Magnetische Flussdichte

Die magnetische Flussdichte, auch magnetische Induktion, bisweilen umgangssprachlich einfach nur „Flussdichte“ oder „Magnetfeld“ genannt, ist eine physikalische Größe der Elektrodynamik, die das Formelzeichen B hat und für die Flächendichte des magnetischen Flusses steht, der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt.

Die magnetische Flussdichte $ {\vec {B}} $ ist – ebenso wie die elektrische Flussdichte $ {\vec {D}} $ – eine gerichtete Größe, also ein Vektor, und wird aus dem Vektorpotential $ {\vec {A}} $ hergeleitet.

Definition

Lorentzkraft auf ein positiv geladenes Teilchen der Geschwindigkeit v (links) bzw. das vom Strom I durchflossene Leiterstück der Länge l (rechts) im dazu senkrecht verlaufenden Magnetfeld der Flussdichte B.

Wie die elektrische Feldstärke E ist auch die magnetische Flussdichte B historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung F auf bewegte elektrische Ladungen, definiert worden, die in der neueren Physik als magnetische Komponente der Lorentzkraft betrachtet und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

$ {{\vec {F}}_{B}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}\Leftrightarrow {{\vec {F}}_{B}}=I\cdot {\vec {s}}\times {\vec {B}} $

mit:

• $ {{\vec {F}}_{B}} $ – bewegungsbedingte Kraftwirkung auf die Ladung q im Magnetfeld
• $ q\, $ – elektrische Ladung, oder $ I\, $ - Stromstärke
• $ {\vec {v}} $ – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder $ {\vec {s}} $ – Weg des elektrischen Stroms I durch den untersuchten Leiter
• $ {\vec {B}} $ – magnetische Flussdichte

Die erste der beiden obigen Gleichungen wird dabei vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen wie etwa die Elektronen innerhalb einer Braunschen Röhre benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen, im übrigen schließlich sind beide Gleichungen völlig gleichwertig.

$ {\vec {B}} $ ist in ihnen ein Vektor, der die Richtung der Feldlinien des fraglichen Magnetfelds besitzt. Verzichtet man dagegen auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung $ F_{B} $ aus der Richtung des Vektor- bzw. Kreuzprodukts der beiden Vektoren v und B bzw. s und B zu bestimmen, kann man $ F_{B} $ gemäß folgender Formel auch als skalare Größe berechnen:

$ F_{B}=|q\cdot v|\cdot B\sin \alpha \,\Leftrightarrow F_{B}=|I\cdot s|\cdot B\sin \alpha \, $

mit:

• $ q\, $ – elektrische Ladung, oder $ I\, $ - Stromstärke
• $ v\, $ – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder $ s\, $ – Weglänge des Stroms im Leiter
• $ B\, $ – Betrag der magnetischen Flussdichte
• $ \alpha \, $ – Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung bzw. Richtung des Stromflusses I und der Richtung des magnetischen Flusses

Bewegt sich die elektrische Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da $ \textstyle sin\!\ \alpha $ in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von $ \textstyle B $ gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung $ \textstyle F_{B} $ auf die Ladung bzw. den Leiter als ganzes berechnet werden:

$ {B={\frac {F_{B}}{|q\cdot v|}}}\Leftrightarrow {B={\frac {F_{B}}{|I\cdot s|}}} $

Betrachtet man die magnetische Flussdichte vonseiten ihres Ursprung in einem künstlich erzeugten Magnetfeld, z. B. dem einer Spule, lässt sich als alternative Definitionsgleichung der magnetischen Flussdichte $ {\vec {B}} $ auch folgende Beziehung formulieren:

$ {\vec {B}}=\mu \cdot {\vec {H}}=\mu \cdot N\cdot {\frac {I}{l}} $

mit:

• $ \mu \, $ - magnetische Permeabilität
• $ {\vec {H}} $ - magnetische Feldstärke
• $ N\, $ - Windungszahl der Spule
• $ l\, $ - Länge der Spule
• $ I\, $ - Stromstärke durch die Spule

Eine experimentelle Bestimmung der magnetischen Flussdichte ist mit Hilfe von Magnetometern möglich, preiswerter aber auch mit Hallsensoren oder Messspulen.

Maßeinheit

Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla mit dem Einheitenzeichen T:

$ \left[B\right]=1\,{\mathrm {kg} \over \mathrm {As^{2}} }=1\,{\mathrm {N} \over \mathrm {Am} }=1\,{\mathrm {Nm} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {J} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {Ws} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {Vs} \over \mathrm {m^{2}} }=1\,\mathrm {T} $

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist weiters das Gauß mit dem Einheitenzeichen G, das allerdings in der Technik immer noch häufig verwendet wird. Es gilt 1 T = 10000 G.

Magnetische Flussdichte und magnetischer Fluss

Die magnetische Flussdichte $ {\vec {B}} $ ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit dem magnetischen Fluss $ \Phi \, $ verknüpft:

$ \Phi =\int {\vec {B}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}}} $

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedes Flächenintegral von $ {\vec {B}} $ über eine beliebige geschlossene Oberfläche $ O $ den Wert 0 annimmt:

$ \oint _{O}{\vec {B}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}=0}} $

Anschaulich gesprochen, fließt, wenn man sich ein magnetisches Feld von einer beliebigen in sich geschlossenen Fläche $ O $ umschlossen denkt, stets genauso viel „Magnetismus“ aus ihr heraus wie wieder in sie zurück (sogen. „Quellenfreiheit des magnetischen Feldes“).

Obige Gleichung ist damit mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenen Maxwellschen Gleichung

$ {\mathrm {div} {\vec {B}}=0} $

sowie des Gauß'schen Satzes

$ \oint _{O}{\vec {j}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}=\int _{V}{div{\vec {j}}}\cdot {\rm {{}d^{3}r}}}} $

für ein beliebiges Vektorfeld $ {\vec {j}} $ und das von $ O $ eingeschlossene Volumen $ V $. Anschaulich gesprochen: Was (netto) „in V entspringt“, fließt durch O nach außen, was netto „in V versickert“, fließt durch O nach innen.

Literatur

Wikibooks: Der elektrische Strom - Eigenschaften und Wirkungen: Teil II – Lern- und Lehrmaterialien

• Küpfmüller, K., Kohn, G., Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung, Springer, 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Aufl., 2005, ISBN 3-540-20792-9

Weblinks

• Online-Flussdichte-Berechnung von der Firma IBS Magnet sowie weitere Formeln und Downloads von Magnet-Berechnungstabellen.