Pauli-Prinzip

Das Pauli-Prinzip (auch Pauli’sches Ausschlussprinzip oder Paulisches Ausschließungsprinzip) ist ein Grundprinzip der Quantenmechanik. Es wurde 1925 von Wolfgang Pauli zur quantentheoretischen Beschreibung des Elektronenspins formuliert, den Samuel Abraham Goudsmit und George Eugene Uhlenbeck im selben Jahr zur Erklärung der Feinstrukturaufspaltung der Spektrallinien wasserstoffartiger Atome und des anomalen Zeeman-Effekts postuliert hatten. Es besagt, dass bei Vertauschung von Fermionen die Wellenfunktion antisymmetrisch ist. Daraus ergibt sich insbesondere, dass Elektronen (oder andere Fermionen), die den gleichen Raum belegen, nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Da auch die Quarks als Bausteine von Protonen und Neutronen zu den Fermionen zählen, gilt das Pauli-Prinzip oder Ausschließungsprinzip für die gesamte Materie im allgemein verstandenen Sinne: Fermionen „schließen sich gegenseitig aus“, können also nicht am selben Ort existieren. Nur deshalb kommt es überhaupt zum differenzierten Aufbau von Materie mit Atomen, Molekülen etc. Das Pauli-Prinzip beschreibt demnach nicht nur den Aufbau des Atoms, sondern auch größerer Strukturen; eine Folge davon ist, dass normale Materie nicht beliebig kondensierbar ist.

Vereinfachte Darstellung

Eine bekannte Formulierung des Pauli-Prinzips lautet:

Identische Teilchen sind ununterscheidbar.

Denn der Verlauf eines Experiments oder allgemein die Entwicklung eines physikalischen Systems kann sich nicht ändern, wenn man darin zwei identische Teilchen vertauscht. Quantentheoretisch ergeben sich aber bei Vertauschung identischer Teilchen nur dann stets die gleichen Messwerte, wenn das Betragsquadrat der (Gesamt-)Wellenfunktion, die ja alle physikalischen Eigenschaften des Systems beschreibt, gleich bleibt, sich also allenfalls der Phasenanteil der Wellenfunktion ändern kann. Die experimentelle Erfahrung hat sogar die weitergehende Tatsache gezeigt, dass bei Vertauschung zweier identischer Teilchen je nach Teilchenart die Wellenfunktion entweder unverändert bleibt oder nur ihr Vorzeichen wechselt. Diejenigen Teilchen, bei denen sich das Vorzeichen ändert, nennt man Fermionen. Für sie ist also die Wellenfunktion antisymmetrisch bzgl. Teilchenvertauschung. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion bei Vertauschung der Teilchen unverändert bleibt, nennt man Bosonen. Die Wellenfunktion ist dann symmetrisch bzgl. Teilchenvertauschung.

In seiner speziellen und zuerst beobachteten Form besagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung im Orbitalmodell notwendig sind, übereinstimmen dürfen. Wenn zwei Elektronen in Haupt- und Nebenquantenzahl sowie in der magnetischen Quantenzahl übereinstimmen, müssen sie sich also in der vierten Quantenzahl, der Spin-Quantenzahl, unterscheiden. Da diese nur die Werte $-{\tfrac {1}{2}}$ und $+{\tfrac {1}{2}}$ annehmen kann, können sich in einem einzigen Orbital maximal zwei Elektronen aufhalten. Diese Tatsache bestimmt maßgeblich den Aufbau des Periodensystems.

Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)

Formulierung

Die Gesamtwellenfunktion $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )$ eines Systems von $$ n $$ identischen Fermionen muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung P zweier Teilchen sein:

\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ,{\vec {r}}_{n},s_{n})=-(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ,{\vec {r}}_{n},s_{n})\,\,.\qquad (1)

Dabei sind ${\vec {r}}_{i}$ der Ort, $s_{i}$ der Spin des $$ i $$ -ten Fermions und $$ P $$ jeder Permutationsoperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )\,:=\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1};\dots )\,\,.

Anschauliche Deutung

Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=-\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1}).

Für $({\vec {r}}_{1},s_{1})=({\vec {r}}_{2},s_{2})$ ergibt sich daraus $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})$ , d.h. $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0$ . Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort ${\vec {r}}_{1}$ mit selbem Spin $\!\,s_{1}$ findet, Null sein.

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne Spin-Bahn-Kopplung stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion $\!\,\psi$ als Produkt von Ortswellenfunktion $\!\,\phi$ und Spinwellenfunktion $\!\,\chi$ darstellbar, also

\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2}).

Wegen der Antisymmetrie ist dann $\phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})$ . Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also $\chi (s_{1},s_{2})\!\,=\chi (s_{2},s_{1})$ , so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion $\!\,\phi$ . Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen $\!\,\phi$ oder $\!\,\psi$ äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand $\!\,s$ , dann ist $\chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}$ symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

Gültigkeit

Aufgrund des sogenannten Spin-Statistik-Theorems kommen in der Natur nur Fermionen mit halbzahligem Spin und Bosonen mit ganzzahligem Spin vor. Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt also genau für die Teilchen mit halbzahligem Spin.

Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen nicht. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen (im Extremfall bis zum Bose-Einstein-Kondensat).

Permutations- und Drehverhalten

Das unterschiedliche Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt genau zum unterschiedlichen Drehverhalten der jeweiligen Spinoren. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von $(-1)^{2s}=\mp 1$ , mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (s ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (s halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang ist unter anderem deshalb naheliegend, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 in der Tat einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).

Konsequenzen

Das Pauli-Prinzip führt zur Austauschwechselwirkung und ist für die Spinordnung in Atomen (Hundsche Regeln) und Festkörpern (Magnetismus) verantwortlich.

In der Astrophysik wird durch das Pauli-Prinzip erklärt, dass alte Sterne mit Ausnahme der sog. Schwarzen Löcher – zum Beispiel Weiße Zwerge oder Neutronensterne – nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Hierbei erzeugen die Fermionen einen Gegendruck, der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt. Dieser Gegendruck kann so stark sein, dass es zu einer Supernova kommt.

Bei Streuprozessen von zwei identischen Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei zwar von außen nicht unterscheidbare, aber prinzipiell verschiedene Möglichkeiten, was bei der theoretischen Berechnung von Wirkungsquerschnitt und Streuwellenfunktion berücksichtigt werden muss.

Siehe auch