Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung beschreibt in der Quantenmechanik die Eigenschaften und das Verhalten von Fermionen (Spin-1/2-Teilchen, zum Beispiel Elektronen) und berücksichtigt dabei die spezielle Relativitätstheorie. Sie wurde 1928 von Paul Dirac entwickelt^[1] und besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Sie ist invariant unter Lorentz-Transformationen. Dazu muss gelten, dass sie eine Differentialgleichung gleicher Ordnung in Raum und Zeit ist.

• Ihre Lösungen für freie Teilchen erfüllen die relativistische Energie-Impuls-Beziehung: $E=\sqrt{m^2{c}^4+p^2{c}^2}$

• Im Grenzfall $\frac{v}{c}\to 0$ folgt aus der Dirac-Gleichung die Pauli-Gleichung.

• Aus der Dirac-Gleichung ergibt sich die Existenz von Antiteilchen mit derselben Masse und demselben Spin, aber mit entgegengesetzter Ladung. 1932 wurde das Antiteilchen des Elektrons, das Positron, durch Carl David Anderson erstmals nachgewiesen^[2]

• Die Dirac-Gleichung beschreibt die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums.

• Die Dirac-Gleichung erklärt, warum sich der Spin des Elektrons wie ein kleiner Stabmagnet auswirkt, z. B. wenn sich beim Stern-Gerlach-Versuch ein Strahl von Silberatomen im inhomogenen Magnetfeld in zwei Teilstrahlen aufspaltet - je nachdem, ob der Spin in Richtung oder Gegenrichtung des Magnetfeldes steht. Dabei ergibt sich die Größe des magnetischen Momentes des Elektrons doppelt so groß wie das magnetische Moment einer mit demselben Drehimpuls kreisenden Punktladung (s. Anomales magnetisches Moment des Elektrons), in Übereinstimmung mit den spektroskopischen Untersuchungen mittels des anomalen Zeeman-Effekts.

Der in der Diracgleichung vorkommende Differentialoperator spielt auch in der Mathematik (Differentialgeometrie) eine große Rolle (Dirac-Operator).

Dirac-Gleichung eines ungeladenen Teilchens

Die Dirac-Gleichung ist ein System von partiellen Differentialgleichungen für die Komponentenfunktionen $\psi (x),$ deren Zeit- und Ortsabhängigkeit in der Quantenmechanik den Zustand des Teilchens beschreiben. Die Zeit- und Ortskoordinaten $(t,x,y,z)$ zählen wir durch oben stehende Zahlen ab und bezeichnen sie als $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ und zusammenfassend kurz als $x$.

In Maßeinheiten mit $c=1=\hslash$ lautet die Dirac-Gleichung für ein ungeladenes Teilchen der Masse $m$

$(\mathrm{i}\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}-m)\psi (x)=0.$

Hierbei erzeugen die Gamma-Matrizen ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2$ und ${\gamma }^3$ eine sog. Clifford- oder Dirac-Algebra. Das heißt, sie genügen den Gleichungen

${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu },\mu ,\nu \in \{0,1,2,3\},$

mit

${\eta }^{00}=1,{\eta }^{11}={\eta }^{22}={\eta }^{33}=-1,{\eta }^{\mu \nu }=0\text{falls}\mu \ne \nu .$

Der eingeklammerte Ausdruck ist ein Dirac-Operator. Mit der Dirac-Algebra zeigt man, dass bei Lorentztransformationen Lösungen der Dirac-Gleichungen in andere Lösungen übergehen, wenn man die Komponentenfunktionen wie die Komponentenfunktionen eines Spinors transformiert.

Wird der Dirac-Operator $\mathrm{i}\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}+m$ auf beide Seiten der Dirac-Gleichung angewendet, erhält man, dass alle vier Komponentenfunktionen $\psi$ auch der Klein-Gordon-Gleichung genügen, also

$(\sum _{\mu \nu }{\eta }^{\mu \nu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}+m^2)\psi (x)=0$

gilt. Diese Gleichung entspricht der Energie-Impuls-Beziehung $E^2-{\overrightarrow{p}}^2=m^2$ eines relativistischen Teilchens der Masse $m.$

Da die Dirac-Gleichung eigentlich ein Differentialgleichungssystem erster Ableitungsordnung ist, aus dem die Klein-Gordon-Gleichung mit ihren zweifachen Ableitungen folgt, wird sie auch als Wurzel der Klein-Gordon-Gleichung angesehen.

Mathematisch zeigt sich, dass jede irreduzible Darstellung der Dirac-Algebra aus $4\times 4$-Matrizen besteht. Es handelt sich also bei $\psi$ um vier Komponentenfunktionen, deren Ableitungen in der Diracgleichung mit den $\gamma$-Matrizen multipliziert werden.

In einer geeigneten Basis haben die Matrizen die folgende Form. Verschwindende Matrixelemente mit Wert null sind dabei nicht angeschrieben

$\begin{array}{cc}{\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right),& {\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}& & & 1\\ & & 1& \\ & -1& & \\ -1& & & \end{array}\right),\\ & \\ {\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}& & & -\mathrm{i}\\ & & \mathrm{i}& \\ & \mathrm{i}& & \\ -\mathrm{i}& & & \end{array}\right),& {\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}& & 1& \\ & & & -1\\ -1& & & \\ & 1& & \end{array}\right).\end{array}$

Diese Darstellung der $\gamma$-Matrizen heißt Standard- oder Dirac-Darstellung. In ihr lassen sich die Eigenschaften langsam bewegter Elektronen einfach bestimmen. In der dazu mathematisch und physikalisch äquivalenten Weyl-Darstellung ist das Spinor-Transformationsverhalten bei Lorentztransformationen einfach, in der ebenfalls äquivalenten Majorana-Darstellung ist die Dirac-Gleichung ein reelles Gleichungssystem. Andere Darstellungen erhält man durch Äquivalenz-Transformationen, d.h., dass die oben erwähnten Vertauschungsrelationen erhalten bleiben.

Die vier Gamma-Matrizen lassen sich in symbolischer Schreibweise zu dem kontravarianten Lorentz-Vektor

${\gamma }^{\mu }=\left(\begin{array}{c}{\gamma }^0\\ {\gamma }^1\\ {\gamma }^2\\ {\gamma }^3\end{array}\right)$

zusammenfassen.

Impulsraum und Slash-Notation

Neben der eben beschriebenen Form im Ortsraum, kann die Dirac-Gleichung auch im Impulsraum aufgeschrieben werden. Sie lautet dann

$({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }-m)\psi (p)=0.$

wobei die einsteinsche Summenkonvention benutzt wurde. Diese besagt, dass über gleiche Indizes summiert wird. In der Feynman-Slash-Notation ergibt sich im Ortsraum:

$(i\partial /-m)\psi (x)=0,$

und im Impulsraum gilt:

$(p/-m)\psi (p)=0.$

Eichinvarianz und elektromagnetische Wechselwirkung

Wenn $\psi (x)$ die Dirac-Gleichung löst, dann löst auch der mit einer Phase multiplizierte Spinor ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}q\alpha }\psi$ die Dirac-Gleichung. Da alle physikalisch messbaren Größen mit jedem Faktor $\psi$ auch einen konjugiert komplexen Faktor ${\psi }^{\ast }$ enthalten, sind sie und die Dirac-Gleichung invariant unter dieser Phasentransformation des Dirac-Spinors $\psi$.

Wird darüber hinaus die Invarianz unter allen Phasentransformationen gefordert, die stetig differenzierbar von Zeit und Ort abhängen,

${\psi }^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}q\alpha (x)}\psi (x),$

müssen die partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine sogenannte kovariante Ableitung

$D_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}+\mathrm{i}q{A}_{\mu }$

ersetzt werden. Die hier auftretenden vier Funktionen $A_{\mu }$ heißen in der Physik Viererpotential oder Eichfeld. Mathematisch handelt es sich um eine Konnexion oder einen Zusammenhang. Definiert man das transformierte Eichfeld durch

$A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }-\frac{\partial \alpha (x)}{\partial x^{\mu }},$

dann löst $\psi$ die Dirac-Gleichung mit dem Eichfeld $A_{\mu }$

$(\mathrm{i}\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}-q\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }-m)\psi (x)=0$

oder in Slash-Notation

$(\mathrm{i}\partial /-qA/-m)\psi (x)=0$

genau dann, wenn der transformierte Dirac-Spinor die Dirac-Gleichung mit dem transformierten Eichfeld erfüllt. Transformationen, deren Parameter so wie hier die Phase $\alpha (x)$ beliebig von Zeit und Ort abhängen dürfen, heißen in der Physik lokale Eichtransformationen.

Bei dem Eichfeld handelt es sich um das skalare Potential Φ und das Vektorpotential $\overrightarrow{A}$ der Elektrodynamik,

$(A_0,A_1,A_2,A_3)=(\varphi ,-A_x,-A_y,-A_z).$

Wenn man sie wie angegeben transformiert, bleiben die elektrische und magnetische Feldstärke

$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi -\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\text{sowie}\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}$

und alle anderen messbaren Größen unverändert.

Die Dirac-Gleichung mit kovarianter Ableitung und die Elektrodynamik sind invariant unter beliebigen zeit- und ortsabhängigen Transformationen der Phase des Dirac-Spinors. Der Parameter $q$ in der kovarianten Ableitung bestimmt die Stärke der Ankopplung der elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Er entspricht dabei genau der elektrische Ladung des Teilchens.

Die Ersetzung der partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine kovariante Ableitung koppelt die elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Man spricht dabei von sog. minimaler Kopplung im Gegensatz zu einem Kopplungsterm wie „magnetische Feldstärke mal Dirac-Spinor“, der auch eichinvariant wäre, aber nicht zur Ergänzung einer Ableitung zu einer kovarianten Ableitung erforderlich ist.

Schrödingerform

Nach Multiplikation mit ${\gamma }^0$ kann man wegen $({\gamma }^0{)}^2=1$ in der Dirac-Gleichung nach der Zeitableitung auflösen und die Dirac-Gleichung in die Form einer Schrödinger-Gleichung bringen,

$\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial t}\psi =H_{\text{Dirac}}\psi$

$H_{\text{Dirac}}=\sum _{k=1}^3{\alpha }^k(-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial x^k}-q{A}^k)+{\gamma }^{0}m+q\varphi .$

Die hier auftretenden 4×4-Matrizen ${\alpha }^k={\gamma }^0{\gamma }^k$ lassen sich kompakt mit Hilfe der Pauli-Matrizen mit Blöcken von 2×2-Matrizen schreiben:

${\alpha }^k=\left(\begin{array}{cc}& {\sigma }^k\\ {\sigma }^k& \end{array}\right),k\in \{1,2,3\},{\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}{1}_{2\times 2}& \\ & -1_{2\times 2}\end{array}\right).$

Der Differentialoperator auf der rechten Seite der Schrödinger-Gleichung ist der zur Dirac-Gleichung gehörige Hamiltonoperator $H_{\text{Dirac}}.$ Die möglichen Energien des Teilchens sind Eigenwerte dieses Hamiltonoperators.

Dabei zeigt die mathematische Untersuchung im Fall eines ungeladenen Teilchens ($q=0$), dass das Spektrum positive und negative Werte enthält, ebenso wie man aus der Energie-Impuls-Relation der Klein-Gordon-Gleichung $E^2-{\overrightarrow{p}}^2=m^2$ (in natürlichen Einheiten mit $c=1$), die positiven und negativen Energiewerte $E=\pm \sqrt{m^2+{\overrightarrow{p}}^2}$ erhält.

Da Teilchen mit negativer Energie nie beobachtet wurden und da eine Welt mit Teilchen, deren Energien nach oben und nach unten unbeschränkt ist, instabil wäre, postulierte Dirac, dass das Vakuum ein Dirac-See sei, in dem jeder denkbare Zustand negativer Energie schon besetzt sei, so dass weitere Elektronen nur positive Energien annehmen könnten. Füge man diesem Dirac-See genügend Energie, mindestens die Ruheenergie zweier Elektronen, hinzu, so könne man einem See-Elektron positive Energie verleihen und das entstehende Loch verhielte sich wie ein Zustand mit der restlichen, ebenfalls positiven Energie und der fehlenden, entgegengesetzten Ladung. So sagte Dirac die Existenz von Antiteilchen und die Paarerzeugung von Elektron-Positron-Paaren voraus, die ein Jahr später beobachtet wurden.

Die Vorstellung eines Dirac-Sees gilt allerdings heute als unhaltbar ^[3] und ist durch die Feynman-Stückelberg-Interpretation ersetzt. Sie deutet die Dirac-Gleichung als Gleichung für ein Quantenfeld $\psi (x)$, das ist mathematisch ein Operator, der in den quantenmechanischen Zuständen Teilchen oder Antiteilchen erzeugt oder vernichtet. Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit dem Proton führt in der Quantenelektrodynamik zu einer kleinen Verschiebung der Energien verschiedener Zustände des Wasserstoffatoms, die ohne diese Erzeugungs-und Vernichtungsvorgänge gleiche Energie hätten. Die berechnete Größe dieser Lamb-Verschiebung stimmt innerhalb der Messgenauigkeit von sechs Stellen mit dem gemessenen Wert überein.

Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit einem Magnetfeld ändert auch den Dirac-Wert $g=2$ des gyromagnetischen Faktors. Sie bewirkt ein sogenanntes anomales magnetisches Moment, von dem man auch als g-2-Anomalie spricht. Der in der Quantenelektrodynamik berechnete Wert von $g$ stimmt mit dem gemessenen Wert auf 10 Dezimalstellen überein.

Herleitung des gyromagnetischen Faktors

Wir gehen von der Schrödingerform der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld aus und spalten den Spinor in zwei Zweierspinoren auf. Dabei verwenden wir die Summationskonvention und schreiben die zu einem Indexpaar gehörige Summe nicht aus,

$\mathrm{i}{\partial }_t\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }^k{\pi }^k{\phi }_2\\ {\sigma }^k{\pi }^k{\phi }_1\end{array}\right)+q\varphi \left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)+m\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ -{\phi }_2\end{array}\right)$ mit ${\pi }^k=-\mathrm{i}{\partial }_{x^k}-q{A}^k.$

Wir unterstellen, dass sich das Teilchen nur langsam bewegt, so dass seine Energie nur wenig größer als die Ruheenergie ist. Das heißt, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruheenergie herrührt,

$\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}mt}\left(\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right),$

die Zeitableitungen der Zweierspinoren $\phi$ und $\chi$ klein sind,

$\mathrm{i}{\partial }_t\left(\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }^k{\pi }^k\chi \\ {\sigma }^k{\pi }^k\phi \end{array}\right)+q\varphi \left(\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -2m\chi \end{array}\right).$

In der zweiten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie $m.$ Daher ist $\chi$ klein gegen $\phi$ und ungefähr gleich

$\chi \approx \frac{{\sigma }^k{\pi }^k\phi }{2m}.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm{i}{\partial }_t\phi =\frac{({\sigma }^k{\pi }^k{)}^2}{2m}\phi +q\varphi \phi .$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$({\sigma }^k{\pi }^k{)}^2={\sigma }^i{\sigma }^j{\pi }^i{\pi }^j=({\delta }^{ij}+\mathrm{i}{\epsilon }^{ijk}{\sigma }^k){\pi }^i{\pi }^j={\overrightarrow{\pi }}^2-q{\sigma }^k{B}^k.$

Der Spinor $\phi$ genügt daher der Pauli-Gleichung mit dem nicht-klassischen Wert $g=2,$

$\mathrm{i}{\partial }_t\phi =\frac{{\overrightarrow{\pi }}^2}{2m}\phi +q\varphi \phi -g\frac{q}{2m}{S}^k{B}^k\phi .$

Dabei sind $S^k=\frac{{\sigma }^k}{2}$ die Komponenten des Spin-Operators.

Im homogenen Magnetfeld gilt $\varphi =0,\overrightarrow{A}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{x}$, und mit $p^k=-\mathrm{i}{\partial }_{x^k}$

$(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2={\overrightarrow{p}}^2-q\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{B}={\overrightarrow{p}}^2-q\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{B},$

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in $\overrightarrow{B}$ sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

$\mathrm{i}{\partial }_t\phi =\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}\phi -\frac{q}{2m}(\overrightarrow{L}+g\overrightarrow{S})\cdot \overrightarrow{B}\phi .$

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls $\overrightarrow{L}$ und trägt nicht nur $-\frac{q\hslash }{2m}\frac{\overrightarrow{L}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{B}$ zur Energie bei. Der Faktor $\frac{q\hslash }{2m}$ ist das Magneton des Teilchens. In Drehimpulseigenzuständen ist $\frac{\overrightarrow{L}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{B}$ ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke $|\overrightarrow{B}|$. Dagegen ergibt $\frac{\overrightarrow{S}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{B}$ ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird.^[4]

Realisierungen in Hochenergie- und Festkörperphysik

Die Dirac-Gleichung bildet (nach Quantisierung des zugehörigen klassischen Feldes ^[5]) die Grundlage der Relativistischen Quantenfeldtheorien der Hochenergiephysik. Erst seit wenigen Jahren ^[6] weiß man, dass auch bei nichtrelativistischen Energien Realisierungen existieren, nämlich bei Graphenen, das sind Schichtsysteme, die mit Graphit zusammenhängen. Und zwar braucht man hier nur den sog. chiralen Limes m=0 zu betrachten, und es ist zusätzlich die Lichtgeschwindigkeit c durch die Grenzgeschwindigkeit v_F des Elektronensystems, die sog. Fermi-Geschwindigkeit zu ersetzen. Als Konsequenz sind bei diesem System Energie E und Impuls p zueinander proportional, E ~ p, während sonst bei nicht-relativistischen Elektronen E ~ p² ist. Darüber hinaus ergeben sich zahlreiche weitere Besonderheiten.^[6]

Siehe auch

• Dirac-Matrizen
• Landé-Faktor
• Pauli-Gleichung
• Zitterbewegung

Einzelnachweise und Fußnoten

Literatur

Artikel

• P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 117, Nr. 778, 1. Januar 1928, S. 610–624, doi:10.1098/rspa.1928.0023.
• P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. Part II. In: Royal Society of London Proceedings Series A. 118, 1. Februar 1928, S. 351–361.
• P. A. M. Dirac: A Theory of Electrons and Protons. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 126, Nr. 801, 1930, S. 360-–365 (http://www.jstor.org/stable/95359, abgerufen am 25. Februar 2011).
• Carl D. Anderson: The Positive Electron. In: Physical Review. 43, Nr. 6, 15. Februar 1933, S. 491–494, doi:10.1103/PhysRev.43.491.

Bücher

• James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik - Mannheim : Bibliographisches Institut, 1990. (BI Hochschultaschenbücher ; 98/98a) - ISBN 3-411-00098-8 -- engl. Originalausgabe: Relativistic Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York 1964, ISBN 0-07-005493-2.
• James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenfeldtheorie. [dt. Übers.: J. Benecke, D. Maison, E. Riedel]. - [Unveränd. Nachdr.] - Mannheim ; Zürich - BI-Wissenschaftsverlag, 1993. (BI-Hochschultaschenbuch ; 101 - ISBN 3-411-00101-1 -- engl. Originalausgabe: Relativistic Quantum Fields. McGraw-Hill, New York 1965, ISBN 0-07-005494-0.
• R.P. Feynman: Quantenelektrodynamik, 4. Auflage, ISBN 3-486-24337-3.
• Walter Greiner: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. Band 6, ISBN 3-8171-1022-7.
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). ISBN 978-3-540-25904-6.