spaltmitten aus ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, also $ \Delta s=\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {3}{2}},\,\pm {\tfrac {5}{2}},\,\dots \right)\cdot \lambda $. Dann sind die beiden Teilwellen gegenphasig und löschen sich aus. Das gilt auch für den Fall, dass die Breite der Spaltöffnungen nicht klein gegenüber der Wellenlänge ist. Dann variiert zwar s merklich mit der Lage des Punktes innerhalb der Spaltbreite, aber zu jedem Punkt in dem einen Spalt gibt es im Abstand a einen Punkt im anderen Spalt, von dem aus die Welle gegenphasig ankommt.

Maxima befinden sich etwa mittig zwischen den Minimumstellen, wo mit $ \Delta s=\left(0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots \pm n\right)\cdot \lambda $ konstruktive Interferenz gegeben ist. Für höhere Beugungsordnungen n nehmen die Maximalintensitäten ab, denn die konstruktive Interferenz gilt zwar paarweise für Punkte in beiden Spalten, aber nicht für die Variation der Punktposition innerhalb des Spaltes (s.u.).

Für den Zusammenhang zwischen dem Gangunterschied $ \Delta s $ und der Position $ x $ auf dem Schirm liest man aus der Zeichnung ab:

$ \arcsin {\frac {\Delta s}{a}}=\arctan {\frac {x}{d}} $

also für kleine Winkel ungefähr

$ {\frac {\Delta s}{a}}={\frac {x}{d}}\,. $

Damit beträgt die Periode des Streifenmusters $ \lambda \cdot {\frac {d}{a}} $.

Das Interferenzmuster

Die Intensität des Doppelspaltes lässt sich als Produkt der Intensität des Einzelspaltes und des Gitters mit n = 2 darstellen:

$ I(\alpha )=I_{0}\left({\frac {\sin \gamma }{\gamma }}\right)^{2}\cos ^{2}\delta $

Mit: $ \gamma ={\frac {k_{x}}{2}}b $ und $ \delta ={\frac {k_{x}}{2}}a $

bzw.

$ \gamma ={\frac {k}{2}}b\sin \alpha $ und $ \delta ={\frac {k}{2}}a\sin \alpha $

Dabei ist $ \alpha $ der Beobachtungswinkel, $ b $ die Spaltbreite, $ a $ der Spaltabstand, $ k=2\pi /\lambda $ die Wellenzahl und $ k_{x}=k\cdot \sin \alpha $ die Wellenzahlkomponente quer zu den Spalten.

Einfluss von Spaltgeometrie und Wellenlänge

Setzt man die Ausdrücke für γ und δ in die Gleichung des Interferenzmusters ein, so werden die Einflüsse von Spaltgeometrie und Wellenlänge des einfallenden Lichtes auf das Aussehen des Interferenzmusters deutlich:

$ I(\alpha )=I_{0}\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {k}{2}}b\sin \alpha \right)}{{\frac {k}{2}}b\sin \alpha }}\right)^{\!2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {k}{2}}a\sin \alpha \right) $

mit k = 2π/λ.

• Eine Änderung der Spaltbreite b führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Einfachspaltes, dessen Intensitätsverteilung (im Bild blau) die Hüllkurve der Intensitätsverteilung des Doppelspalts bildet (im Bild rot)

→ Je breiter der Spalt, desto enger wird die Hüllkurve

• Eine Änderung des Spaltabstandes a führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Doppelspalts innerhalb der konstant bleibenden Hüllkurve

→ Je größer der Spaltabstand, desto enger liegen die Extrema des Doppelspalts beieinander

• Eine Änderung der Wellenlänge λ wirkt sich sowohl auf die Hüllkurve, wie auch auf die Intensitätsverteilung des Doppelspalts aus

→ Je größer die Wellenlänge, desto breiter werden Hüllkurve und die Interferenzabstände des Doppelspalts

Berechnung mit Fourier-Optik

Das Interferogramm einer Spaltkonstellation lässt sich auch mit Hilfe der Fourier-Optik berechnen. Dabei wird ausgenutzt, dass im Falle der Fraunhofer-Beugung das Beugungsmuster der Fouriertransformierten der Autokorrelation der Blendenfunktion entspricht. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass sich auch das Beugungsbild komplizierterer Mehrfachspalte und Gitter schnell berechnen lässt. Wesentlich ist dabei die Ausnutzung des Faltungstheorems.

Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die zwei Einzelspalte mit Abstand a symmetrisch zum Schnitt der Koordinatenachsen liegen. Die Blendenfunktion der zwei identischen Spalte mit Breite b im Ortsraum lautet

$ (\delta (x\pm d))*\operatorname {rect} _{b}(x)=(\delta (x-a/2)+\delta (x-a/2))*\operatorname {rect} _{b}(x) $

wobei $ * $ den Faltungsoperator und $ \operatorname {rect} _{b}(x) $ die Rechteckfunktion bezeichnet.

Die Fouriertransformierte der gegebenen Blendenfunktion ist nach dem Faltungstheorem das Produkt aus der Fouriertransformierten der Rechteckfunktion und der Fouriertransformierten der zwei Delta-Distributionen.

$ {\mathcal {F}}[\operatorname {rect} _{b}(x)](k_{x})=b\cdot \operatorname {si} \left({\frac {b}{2}}k_{x}\right)=b{\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}={\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{\frac {k_{x}}{2}}} $

$ {\mathcal {F}}[\delta (x\pm d)](k_{x})=\cos(a\cdot k_{x}/2) $

Daraus folgt für die Intensität am Schirm ein Cosinus mit einer Sinc-Funktion als Einhüllende. Die Funktion weist die charakteristischen $ N-1=1 $ Nebenmaxima eines $ N=2 $-fach-Spaltes auf (siehe auch Optisches Gitter).

$ I(k)=I_{0}\left({\frac {\operatorname {sin} \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}\cdot \operatorname {cos} ({\frac {k_{x}}{2}}a)\right)^{2} $

Mit $ I_{0} $ als Intensitätskonstante.

Für $ k_{x}=k\cdot \sin \alpha $ folgt, die oben bereits gezeigte Beziehung für $ I(\alpha ) $.

• Bild und Beugungsbild vom Doppelspalt
• 

  Doppelspalt

• 

  Beugungsbild eines Doppelspaltes

Folgerungen aus den Beobachtungen für die Quantenmechanik

Betrachtet man die quantenmechanische Beschreibung des Experimentes, so fällt eine wichtige Tatsache auf: Die Messapparatur muss in die Experimente mit einbezogen werden, da sie durch die Detektion bzw. Messung des genauen Weges eines bestimmten Teilchens den Ausgang des Experimentes entscheidend verändert (überraschenderweise kann diese Veränderung aber auch unter bestimmten Voraussetzungen rückgängig gemacht werden, etwa durch einen Quantenradierer). In der klassischen Physik beeinflusst eine Messung das Ergebnis in keinem relevanten Ausmaß.

In der Quantenphysik gibt es mehrere Ansätze, dieses Phänomen zu beschreiben. Alle diese Ansätze (Interpretationen oder Deutungen genannt) führen zum selben Ergebnis, sind aber konzeptionell unterschiedlich. Zwei Deutungen haben sich besonders profiliert:

Kopenhagener Deutung

Beim Kollaps der Wellenfunktion sagt man, dass das Teilchen alle möglichen Wege gleichzeitig benutzt (linker oder rechter Spalt) und sich nicht „entscheidet“ (es befindet sich in einer sog. Superposition aller möglichen Wege). Mehrere dieser Wege können nun miteinander interferieren und bilden so das erwartete Interferenzmuster. Der Detektor misst dabei aber immer nur ein Teilchen und legt somit seine Position erst fest. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu detektieren, ist dabei durch das Interferenzmuster gegeben, das bei der Detektion vieler Teilchen sichtbar wird. Man könnte ein solches Teilchen also als ein „Geisterteilchen“ bezeichnen, auch wenn man keine Möglichkeit hat, dies nachzuweisen, da diese Messung ja den „Geistercharakter“ zerstören würde. Findet nun die Detektion schon vor dem Spalt statt, so stehen nicht mehr alle Wege für die Interferenz zur Verfügung, und es ergibt sich eine andere Verteilung auf dem Schirm (das Interferenzmuster verschwindet). siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus

Viele-Welten-Interpretation

Eine weitere Interpretation ist die sog. Viele-Welten-Interpretation. Dort geht man davon aus, dass sich unsere Welt zu jedem Zeitpunkt in unendlich viele parallele Welten aufspaltet, in denen jeweils ein bestimmter Ausgang des Experimentes realisiert ist (z.B. jeweils eine Welt für die Wege 1 und 2). Dies löst das Problem des Geistercharakters der Teilchen, da nun in jeder Welt die Position deterministisch bestimmt ist.

Einzelnachweise

Literatur

• John Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze. Quantenphysik und Wirklichkeit.. 5. Auflage. Piper, 2004, ISBN 3492240305.
• Claus Jönsson: Interferenz von Elektronen am Doppelspalt. In: Zeitschrift für Physik, Nr. 161, 1961, Seiten 454–474
• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2003, ISBN 3527403663.
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2 : Elektrizität und Optik. 3.. Auflage. Springer, Berlin, 2004, ISBN 3540202102.

Weblinks

Commons: Doppelspaltexperiment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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Wiktionary: Doppelspaltexperiment – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Optik#Beugung_am_Doppelspalt – Lern- und Lehrmaterialien

• Doppelspaltversuch – Einführung mit interaktiven Animationen (Universität Ulm)
• Spaltversuche mit Licht – Java-Applet der Universität Keimyung (Korea) auf LEIFI-Physik
• Doppelspaltversuch mit nicht-monochromatischem und monochromatischen Licht im Vergleich (Uni Hannover)