Coulomb-Eichung

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Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ dar, das vom Ort $ {\vec {r}} $ und von der Zeit $ t $ abhängt. Auf Grund der Coulomb-Eichung wird das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ so gewählt, dass

$ {\rm {div}}\,{\vec {A}}({\vec {r}},t)=0 $

gilt, d.h. dass die Divergenz des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ verschwindet.

Für ein zeitlich konstantes Vektorfeld $ {\vec {v}}\,({\vec {r}}) $ im $ \mathbb {R} ^{3} $, das im Unendlichen gegen Null geht, führt folgende Coulomb-Eichung zum gesuchten Potential:

$ {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\vec {v}}({\vec {r}}\,')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right|}}\,d^{3}r\,' $

Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen, der Grundgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, werden üblicherweise Potentialfunktionen eingeführt, nämlich das skalare Potential $ \phi ({\vec {r}},t) $ und das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $. Die Potentialfunktionen sind Hilfsfunktionen zur Lösung der Maxwell-Gleichungen. Das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ wird durch die folgende Gleichung definiert:

$ {\vec {B}}({\vec {r}},t)={\rm {rot}}\,{\vec {A}}({\vec {r}},t) $.

also mit $ {\vec {v}}\,({\vec {r}}) $ gleich der Ladungsstromdichte $ {\vec {j}}\,({\vec {r}}) $

$ {\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\times \int _{V}{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}\,')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right|}}\,d^{3}r\,' $

$ {\vec {B}} $ repräsentiert die magnetische Induktion am Ort $ {\vec {r}} $ zum Zeitpunkt $ t $. Die Rotation des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ erzeugt die magnetische Induktion $ {\vec {B}}({\vec {r}},t) $.

Das skalare Potential $ \phi ({\vec {r}},t) $ wird durch folgende Gleichung definiert:

$ {\vec {E}}({\vec {r}},t)=-{\rm {grad}}\,\phi ({\vec {r}},t)-{\frac {{\partial {\vec {A}}}({\vec {r}},t)}{\partial t}} $.

$ {\vec {E}} $ repräsentiert das elektrische Feld am Ort $ {\vec {r}} $ zum Zeitpunkt $ t $. Der Gradient des skalaren Potentials $ \phi ({\vec {r}},t) $ und die partielle Ableitung des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ nach der Zeit erzeugen das elektrische Feld $ {\vec {E}} $.

Das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ wird durch die vorstehende Definition und die Maxwell-Gleichungen nicht eindeutig festgelegt. Die Maxwell-Gleichungen lassen eine Menge von Lösungen für das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ und das skalare Potential $ \phi ({\vec {r}},t) $ zu. Sofern eine bestimmte Lösung für das Vektorpotential gefunden wurde, können daraus durch Eichtransformation weitere Lösungen erzeugt werden. Die Eichtransformationen haben keine Auswirkung auf die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder; sie haben keinerlei physikalische Auswirkung. Die zusätzlichen unphysikalischen Freiheitsgrade können durch Eichung des Vektorpotentials festgelegt werden. Zu den bekannten Eichungen in der Elektrodynamik zählen die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung.

Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotential sondern auch das skalare Potential fest. Die Lösung für das skalare Potential $ \phi ({\vec {r}},t) $ entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem Coulombpotential, welches das Potential einer elektrostatischen Ladungsverteilung beschreibt. Daher rührt der Name Coulomb-Eichung.