Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt (nach David Bohm und Yakir Aharonov) ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Magnetfeld $ {\vec {B}} $ die Interferenz von Elektronenstrahlen beeinflusst, obwohl diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt, und nicht durch das Magnetfeld selbst.

Der Aharonov-Bohm-Effekt wurde vom Magazin New Scientist als eines der Sieben Wunder in der Quantenwelt ausgewählt. ^[1]

Aharonov und Bohm veröffentlichten ihre Arbeit 1959. Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday konnten den Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen ^[2]

Theorie

In der Quantenmechanik beschreibt man (bei Benutzung von cgs-Einheiten) ^[3] das Verhalten eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch folgenden Hamilton-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H = \frac{1}{2 m}\left(\vec p-\frac qc\vec A(\vec r,t)\right)^2 + q \Phi(\vec r,t).

Die Variablen sind hierbei Ladung des Teilchens q, kanonischer Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p=\frac \hbar i\vec\nabla (und der kinetische Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \Pi = \vec p - \tfrac qc\vec A(\vec r,t) ), Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A , Skalarpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi , Zeit t, Ort $ {\vec {r}} $ und Masse des Teilchens m.

Klassisch dagegen erfolgt die Beeinflussung durch die sog. Lorentzkraft des Magnetfeldes, nach der Bewegungsgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\vec a=q \cdot (\vec v\times \vec B/c +\vec E)

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Teilchens sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \times das Vektorprodukt bedeutet. Klassisch ist also ein Effekt nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B selbst von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E , das hier unwesentlich ist, ebenso wie das elektrische Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi ).

Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A und Magnetfeld $ {\vec {B}} $ hängen durch den mathematischen Begriff der Rotation zusammen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B} = \mathrm{rot}\,\vec{A} := \vec{\nabla}\times\vec{A}\quad\quad\,\,\,\,\, (*)

Das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla f einer beliebigen skalaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f bestimmt, da die Rotation eines Gradientenfeldes für zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet (siehe Eichtransformation). Das Symbol (*) soll die obige Gleichung für spätere Zwecke nummerieren.

Experiment

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B herrscht ^[4]. Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation $ \mathrm {rot} \,{\vec {A}} $ und damit das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A nirgends Null.

Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster^[5], das vom Vektorpotential beeinflusst wird, da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten. Mathematisch rührt dies daher, dass die Rotation des Vektorpotentials – also das Magnetfeld – zwar gleich Null ist, aber wegen des nicht einfach zusammenhängenden Raumes (der Zylinderinnenraum ist das Loch im Raum) in der Berechnung auftretende Pfadintegrale über geschlossene Kurven nicht verschwinden, und somit ein Nettoeffekt übrig bleibt. Experimentell wurde dieser Effekt Anfang der 1960er Jahre u. a. von Möllenstedt und Robert G. Chambers^[6] nachgewiesen.

Interpretation

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_B entscheidend. Dieser kann durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden, wobei sich der Integrationsweg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma außerhalb des Bereiches mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B\ne 0 befinden darf. Es gilt jedenfalls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_B(F)=\oint_\Gamma \vec A\cdot \mathrm{d}\vec r

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma geschlossen sein muss, was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird. Damit handelt es sich um eine eichinvariante Größe, d. h. diese ist nicht von der oben erwähnten Funktion F abhängig. Die geschlossene Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma ist der Rand der Fläche F: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma=\partial F .

Nach dem Satz von Stokes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \oint_\Gamma \vec A\cdot \mathrm{d}\vec r =\iint_F\mathrm{rot}\,\vec A\cdot \vec n \,\,\, \mathrm{d}^2a

ist dieses Linienintegral über die geschlossene Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma wegen Gleichung (*) identisch mit dem Fluss der magnetischen Feldstärke durch die eingeschlossene Fläche F (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec n ist der Normalenvektor auf der Fläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d^2a das zweidimensionale Flächenelement). Die Eichfreiheit hängt damit zusammen, dass in eine geschlossene Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma verschiedene Flächen F eingespannt werden können, die alle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma berandet werden.

Wichtig ist, dass die Integrationsfläche nicht einfach zusammenhängend ist, da der Zylinderinnenraum nicht zum Ortsraum der Teilchen gehört. Denn sonst wären obige Integrale Null, weil die Rotation des Vektorfeldes nach Voraussetzung verschwindet (kein Magnetfeld!).

Man kann den Effekt auch so interpretieren, dass durch den Magnetfluss die Geometrie zu einer nichtkommutativen Geometrie verändert wird. Die geschlossene Kurve $ \Gamma $ entspricht dabei der Burgers-Schleife in der Theorie der Versetzungen und das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B der Versetzungsdichte.

Literatur

• Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I), Springer 2004, ISBN 3-540-43106-3 (Kap. 7.5)
• Yakir Aharonov, David Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: The Physical Review. 115, Nr. 3, 1959, S. 485–491.
• Yakir Aharonov, David Bohm: Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: The Physical Review. 123, Nr. 4, 1961, S. 1511–1524.
• G. Möllenstedt, W. Bayh: Messung der kontinuierlichen Phasenschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreien Raum durch das magnetische Vektorpotential einer Luftspule. In: Die Naturwissenschaften. 49, 1962, S. 81.
• Yoseph Imry, Richard A. Webb: Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect. In: Scientific American. 260, Nr. 4, 1989, S. 56.
• M. Peshkin, A. Tonomura The Aharonov-Bohm effect, Springer Verlag 1989

Einzelnachweise