Coulomb-Eichung
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Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ dar, das vom Ort $ {\vec {r}} $ und von der Zeit $ t $ abhängt. Auf Grund der Coulomb-Eichung wird das Vektorpotential $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ so gewählt, dass
- $ {\rm {div}}\,{\vec {A}}({\vec {r}},t)=0 $
gilt, d.h. dass die Divergenz des Vektorpotentials $ {\vec {A}}({\vec {r}},t) $ verschwindet.
Für ein zeitlich konstantes Vektorfeld $ {\vec {v}}\,({\vec {r}}) $ im $ \mathbb {R} ^{3} $, das im Unendlichen gegen Null geht, führt folgende Coulomb-Eichung zum gesuchten Potential:
- $ {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\vec {v}}({\vec {r}}\,')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right|}}\,d^{3}r\,' $
Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen, der Grundgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, werden üblicherweise Potentialfunktionen eingeführt, nämlich das skalare Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec r,t) und das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) . Die Potentialfunktionen sind Hilfsfunktionen zur Lösung der Maxwell-Gleichungen. Das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) wird durch die folgende Gleichung definiert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B (\vec r,t)= {\rm rot}\,\vec A (\vec r,t) .
also mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v \,(\vec r) gleich der Ladungsstromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec j \,(\vec r)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B (\vec r)= \frac{1}{4\pi} \vec \nabla \times \int_{V} \frac{\vec j(\vec r \,')}{\left|\vec r-\vec r \,'\right|}\,d^3 r \,'
$ {\vec {B}} $ repräsentiert die magnetische Induktion am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t . Die Rotation des Vektorpotentials Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) erzeugt die magnetische Induktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B (\vec r,t) .
Das skalare Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec r,t) wird durch folgende Gleichung definiert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E (\vec r,t)=-{\rm grad}\,\phi(\vec r,t)-\frac{{\partial\vec A}(\vec r,t)}{\partial t} .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E repräsentiert das elektrische Feld am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t . Der Gradient des skalaren Potentials Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec r,t) und die partielle Ableitung des Vektorpotentials Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) nach der Zeit erzeugen das elektrische Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E .
Das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) wird durch die vorstehende Definition und die Maxwell-Gleichungen nicht eindeutig festgelegt. Die Maxwell-Gleichungen lassen eine Menge von Lösungen für das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A (\vec r,t) und das skalare Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec r,t) zu. Sofern eine bestimmte Lösung für das Vektorpotential gefunden wurde, können daraus durch Eichtransformation weitere Lösungen erzeugt werden. Die Eichtransformationen haben keine Auswirkung auf die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder; sie haben keinerlei physikalische Auswirkung. Die zusätzlichen unphysikalischen Freiheitsgrade können durch Eichung des Vektorpotentials festgelegt werden. Zu den bekannten Eichungen in der Elektrodynamik zählen die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung.
Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotential sondern auch das skalare Potential fest. Die Lösung für das skalare Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec r,t) entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem Coulombpotential, welches das Potential einer elektrostatischen Ladungsverteilung beschreibt. Daher rührt der Name Coulomb-Eichung.