Drehimpuls

Der Drehimpuls ist eine physikalische Erhaltungsgröße. Er nimmt damit eine ähnliche Stellung wie die Energie oder der Impuls ein. Bei einem rotierenden Körper ist er zur Drehfrequenz proportional. Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auf den Körper einwirken. Die international verwendete Einheit für den Drehimpuls ist Newtonmeter · Sekunde oder Joule · Sekunde. Veraltete Bezeichnungen für den Drehimpuls eines Objekts sind Drall, Schwung oder Impulsmoment.

Der Drehimpuls ist ein Pseudovektor. Seine Angabe bezieht sich immer auf einen Punkt. Bei einem frei rotierenden Körper wird meist der Schwerpunkt genommen. Bei einem Körper, der sich um eine vorgegebene Achse dreht, wird meist ein Punkt auf der Achse gewählt, ohne dass dies ausdrücklich erwähnt wird.

In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls eine quantisierte Größe. Sein Betrag kann nur ganz- oder halbzahlige Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums annehmen. Die Messung seiner Ausrichtung unterliegt der Richtungsquantelung. Dies wird in der Quantenmechanik durch den Drehimpulsoperator berücksichtigt.

In der Astronomie unterscheidet man bei einem Himmelskörper den Bahndrehimpuls aufgrund einer Bewegung seines Schwerpunkts um ein Zentralgestirn von seinem Eigendrehimpuls aufgrund einer Drehung um eine durch seinen Schwerpunkt verlaufende Achse. Ihre Summe nennt man den Gesamtdrehimpuls. Diese Begriffe werden so auch in der Quantenmechanik verwendet, wobei an die Stelle des Eigendrehimpulses der Spin tritt.

Grundlagen

Mit der Rechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors durch die Daumenrichtung bestimmt werden.

Bei einer Kreisbewegung kann man sich den Drehimpuls in Bezug auf das Zentrum des Kreises als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse der Bewegung angibt. Seine Länge gibt den Schwung der Drehung an. Je länger der Pfeil, desto größer der Drehimpuls. Der Drehimpuls wächst mit:

• höherer Geschwindigkeit,
• größerer Masse sowie
• größerem Abstand zur Drehachse.

Bei einer Kreisbewegung steht der Drehimpuls senkrecht auf der Ebene, in der sich die Masse bewegt, sofern sich der Bezugspunkt des Drehimpulses ebenfalls in dieser Ebene befindet. Seine Länge ist gleich dem Produkt aus Masse, Radius und Geschwindigkeit.

In mathematischer Beschreibung ist der Drehimpuls $ {\vec {L}} $ eines Massenpunktes das Kreuzprodukt seines Ortsvektors $ {\vec {r}} $ mit seinem Impuls $ {\vec {p}}\,, $

$ {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}\,. $

Der Drehimpulsvektor zeigt in die Richtung, die mit dem Ort und der Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses. Dass die rechte und nicht die linke Hand für diese Regel verwendet werden muss, hängt mit der Definition des Kreuzprodukts zusammen.

Drehimpulserhaltung

Salto vorwärts

Aus der Tatsache, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung im Raum abhängen, folgt, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist (das besagt das Noether-Theorem). Anders ausgedrückt: Der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert, egal welche Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies gilt für den Drehimpuls bezüglich beliebiger Achsen und wird verkürzt mit dem Begriff Drehimpulserhaltung bezeichnet. Fast perfekt isolierte Systeme gibt es im Weltall. Das zweite keplersche Gesetz beschreibt die Drehimpulserhaltung geometrisch.

Die Drehimpulserhaltung führt zu dem im Eiskunstlauf und anderen sportlichen Disziplinen bekannten Pirouetteneffekt.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung

Während Ortsvektor r und Bahnimpuls m·v bei einer Punktspiegelung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses L=m·r×v unverändert.

Betrag und Richtung des Drehimpulses hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in $ {\vec {x}}^{\prime }={\vec {x}}+{\vec {a}} $ und der Drehimpuls in

$ {\vec {L}}^{\prime }={\vec {L}}+{\vec {a}}\times {\vec {p}}\,. $

Oft wählt man als Bezugspunkt den Schwerpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht, also auf der Achse liegt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von beiden aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel. Daher ändert sich der Drehimpuls nicht unter Punktspiegelung. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit, oder des Ortsvektors. Er gehört damit zur Klasse der Pseudovektoren.

Ebene Bahn, Flächensatz

Behält der Drehimpuls eines Teilchens (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn des Teilchens in einer Ebene und kann in Polarkoordinaten angegeben werden.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten $ t $ gilt

$ {\vec {x}}(t)\cdot {\vec {L}}(t)={\vec {x}}(t)\cdot {\bigl (}{\vec {x}}(t)\times {\vec {p}}(t){\bigr )}=0\,. $

Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, $ {\vec {L}}(t)={\vec {L}}(0)\,, $ dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

$ {\vec {x}}(t)\cdot {\vec {L}}(0)=0\,. $

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Schwerpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Zudem gilt das zweite Keplersche Gesetz: Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit $ \mathrm {d} t $ ändert sich der Fahrstrahl $ {\vec {x}} $ um $ {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t $ und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Größe durch das Kreuzprodukt gegeben ist. In der Zeit $ \mathrm {d} t $ überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

$ \mathrm {d} F={\frac {1}{2}}\left|{\vec {x}}(t)\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}\,\right|\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\,m}}{\bigl |}{\vec {L}}{\bigr |}\mathrm {d} t\,. $

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie $ E $ erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

$ \mathrm {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}} ={\frac {\vec {p}}{E}}\,c^{2} $

und

$ \mathrm {d} F={\frac {c^{2}}{2\,E}}{\bigl |}{\vec {L}}{\bigr |}\mathrm {d} t\,. $

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls $ {\vec {L}} $ und Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }} $, der für den Runge-Lenz-Vektor relevant ist:

$ {\vec {L}}=mr^{2}{\vec {\omega }} $

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe Polarkoordinaten/Geschwindigkeit), $ {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi } $. Im Kreuzprodukt mit $ {\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r} $ fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält

$ {\vec {L}}=m{\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=mr^{2}{\dot {\varphi }}\,{\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{z}=mr^{2}{\vec {\omega }}. $

Eulerscher Drehimpulssatz

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken, genauer gesagt ist die zeitliche Änderung des Impulses die Kraft,

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\,. $

Ganz analog formulierte 1754 Leonhard Euler den Eulerschen Drehimpulssatz, nach dem die zeitliche Änderung des Drehimpulses gleich dem Drehmoment ist,

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}\,. $

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auftreten. Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Ortsvektor $ {\vec {x}} $ (Hebelarm) und Kraft:

$ {\vec {M}}={\vec {x}}\times {\vec {F}}\,. $

Das ergibt sich durch den Drehimpulssatz, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet, d.h. die zeitliche Änderung des Drehimpulses untersucht:

$ {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\dot {\vec {L}}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {x}}\times {\vec {p}})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {x}}\times m{\dot {\vec {x}}})\\&={\dot {\vec {x}}}\times m{\dot {\vec {x}}}+{\vec {x}}\times m{\ddot {\vec {x}}}\\&\ {\stackrel {\mathrm {1} }{=}}\ 0+{\vec {x}}\times {\dot {\vec {p}}}={\vec {x}}\times {\vec {F}}\ =\ {\vec {M}}\end{aligned}} $

Da die Geschwindigkeit und Impuls parallel sind, verschwindet ihr Kreuzprodukt bei $ {\stackrel {\mathrm {1} }{=}} $.

Handelt es sich bei der Kraft $ {\vec {F}} $ um eine Zentralkraft $ {\vec {F}}=f{\frac {\vec {x}}{x}} $, so ist der Drehimpuls erhalten:

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {x}}\times \left(f{\frac {\vec {x}}{x}}\right)={\frac {f}{x}}\underbrace {{\vec {x}}\times {\vec {x}}} _{=0}=0 $ folglich $ {\vec {L}}={\text{const.}} $

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Bei einem starren Körper bezieht man den Drehimpuls auf den Schwerpunkt des Körpers und nennt ihn Eigendrehimpuls oder kürzer, Drehimpuls.

Der Drehimpuls eines starren Körpers (zum Beispiel eines Spielzeugkreisels, eines Autorades oder der Erde) wird durch seine Drehgeschwindigkeit, genauer seine Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }} $, und den Trägheitstensor bestimmt. Das ist eine Matrix $ \Theta $, aus der man die Trägheitsmomente und die Hauptträgheitsachsen berechnen kann. Die Hauptträgheitsachsen sind die Richtungen, in denen der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit einander parallel sind.

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist das Produkt seines Trägheitstensors mit seiner Winkelgeschwindigkeit

$ {\vec {L}}=\Theta \,{\vec {\omega }}\,. $

Der Trägheitstensor $ \Theta $ hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung. Allerdings sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls im Allgemeinen nicht zueinander parallel.

Herleitung

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist die Summe der Drehimpulse der Massepunkte, aus denen er besteht. Wir bezeichnen die einzelnen Massepunkte mit $ m_{1}\,,m_{2}\,,m_{3}\dots \,, $ mit $ {\vec {x}}_{1}\,,{\vec {x}}_{2}\,,{\vec {x}}_{3}\dots $ die Orte, an denen sie sich befinden, und mit $ {\dot {\vec {x}}}_{1}\,,{\dot {\vec {x}}}_{2}\,,{\dot {\vec {x}}}_{3}\dots $ ihre Geschwindigkeiten. Der Drehimpuls ist insgesamt

$ {\vec {L}}=\sum m_{i}\,{\vec {x}}_{i}\times {\dot {\vec {x}}}_{i} $.

Dabei ist über alle Massenpunkte zu summieren, aus denen der Körper besteht. Sein Schwerpunkt sei als Koordinatenursprung gewählt.

Wenn der Schwerpunkt ruht, so ist die Bewegung des starren Körpers eine Drehung um den Schwerpunkt. Die Geschwindigkeit der einzelnen Massepunkte ist dabei das Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor,

$ {\dot {\vec {x}}}_{i}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}_{i}\,. $

Eingesetzt erhalten wir

$ {\vec {L}}=\sum m_{i}\,{\vec {x}}_{i}\times {\bigl (}{\vec {\omega }}\times {\vec {x}}_{i}{\bigr )}\,. $

Das doppelte Kreuzprodukt werten wir mit der BAC-CAB-Formel aus,

$ {\vec {L}}=\sum m_{i}\,{\bigl (}{\vec {\omega }}\,({\vec {x}}_{i}^{2})-{\vec {x}}_{i}\,({\vec {x}}_{i}\cdot {\vec {\omega }}){\bigr )}\,. $

Also ist der Drehimpuls $ {\vec {L}} $ linear in der Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }} $ und lässt sich daher als Trägheitstensor $ \Theta $ mal $ {\vec {\omega }} $ in der Form

$ {\vec {L}}=\Theta \,{\vec {\omega }} $

schreiben. Dabei ist der Trägheitstensor die Matrix

$ \Theta =\sum _{i}m_{i}\,{\begin{pmatrix}y_{i}^{2}+z_{i}^{2}&-x_{i}\,y_{i}&-x_{i}\,z_{i}\\-y_{i}\,x_{i}&x_{i}^{2}+z_{i}^{2}&-y_{i}\,z_{i}\\-z_{i}\,x_{i}&-z_{i}\,y_{i}&x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\\\end{pmatrix}}\,. $

Bei einer kontinuierlichen Massenverteilung steht statt der Summe über die Massepunkte ein Volumenintegral über die Massendichte $ \varrho ({\vec {x}}) $, die je nach Matrixelement mit unterschiedlichen Produkten der Koordinaten gewichtet ist,

$ \Theta =\int \varrho (x,y,z)\,{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-x\,y&-x\,z\\-y\,x&x^{2}+z^{2}&-y\,z\\-z\,x&-z\,y&x^{2}+y^{2}\\\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,. $

Siehe auch

• Selbststeuerung, Stabilisierung, Reaktionsrad, Trägheitsrad, Stabilisation (Raumfahrt), Schwungrad, Gyrobus,
• Spin-Bahn-Kopplung

Weblinks

Wiktionary: Drehimpuls – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen