Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotentials $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ dar, das vom Ort $\overrightarrow{r}$ und von der Zeit $t$ abhängt. Auf Grund der Coulomb-Eichung wird das Vektorpotential $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ so gewählt, dass

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=0$

gilt, d.h. dass die Divergenz des Vektorpotentials $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ verschwindet.

Für ein zeitlich konstantes Vektorfeld $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$ im ${\mathbb{ℝ}}^3$, das im Unendlichen gegen Null geht, führt folgende Coulomb-Eichung zum gesuchten Potential:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r}{}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}{d}^{3}r{}^{\prime }$

Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen, der Grundgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, werden üblicherweise Potentialfunktionen eingeführt, nämlich das skalare Potential $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ und das Vektorpotential $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$. Die Potentialfunktionen sind Hilfsfunktionen zur Lösung der Maxwell-Gleichungen. Das Vektorpotential $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ wird durch die folgende Gleichung definiert:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$.

also mit $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$ gleich der Ladungsstromdichte $\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r})$

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \underset{V}{\int }\frac{\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r}{}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}{d}^{3}r{}^{\prime }$

$\overrightarrow{B}$ repräsentiert die magnetische Induktion am Ort $\overrightarrow{r}$ zum Zeitpunkt $t$. Die Rotation des Vektorpotentials $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ erzeugt die magnetische Induktion $\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)$.

Das skalare Potential $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi (\overrightarrow{r},t)-\frac{\partial \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}$.

$\overrightarrow{E}$ repräsentiert das elektrische Feld am Ort $\overrightarrow{r}$ zum Zeitpunkt $t$. Der Gradient des skalaren Potentials $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ und die partielle Ableitung des Vektorpotentials $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ nach der Zeit erzeugen das elektrische Feld $\overrightarrow{E}$.

Das Vektorpotential $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ wird durch die vorstehende Definition und die Maxwell-Gleichungen nicht eindeutig festgelegt. Die Maxwell-Gleichungen lassen eine Menge von Lösungen für das Vektorpotential $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ und das skalare Potential $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ zu. Sofern eine bestimmte Lösung für das Vektorpotential gefunden wurde, können daraus durch Eichtransformation weitere Lösungen erzeugt werden. Die Eichtransformationen haben keine Auswirkung auf die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder; sie haben keinerlei physikalische Auswirkung. Die zusätzlichen unphysikalischen Freiheitsgrade können durch Eichung des Vektorpotentials festgelegt werden. Zu den bekannten Eichungen in der Elektrodynamik zählen die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung.

Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotential sondern auch das skalare Potential fest. Die Lösung für das skalare Potential $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem Coulombpotential, welches das Potential einer elektrostatischen Ladungsverteilung beschreibt. Daher rührt der Name Coulomb-Eichung.