Zeeman-Effekt

Als Zeeman-Effekt bezeichnet man in der Atomphysik das mehrfache Aufspalten einer Spektrallinie, wenn an die emittierende Materie ein externes Magnetfeld angelegt wird. Das Phänomen wurde erstmals 1896 von Pieter Zeeman beschrieben^[1] und 1899 von Hendrik Antoon Lorentz theoretisch erklärt; 1902 erhielten beide dafür den Nobelpreis für Physik.^[2]

Aufspaltungen der Wasserstoffniveaus unter Einfluss eines Magnetfeldes

Die Aufspaltungen sind so klein, dass sie nur in hochauflösenden Spektralapparaten zu beobachten sind. Sie entstehen durch die Wirkung des Magnetfeldes auf das magnetische Moment des Atoms, das vom Bahndrehimpuls und vom Spin des Elektrons erzeugt wird. Den Effekt gibt es auch für den Kernspin, hier mit noch etwa 1000-fach geringeren Aufspaltungen.

Das Analogon mit einem elektrischen Feld bezeichnet man als Stark-Effekt.

Entdeckung und Bedeutung

Um mögliche Zusammenhänge zwischen verschiedenen Kräften der Natur zu entdecken, wurde im 19. Jahrhundert u.a. lange nach einem Einfluss von Magnetfeldern auf das Licht gesucht (siehe z. B. Faraday-Effekt). Aus der Vorstellung der klassischen Physik, dass das Licht als eine elektromagnetische Welle durch Schwingungen der (ganzen) Atome entsteht, leitete Hendrik Antoon Lorentz 1892 theoretisch ab, dass die Spektrallinien dreifach aufgespalten werden, wenn sich die strahlenden Atome in einem Magnetfeld befinden. Im Einzelnen sollten dabei die mittlere der drei Linien die ungestörte Frequenz zeigen und die beiden anderen Linien in ihrer Frequenz gerade um die Frequenz der durch das Magnetfeld verursachten Larmorpräzession nach oben bzw. unten verschoben sein. Bei Beobachtung parallel zum Magnetfeld sollten ferner die beiden verschobenen Linien entgegengesetzt zirkular polarisiert sein und die mittlere Linie gar nicht erscheinen. 1896 konnte Zeeman all dies erstmals beobachten, allerdings mit einer vieltausendfach größeren Aufspaltung als erwartet. Nachfolgende genaue Messungen der Aufspaltung zeigten, dass sie doch der Lorentzschen Formel entspricht, wenn man sie auf den Fall anwendet, dass bei der Lichtaussendung nicht das ganze Atom schwingt, sondern nur das viel leichtere Elektron. Elektronen wurden damals als Bestandteil der Atome vermutet. Durch diesen als normal bezeichneten Zeeman-Effekt gewann die damalige Elektronen-Hypothese in der Physik erheblich an Überzeugungskraft.

Dem normalen Zeeman-Effekt stand aber eine größere Anzahl von Beobachtungen gegenüber, in denen aus der Aufspaltung mehr als drei Linien hervorgingen. Dieser sog. anomale Zeeman-Effekt stellte für die klassische Physik und auch noch für das Bohrsche Atommodell ein unerklärbares Phänomen dar und stieß gerade deshalb weitergehende theoretische Untersuchungen an. Während die ungeradzahligen Aufspaltungen ab 1916 im Bohr-Sommerfeldschen Atommodell durch die Richtungsquantelung des Bahndrehimpulses erklärt werden konnten, führten die geradzahligen Aufspaltungen 1925 zur Entdeckung des Elektronenspins. Die von dem normalen Zeeman-Effekt abweichende Größe der Aufspaltungen konnte mit dem Landé-Faktor parametrisiert werden, der ab 1925 in der Quantenmechanik eine Begründung fand. In Abweichung vom ursprünglichen Gebrauch wird heute überwiegend als normaler Zeeman-Effekt die Aufspaltung ohne Mitwirkung des Spins bezeichnet, als anomaler Zeeman-Efekt die mit Beteiligung des Spins. (Zur Vertiefung siehe ^[3].)

Normaler Zeeman-Effekt

Klassische Erklärung

Ein Elektron auf einer Kreisbahn bildet einen Kreisstrom und hat daher außer einem mechanischen Drehimpuls $ {\vec {\ell }} $ auch ein magnetisches Dipolmoment $ {\vec {\mu }} $. Beide Vektoren sind parallel, stehen senkrecht auf der Bahnebene und haben ein festes Größenverhältnis $ {\vec {\mu }}{\mathord {=}}\gamma {\vec {\ell }} $, denn die gyromagnetische Konstante $ \gamma {\mathord {=}}{\tfrac {e}{2m_{e}}} $ hängt nur von der elektrischen Ladung $ e $ und der Masse $ m_{e} $ des Elektrons ab (für nähere Einzelheiten siehe die angegebenen Stichworte).

In einem Magnetfeld $ {\vec {B}} $ hat der Dipol eine von seinem Einstellwinkel zur Feldrichtung abhängige potentielle Energie

$ E_{mag}=-({\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}})\equiv -\mu _{z}\;B\equiv -\gamma \;\ell _{z}\;B\ , $

worin $ \mu _{z} $ und $ \ell _{z} $ die zur Feldrichtung parallele Komponente des magnetischen Moments bzw. Bahndrehimpulses sind und $ B $ der Betrag der Feldstärke. Diese Energie kann man z. B. an einem kleinen Spielzeugmagneten im Feld eines zweiten schon mit der Hand bemerken. Das dazugehörige Drehmoment $ {\vec {M}} $, das einen ruhenden Stabmagneten in die Richtung der Feldlinien drehen würde (wie z. B. die Kompassnadel nach Norden), bewirkt beim Vorhandensein eines Drehimpulses die Larmorpräzession, bei der der Vektor $ {\vec {\ell }} $ ohne Änderung des Einstellwinkels, also mit konstanter Komponente $ \ell _{z} $, um die Feldrichtung herumgeschwenkt wird. Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist

$ \omega _{L}=\gamma \cdot B={\frac {e}{2\,m_{e}}}\cdot B\ . $

Die vorher rein kreisförmige Bewegung des Elektrons wird dadurch zu einer Rosettenbahn, die nach harmonischer Zerlegung auch Komponenten mit den Seitenbandfrequenzen $ \omega =\omega _{e}\pm \omega _{L} $ enthält. Nach der klassischen Physik erhält jede vom Elektron erzeugte Welle die gleichen Seitenbänder. Ihre weiteren Eigenschaften sind besonders einfach, wenn die Rosettenbahn aus der Richtung des Magnetfelds betrachtet wird: Dann kommt die Mittelfrequenz $ \omega _{e} $ überhaupt nicht mehr vor und die beiden Seitenbänder zeigen entgegengesetzte Zirkularpolarisation. Dies war die Vorhersage von H.A. Lorentz, die den normalen Zeeman-Effekt präzise beschreibt, wenn der gyromagnetische Faktor $ \gamma $ die richtige Größe erhält, indem im Nenner statt der Atommasse die viel kleinere Elektronenmasse $ m_{e} $ eingesetzt wird. Diese Erklärung gilt gleichermaßen für ein einzelnes Elektron wie für ein System mehrerer Elektronen wie z. B. die ganze Elektronenhülle des Atoms. $ {\vec {\ell }} $ und $ {\vec {\mu }} $ bezeichnen dann den gesamten Drehimpuls bzw. das gesamte magnetische Moment der Hülle (oft mit großen Buchstaben geschrieben), wobei insbesondere der gyromagnetische Faktor $ \gamma $ der gleiche bleibt, unabhängig von den sonstigen Einzelheiten der Bewegung der Elektronen durcheinander.

Quantenmechanische Erklärung

Nach der Quantenmechanik strahlt das Elektron nicht, während es einen stationären Zustand innehat, sondern beim Übergang zwischen zwei Zuständen, beide mit einer bestimmten Energie, wobei die Frequenz der abgestrahlten Welle sich ausschließlich aus der Differenz $ \Delta E $ beider Energien ergibt (Quantenbedingung mit der Kreisfrequenz $ \omega $ und dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $ \hbar $):

$ \Delta \omega ={\frac {\Delta E}{\hbar }} $

Die oben benutzten klassischen Formeln für die Größe des magnetischen Dipolmoments und seine Energie im Magnetfeld gelten unverändert weiter, sofern die mit dem Elektronenspin verbundenen magnetischen Effekte außer Betracht bleiben können. Für ein einzelnes Elektron ist diese Bedingung nie erfüllt, sondern nur in Systemen aus einer geraden Anzahl von Elektronen in solchen Zuständen, wo sich die Elektronenspins zum Gesamtspin $ S{\mathord {=}}0 $ addieren. Statt des Bahndrehimpulses $ {\vec {\ell }} $ des einzelnen Elektrons ist dann die Summe $ {\vec {L}} $ aller Bahndrehimpulse zu nehmen, und für $ \ell _{z} $ entsprechend die Komponente $ L_{z} $ längs des Feldes. In einem stationären Zustand kann $ L_{z} $ nur diskrete Werte $ L_{z}{\mathord {=}}m_{l}\hbar $ haben. Die magnetische Quantenzahl $ m_{l} $ durchläuft dabei alle ganzzahligen Werte zwischen $ -L $ und $ +L $, wobei $ L $ die (immer ganzzahlige) Bahndrehimpulsquantenzahl des betreffenden Zustands ist. (Näheres siehe unter Richtungsquantelung.)

Die Energie eines zuvor entarteten Zustands spaltet sich dadurch in $ (2L{\mathord {+}}1) $ energetisch äquidistante Zeeman-Niveaus mit Energien

$ E_{mag}=-\hbar \,\gamma \,m_{l}\,B\ . $

auf. Diese haben für $ \Delta m_{l}=\pm 1 $ jeweils den Abstand

$ \Delta E=\hbar \gamma B\equiv \hbar \omega _{L}\ . $

Die Größe $ \mu _{B}:=\hbar \gamma \equiv {\tfrac {e\hbar }{2\,m_{e}}} $ wird als Bohrsches Magneton bezeichnet. Zustände mit $ L{\mathord {=}}0 $ spalten überhaupt nicht auf (sog. Singulett), Zustände mit $ L{\mathord {=}}1 $ dreifach, usf.

Den normalen Zeeman-Effekt erhält man z. B. bei einem Übergang von einem Zustand mit $ L{\mathord {=}}1 $ in einen mit $ L{\mathord {=}}0 $. Die magnetische Aufspaltung bewirkt über die Quantenbedingung gerade die an den Spektrallinien beobachteten Frequenzverschiebungen um $ \pm \omega _{L} $ bzw. Null. Die Zirkularpolarisation (um die Feldrichtung) ergibt sich daraus, dass die z-Komponente des Drehimpulses des Elektrons sich um $ \pm 1\hbar $ ändert und das erzeugte Photon wegen der Drehimpulserhaltung den entgegengesetzten Drehimpuls haben muss.

Die gleichen Formeln gelten auch für alle höheren Bahndrehimpulse als $ L{\mathord {=}}1 $, wobei die Energieniveaus auch um Vielfache von $ \hbar \omega _{L} $ usw. aufspalten. Die entsprechende Aufspaltung der Spektrallinien um Vielfache von $ \pm \omega _{L} $ wird aber nicht beobachtet, weil Photonen mit höheren Drehimpulsen als $ 1\hbar $ von Atomen praktisch nicht erzeugt werden können und deshalb nur Übergänge mit $ \Delta m_{l}{\mathord {=}}\pm 1 $ vorkommen. Deshalb beobachtet man beim Zeeman-Effekt im Allgemeinen weniger Spektrallinien als die Anzahl der Zeeman-Niveaus, in die aufgespalten wird. Alle diese Fälle werden wegen dieser gemeinsamen Erklärung (der Aufspaltung nach verschiedenen $ m_{l} $) unter dem einzigen Begriff des normalen Zeeman-Effekts zusammengefasst.

Anomaler Zeeman-Effekt

Bei mäßiger Feldstärke

Beim anomalen Zeeman-Effekt, der viel häufiger ist als der normale Zeeman-Effekt, werden die Spektrallinien in mehr als drei Linien aufgespalten, oft in gerader Anzahl (Quartett, Sextett usw.). Zur Deutung muss der Spin herangezogen werden. Dieser nach der klassischen Physik nicht erklärbare Eigendrehimpuls $ {\vec {s}} $ des Elektrons ist mit $ {\tfrac {1}{2}}\hbar $ zwar nur halb so groß wie die Einheit $ \hbar $ des Bahndrehimpulses, trägt aber mit der gleichen Stärke der magnetischen Wirkung bei (1 Bohrsches Magneton). Beim anomalen Zeeman-Effekt treten also Bahn- und Spinmagnetismus auf. Für das mit dem Spin verbundene magnetische Moment schreibt man $ {\vec {\mu }}_{s}=g_{s}\,\gamma \,{\vec {s}} $ mit dem anomalen g-Faktor des Spins $ g_{s}{\mathord {=}}2 $.^[4] Im Fall von Russell-Saunders-Kopplung setzt sich der Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}} $ der Atomhülle aus der Summe aller Bahndrehimpulse ($ {\vec {L}} $ mit Quantenzahl $ L $) und der Summe aller Spindrehimpulse ($ {\vec {S}} $ mit Quantenzahl $ S $) des oder der Elektronen zusammen:

$ {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}} $

Das resultierende magnetische Moment ist dann nicht mehr vollständig durch die Quantenzahl $ J $ des Gesamtdrehimpulses bestimmt, sondern hängt weiter davon ab, wie groß die Bahn- und die Spindrehimpulsquantenzahlen $ L $ und $ S $ darin sind. Dies fließt in den g-Faktor $ g_{j} $ des Niveaus ein. Das Niveau wird im (schwachen) Magnetfeld in $ (2J{\mathord {+}}1) $ äquidistante Zeeman-Niveaus aufgespalten. Der anomale Zeeman-Effekt ist also eine Aufspaltung nach verschiedenen $ m_{j} $. Der normale Zeeman-Effekt ist der Spezialfall des anomalen Zeeman-Effekts, bei dem $ m_{l}=m_{j} $ gilt, weil der Spin wegen $ S{\mathord {=}}0 $ keinen Einfluss hat. Die Energieverschiebung des Zeeman-Niveaus mit $ m_{j} $ ist $ \Delta E=g_{J}\,m_{j}\,\hbar \,\gamma \,B $. Wenn $ g_{j} $ und damit die Niveauaufspaltung im Anfangs- und im Endzustand des Übergangs, der die betrachtete Spektrallinie hervorbringt, verschiedene Größe haben, kann dies die beobachtete Linienaufspaltung in mehr als drei Linien bewirken. Anschaulich ausgedrückt präzediert dabei der Gesamthüllendrehimpuls $ {\vec {J}} $ im Anfangszustand mit einer anderen Larmorfrequenz $ \omega _{L}=g_{J}\,\gamma \,B $ als im Endzustand.

Nach der Landé-Formel ist der g-Faktor $ g_{j} $ für einen Zustand mit der Gesamtdrehimpulsquantenzahl $ J $ einfach berechenbar, wenn auch die Quantenzahlen $ L $ und $ S $ für die Summe der Bahndrehimpulse und die Summe der Spins allein wohldefiniert sind. Das ist für Atome mit nur einem Elektron außerhalb abgeschlossener Schalen (z. B. H, Na und andere Alkalimetalle) immer gegeben durch dessen Quantenzahlen $ L{\mathord {=}}\ell $ und $ S{\mathord {=}}{\tfrac {1}{2}} $. Im Fall mehrerer Elektronen außerhalb geschlossener Schalen muss die sog. LS-Kopplung vorliegen, was für die leichteren Elemente meist gegeben ist. So war es mit Hilfe von Landés Formel möglich, die drei Quantenzahlen $ J,L,S $ für eine Vielzahl von Niveaus verschiedener Atome zu bestimmen, was bei der Entschlüsselung des Aufbaus der Atomhülle ein entscheidender Faktor war (siehe auch Termsymbol).

Bei hoher Feldstärke

Bei stärker werdendem Magnetfeld zeigen sich im anomalen Zeeman-Effekt Abweichungen von der Äquidistanz der Aufspaltung, und manche der einzelnen Linien nähern sich so aneinander an, dass sich schließlich das Bild des normalen Zeeman-Effekts mit nur dreifacher Aufspaltung ergibt. Dies wird als Paschen-Back-Effekt bezeichnet. Er wird dadurch erklärt, dass das angelegte Magnetfeld genügend stark ist, um die ursprünglich vorhandene Kopplung von $ {\vec {L}} $ und $ {\vec {S}} $ zu einem wohlbestimmten Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}} $ mit wohlbestimmter Quantenzahl $ J $ aufzubrechen, so dass die beteiligten Niveau Überlagerungen verschieden großer Gesamtdrehimpulse werden. Dazu muss das äußere Magnetfeld so stark sein, dass die Niveauaufspaltung weitaus größer wird als die ursprüngliche Energiedifferenz zum nächsten Niveau des Multipletts, das bei denselben Quantenzahlen $ L $ und $ S $ für Bahndrehimpuls und Spin einen anderen Gesamtdrehimpuls $ J $ hat. Unter diesen Bedingungen stellen sich die magnetischen Momente von Spin und Bahndrehimpuls unabhängig voneinander zum Magnetfeld ein und verursachen wegen ihrer gleichen Größe dann auch gleiche Niveauaufspaltungen. Die Energieaufspaltung beträgt:

$ \Delta E=\gamma \,\hbar \,B\left(g_{l}m_{l}+g_{s}m_{s}\right) $

Zeeman-Effekt bei Kernen

Der anomale Zeeman-Effekt wurde auch an Atomkernen beobachtet. Das ist insofern bemerkenswert, als die magnetischen Kernmomente ca. 10³-10⁵fach kleiner sind als bei der Atomhülle (siehe den Faktor Masse in der Formel oben), während die Frequenzen der typischen Gammastrahlung von Kernen mindestens 10⁴fach höher liegen als bei optischen Spektrallinien. Der Nachweis des Zeeman-Effekts, der somit eine mindestens ca. 10⁸fach bessere spektrale Auflösung verlangt, gelang mit Hilfe des Mößbauer-Effekts in den 1960er Jahren an den Kernen von ⁵⁷Fe, die dem extrem starken inneren Magnetfeld in magnetisiertem Eisen ausgesetzt waren.

Quadratischer Zeeman-Effekt

Ein Magnetfeld induziert auch in abgeschlossenen Schalen der Atomhülle ohne permanentes magnetisches Moment immer ein Moment:

$ {\vec {\mu }}_{\mathrm {ind} }=\alpha _{\mathrm {m} }{\vec {B}} $

mit der magnetischen Polarisierbarkeit $ \alpha _{\mathrm {m} } $.

Dieses wechselwirkt ebenfalls mit dem externen Magnetfeld und führt zu einer weiteren Energieaufspaltung:

$ \Delta E=\alpha _{\mathrm {m} }\cdot B^{2}. $

Dieser Effekt ist im Allgemeinen wesentlich kleiner als der lineare Zeeman-Effekt.

Anwendungen

Laborspektroskopie

Der Zeeman-Effekt hat zahlreiche Anwendungen in der Spektroskopie (Elektronenspinresonanz (ESR), Kernspinresonanz (NMR), Kernspinresonanzspektroskopie, Magnetresonanztomographie, Mößbauer-Spektroskopie u. a.). In der Atomabsorptionsspektrometrie wird der Zeeman-Effekt zur Untergrundkompensation verwendet. Historisch gesehen spielte der Zeeman-Effekt auch eine wichtige Rolle bei der Entdeckung des Elektrons – es fanden sich im Spektrum dieselben Ladung-zu-Masse-Verhältnisse wie in den Beobachtungen freier Elektronen durch Joseph John Thomson und andere, und Zeemans Beobachtungen fanden zuerst statt.

Der Zeemaneffekt wird beim Zeeman-Slower ausgenutzt (William D. Phillips, Harold Metcalf 1982), einem Spezialfall der Laserkühlung häufig im Vorfeld einer magneto-optischen Falle.

Astronomie

Verbreiterung einer Absorptionsline des Sonnenspektrums (senkrechter Strich) nahe einem Sonnenfleck (links). Rechts vergrößert dargestellt.

George Ellery Hale wies über den Zeeman-Effekt die Existenz starker Magnetfelder in Sonnenflecken nach. Das Bild zeigt links einen Sonnenfleck. Entlang der senkrechten Linie wurde er spektroskopisch aufgelöst. Oberhalb und unterhalb des Sonnenflecks erscheint die Fraunhoferlinie nahezu ungestört. Innerhalb des Sonnenflecks erscheint sie aufgeweitet.

Ein Magnetfeld B auf der Sonne von 0,1 Tesla verursacht eine Energieaufspaltung

$ \Delta E=\mu _{B}\cdot B=5\cdot 10^{-6} $ eV

mit dem Bohrschen Magneton $ \mu _{B} $. Sie ist nur in Spektrografen mit einer Auflösung besser als 10⁻⁴ zu beobachten.

Magnetogramme werden im Licht der aufgespaltenen magnetischen Linien aufgenommen. Die Sonne erscheint grau. Starke Abweichungen der Polarität des Magnetfelds werden schwarz bzw. weiß hervorgehoben und markieren aktive Zonen.

Magnetsinn bei Tieren

Eine Theorie über die Magnetrezeption von Tieren geht davon aus, dass ein Protein in der Netzhaut von Vögeln den Magnetsinn über den Zeeman-Effekt hervorruft.^[5]

Siehe auch

• Paschen-Back-Effekt

Literatur

Die Originalarbeiten sind:

• Pieter Zeeman: On the influence of Magnetism on the Nature of the Light emitted by a Substance. In: Philosophical Magazine. Bd. 43, 1897, S. 226 (holländisch in den Verhandlungen der Königlichen Niederländischen Akademie, Amsterdam 1896, Over den Invloed eener Magnetisatie op den Aard van het door een Stof uitgezonden Licht).
• Pieter Zeeman: Doublets and triplets in the spectrum produced by external magnetic forces. In: Philosophical Magazine. Bd. 44, 1897, S. 55 (holländisch in den Verhandlungen der Königlichen Niederländischen Akademie, Amsterdam, Over Doubletten en Tripletten in het Spectrum teweeggebracht door Uitwendige Magnetische Krachten I bis III, 1897).
• Pieter Zeeman: The Effect of Magnetisation on the Nature of Light Emitted by a Substance. In: Nature. Bd. 55, 11. Februar 1897, S. 347 (doi:10.1038/055347a0).

• E. P. Lewis: The Effects of a Magnetic Field on Radiation - Memoirs by Faraday, Kerr and Zeeman. Read Books, 2007, ISBN 1406765058 (Faksimile-Sammlung einiger Arbeiten von M. Faraday, J. Kerr und P. Zeeman, eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Weblinks

• Alexander Fromm, Martin Hörner: Zeeman-Effekt. Universität Freiburg, Praktikumsversuch, 8. September 2005, abgerufen am 2. Februar 2010 (PDF-Datei; 434 kB).

Einzelnachweise