Spinor
Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung
Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe
Spinoren der Quantenphysik
Struktur der Gruppe Spin(1,3)
Die Gruppe
Die Unteralgebra
Die fehlenden zweifachen Produkte bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der
Die von den
Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement
Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt
Isomorphe Matrixalgebra
Es ist leicht zu sehen, dass
und erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,- diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
- spannen zusammen die gesamte Algebra auf.
Dies liefert den Isomorphismus
- ,
der eingeschränkt einen Isomorphismus
ergibt.
Es sei im folgenden immer
Als Folge daraus ergeben sich mit
Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren
Es gibt einen Isomorphismus
Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren
Wir definieren eine bijektive Abbildung
- , durch,
d. h. einem Element
gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.
- .
Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix
Somit ist
Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung
Weyl-, Dirac- und Majorana-Spinoren
Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.
Dazu folgendes Lemma: Sind
Weyl-Spinoren
Eine Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von
Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung
- mitund
übergehen.
Um die Gestalt von
- und
sich folgende Gestalt zwingend ergibt
- mit
Da der Vektorraum
Im minimalen Fall ist
Anwendung: siehe Weyl-Gleichung
Dirac-Spinoren
In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist die kleinste komplexe Darstellung von
Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von
- mit
Man überzeugt sich, dass
- mit den Bildern der Generatoren
Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit
Majorana-Spinoren
Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von
- mitund
Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für
- mit den Bildern der Generatoren
Drehverhalten
Aus Obigem ist die für die Physik vielleicht wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern:
- Für Teilchen mit ganzzahligem Spin
(gemessen in Einheiten des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums , sogenannte Bosonen, wird die Wellenfunktion bei einer vollen Drehung um mit dem Faktor multipliziert, d.h. sie bleibt unverändert.
- Dagegen ergibt sich für Teilchen mit halbzahligem Spin, die Fermionen, bei einer vollen Drehung um
der Faktor -1 für die Wellenfunktion. D.h. diese Teilchen wechseln bei einer vollen Drehung das Vorzeichen ihrer quantenmechanischen Phase bzw. sie müssen zwei volle Drehungen durchführen, um wieder in ihren Ausgangszustand zu gelangen, ähnlich dem Stundenzeiger einer Uhr.
Ganz- oder halbzahlige Werte von