Ununterscheidbare Teilchen

Ununterscheidbare (oder identische) Teilchen in der Physik sind dadurch gekennzeichnet, dass sie sich in keiner Weise anhand bestimmter, von ihrem jeweiligen Zustand unbeeinflusster Eigenschaften voneinander unterscheiden lassen. Alle fundamentalen Teilchen der gleichen Art sind in diesem Sinne ununterscheidbar (z. B. Elektronen, Photonen, Quarks). Die Ununterscheidbarkeit gilt auch für alle daraus zusammengesetzten Systeme (z. B. Protonen, Neutronen, Atomkerne, Atome, Moleküle u.s.w), sofern sie sich, bezogen auf ihren Schwerpunkt, im selben Zustand befinden. Die Unmöglichkeit jeglicher Unterscheidung mehrerer identischer Teilchen hat zur Folge, dass schon die Zuordnung von laufenden Nummern (oder anderen symbolischen Identifizierungen) unzulässig ist; sie würde z. B. bei Streuexperimenten zu falschen Voraussagen führen. Damit widerlegt die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen das 1663 von Gottfried Wilhelm Leibniz formulierte logische Prinzip, nach dem es auf der Welt keine zwei Dinge geben könne, die sich in nichts unterscheiden. Die Ununterscheidbarkeit der fundamentalen Teilchen hat starke Auswirkungen auf die Möglichkeiten, aus ihnen zusammengesetzte Systeme zu bilden. Z. B. beeinflusst sie Aufbau und Eigenschaften nicht nur der Atome, sondern auch aller daraus gebildeten makroskopischen Materie.

Veranschaulichung im Gedankenexperiment

Die Ununterscheidbarkeit gleicher Teilchen verursacht Effekte, die für die klassische Physik (und den Alltagsverstand) unverständlich sind. Ein Gedankenexperiment soll sie veranschaulichen: 1000 mal nacheinander fliegen zwei Teilchen aufeinander zu, eins aus nördlicher und südlicher Richtung. Sie stoßen zusammen, üben also Kräfte aufeinander aus, und ändern dadurch ihre Flugrichtung. Gezählt wird, wie oft ein Teilchen zufällig um genau 90° abgelenkt wird und anschließend in Richtung Osten fliegt. Dann fliegt das andere Teilchen stets in entgegengesetzter Richtung fort, also nach Westen.

Verschiedene Teilchen

Für jedes Teilchenpaar gibt es zwei Endzustände: (1) das Nord-Teilchen fliegt nach dem Stoß nach Osten und das Süd-Teilchen nach Westen, oder (2): umgekehrt. Unterscheiden sich Nord- und Südteilchen (z. B. durch ihre Farbe), so kann man zählen, wie viel der ursprünglich aus Norden kommenden Teilchen nach Osten fliegen, z.B. 16^[1]. Aus Symmetriegründen (weil bei 90° der Ablenkwinkel für Nord- und Süd-Teilchen gleich groß ist) werden auch sicher gleich viele Süd-Teilchen dorthin abgelenkt. Damit kommen auf der Ostseite insgesamt 32 Teilchen an, wie (aus Symmetriegründen) auf der Westseite auch.

Ununterscheidbare Teilchen

Sind die Teilchen aber ununterscheidbar (im Sinne der völligen Ununterscheidbarkeit, von der hier die Rede ist), bleibt es dann bei den insgesamt 32 beobachteten Teilchen auf jeder Seite?

Der statistische Effekt: Bei ununterscheidbaren Teilchen haben auch die beiden eben genannten Endzustände nun kein physikalisch feststellbares Unterscheidungsmerkmal mehr. Dann sind es in quantenphysikalischer Zählweise auch nicht mehr zwei verschiedene Zustände, sondern nur noch einer. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem zufallsgesteuerten Stoß dieser eine Zustand getroffen wird, ist daher (bei gleicher Form der Kräfte) nur halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit für die zwei Zustände der unterscheidbaren Teilchen zusammen. Demnach kommen statt 32 also nur 16 Teilchen im Osten an. Dabei verbietet sich wegen ihrer Ununterscheidbarkeit die Frage, wie viele von ihnen aus Norden bzw. Süden kommen. Diese Zählweise der möglichen Zustände hat sich in den Stoßexperimenten mit Teilchen und in der Statistischen Physik als die einzig zutreffende erwiesen.

Der dynamische Effekt: Im hier dargestellten Streuexperiment tritt noch eine weitere Besonderheit der identischen Teilchen hinzu. Danach fliegen statt der eben errechneten Zahl von 16 Teilchen (bei gleicher Form der Kräfte) - je nach Teilchenklasse Boson bzw. Fermion der beiden Stoßpartner - tatsächlich entweder 64 (bei Bosonen) oder gar keines (bei Fermionen) nach Osten weg.^[2] Dies ist in entsprechenden Experimenten überprüft worden.^[3] Es entspricht genau der Voraussage der Quantenmechanik, dass für ununterscheidbare Teilchen die Wellenfunktion (oder der Zustandsvektor) eine besondere Form haben muss. Darin kommen zwar immer genau zwei Teilchen mit entgegengesetzten Flugrichtungen vor. Im Anfangszustand fliegen sie in Nord-Süd-Richtung aufeinander zu und im Endzustand in Ost-West-Richtung voneinander weg. Aber im Anfangszustand kommt jedes der beiden Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeitsamplitude aus Nord und aus Süd, im Endzustand fliegt jedes der beiden Teilchen mit gleicher Amplitude nach Ost und nach West. Somit ist es schon begrifflich ausgeschlossen, demjenigen der beiden ununterscheidbaren Teilchen, das beobachtet wurde, eine bestimmte Herkunft oder einen bestimmten Weg zuschreiben zu wollen. Wenn man, wie in der Darstellung durch eine Wellenfunktion üblich, die Teilchen bzw. ihre Koordinaten durchnummeriert, muss deshalb diese Wellenfunktion eine Form annehmen, in der jede Nummer mit jedem der Einteilchenzustände zusammen auftritt.^[4] Dadurch ergeben sich Interferenzen der beiden Wahrscheinlichkeitsamplituden, mit denen jeder der beiden einzelnen Endzustände (Nord-Teilchen nach Osten bzw. Süd-Teilchen nach Osten) auftreten würde.^[5] Bei 90° Ablenkung sind beide Amplituden gleich groß und müssen bei Bosonen addiert werden (konstruktive Interferenz, daher Verdoppelung der Zahl der beobachteten Teilchen von 32 auf 64), bei Fermionen subtrahiert (destruktive Interferenz, daher Ergebnis Null). Nimmt man die Intensität auch bei anderen Streuwinkeln auf, wechseln sich in Abhängigkeit vom Winkel Minima und Maxima ab und zeigen ein ausgeprägtes Interferenzmuster.

Bedeutung und Historisches

Die besondere Rolle, die die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen spielt, wurde 1926 von Paul Dirac und Werner Heisenberg entdeckt, als sie mit Hilfe der damals neuen Quantenmechanik die Atome mit mehreren Elektronen studierten, woran die älteren Quantentheorien gescheitert waren. Dirac und Heisenberg stellten die Regel auf, dass es den Zustand des Atoms unverändert lässt, wenn zwei Elektronen darin wechselseitig ihre Orbitale vertauschen. Dem quantenmechanischen Formalismus (Wellenfunktion oder Zustandsvektor) zufolge wird es damit unmöglich, unter mehreren Elektronen ein bestimmtes zu identifizieren und seinen Weg zu verfolgen. Das gilt nicht nur für die Elektronen in einem bestimmten Atom, sondern ganz allgemein, z. B. auch für frei fliegende Elektronen in Streuexperimenten wie oben beschrieben. In einem System aus mehreren Elektronen lässt sich die Gesamtzahl der Elektronen identifizieren und welche Zustände von ihnen besetzt sind, aber nicht, „welches“ der Elektronen einen bestimmten Zustand innehat. Im ersten Lehrbuch zur Quantenmechanik von 1928 drückte Hermann Weyl das so aus: „Von Elektronen kann man prinzipiell nicht den Nachweis ihres Alibi verlangen“.^[6] Zur gleichen Zeit wurde an Molekülen aus zwei gleichen Atomen entdeckt, dass diese Art von Ununterscheidbarkeit auch für ganze Atome gilt, also auch zwei gleichen Atomkernen zukommt und damit für alle Bausteine der Materie zutrifft.

Im Alltag findet man eine ebenso perfekte Ununterscheidbarkeit etwa bei der Gleichheit beider Seiten einer mathematischen Gleichung: An einer „Eins“ lässt sich nicht mehr feststellen, ob sie durch die Halbierung einer 2 entstanden ist oder durch die Addition $ {\tfrac {1}{3}}{\mathord {+}}{\tfrac {2}{3}} $. Doch tritt diese prinzipielle Ununterscheidbarkeit im Alltag bei materiellen Dingen nicht auf. Andererseits ist sie nach dem Formalismus der Quantenmechanik auch allen zusammengesetzten Systemen zuzuschreiben: den Atomen, Molekülen etc. bis hin zu den makroskopischen Körpern, wenn sie nur im exakt gleichen Gesamtzustand sind (bezogen auf ihren Schwerpunkt). Die allgemein angenommene unverwechselbare Individualität eines Gegenstandes des täglichen Lebens beruht daher ausschließlich darauf, in welchem quantenmechanischen Zustand sich der Gegenstand genau befindet. Hingegen ist sie keine Qualität, die man dauerhaft der Materie, aus der der Gegenstand besteht, selber zuschreiben kann. Die praktisch gesehen absolute Sicherheit, mit der man einen Gegenstand identifizieren kann (z. B. auf dem Fundamt) beruht allein auf der praktisch vernachlässigbaren Wahrscheinlichkeit, dass ein "anderer" Gegenstand nicht nur aus den gleichen Bestandteilen aufgebaut ist, sondern sich auch noch im gleichen quantenmechanischen Zustand befindet.

In der Philosophie hielt man es von altersher und besonders seit Leibniz für ausgeschlossen, dass es zu einem Ding zusätzlich Kopien geben könne, die sich in buchstäblich nichts von dem Ding unterscheiden lassen (Principium identitatis indiscernibilium - pii). Für diesen Satz gab es auch einen formalen logischen Beweis. Doch nachdem an den Elektronen genau dies Phänomen festgestellt wurde, ist dieser Satz und sein Beweis heftig umstritten.^[7][8] Weyl z.B. führte den zitierten Satz so weiter: "Von Elektronen kann man prinzipiell nicht den Nachweis ihres Alibi verlangen. So setzt sich in der modernen Quantentheorie das Leibnizsche Prinzip von der coincidentia indiscernibilium durch." Für einen Überblick über die andauernde Diskussion siehe ^[9] und ^[10].

Ununterscheidbarkeit in der statistischen Physik

In der statistischen Physik ist die Ununterscheidbarkeit ein wichtiger Punkt bei der Zählung der Zustände eines Systems. Ein System aus ununterscheidbaren Teilchen hat im Vergleich zu einem System aus gleich vielen unterscheidbaren Teilchen einen eingeschränkten Zustandsraum (s. Gedankenexperiment oben). Scheinbar verschiedene Zustände, bei denen lediglich Teilchen gegeneinander vertauscht wurden, sind in Wirklichkeit immer ein und derselbe Zustand. Da es $ N! $ Möglichkeiten gibt, $ N $ Teilchen gegeneinander zu vertauschen, führt die Ununterscheidbarkeit zu einer Reduktion der Zustandssumme um einen Faktor $ 1/N! $.

Ununterscheidbarkeit in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik hat die Ununterscheidbarkeit eine erweiterte Bedeutung. Hier werden sowohl einzelne Teilchen wie auch das gesamte System durch Wellenfunktionen $ \Psi \!\, $ beschrieben. Bei gleichartigen Teilchen gilt wie in der statistischen Physik, dass das Vertauschen zweier Teilchen $ j,k $ eines Systems aus $ N $ Teilchen zu keinem neuen Zustand führen kann:

$ {\begin{aligned}&\int {\Psi ^{*}\left(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{k},\dots ,x_{N}\right)\,{\hat {O}}\ \Psi \left(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{k},\dots ,x_{N}\right)\operatorname {d} x_{1}\dots \operatorname {d} x_{N}}=\\&\int {\Psi ^{*}\left(x_{1},\dots ,x_{k},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N}\right)\,{\hat {O}}\ \Psi \left(x_{1},\dots ,x_{k},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N}\right)\operatorname {d} x_{1}\dots \operatorname {d} x_{N}}\\\end{aligned}} $  

darin sei $ {\hat {O}} $ eine beliebige Observable; folgende Kurzschreibweisen wurden verwendet:

$ x=({\vec {r}},s) $   und   $ \int {\operatorname {d} x}=\sum \limits _{s}{}\int {d^{3}r} $.

Insbesondere folgt aus obiger Definition (wählt man die Observable als Eins), dass das Betragsquadrat - das die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bestimmt - der Gesamtwellenfunktion eines Systems aus ununterscheidbaren Teilchen unter Teilchenvertauschung invariant ist:

$ \left|\Psi \left(\dots x_{j}\dots x_{k}\dots \right)\right|^{2}=\left|\Psi \left(\dots x_{k}\dots x_{j}\dots \right)\right|^{2} $.

Jedoch folgt zusätzlich aus der Operatorformulierung der Quantenmechanik, dass die Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchen ein negatives oder ein positives Vorzeichen erhält. Damit ist der Eigenwert des Transpositionsoperators $ P_{jk} $ entweder 1 oder -1:

$ P_{jk}\Psi \left(\dots x_{j}\dots x_{k}\dots \right)=\Psi \left(\dots x_{k}\dots x_{j}\dots \right)=\pm \Psi \left(\dots x_{j}\dots x_{k}\dots \right) $.

In einem System aus ununterscheidbaren Teilchen führt eine solche Vertauschung dabei immer zum gleichen Vorzeichen, egal welche Teilchen nun vertauscht werden. Wellenfunktionen, die immer ein negatives Vorzeichen erhalten, heißen total antisymmetrisch, und man nennt die Teilchen des Systems Fermionen. Tritt dagegen immer ein positives Vorzeichen auf, so bezeichnet man die Wellenfunktion als total symmetrisch und die Teilchen als Bosonen.

Mathematisch kann man die Gesamtwellenfunktion eines Systems als Produkt der Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen konstruieren. Um die Ununterscheidbarkeit der Teilchen zu berücksichtigen, muss dieses Produkt im Fall von Bosonen noch symmetrisiert bzw. im Fall von Fermionen antisymmetrisiert werden. Speziell bei Fermionen geschieht das mit Hilfe der so genannten Slater-Determinanten. Diese verschwindet jedoch, sollten zwei Fermionen die gleiche Wellenfunktion besitzen.

Es kann damit keine Gesamtwellenfunktion bzw. kein Systemzustand existieren, bei denen zwei Fermionen den gleichen (Einteilchen-)Zustand einnehmen (Paulisches Ausschlussprinzip). Als logische Konsequenz müssen Fermionen immer in verschiedenen Zuständen sitzen.

In bosonischen Systemen gibt es keine derartige Einschränkung. Daher sitzen Bosonen bei tiefen Temperaturen bevorzugt im gleichen, energetisch tiefstmöglichen Zustand, was zu einem besonderen Systemzustand führt, dem Bose-Einstein-Kondensat.

Weblinks

• Identity and Individuality in Quantum Theory. Eintrag In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of PhilosophyVorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3

Einzelnachweise und Fußnoten

Siehe auch

• Identität
• Gibbssches Paradoxon
• Austauschentartung