Bose-Einstein-Statistik

Illustration der Besetzung

\langle n(E)\rangle

für Bosonen (obere Kurve) bzw. Fermionen (untere Kurve), jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit. Das chemische Potential

\mu

ist im Bose-Fall ein negativer Parameter, der in bestimmter Weise von Temperatur und Dichte abhängt und im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden würde; im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei

T=0\,\mathrm {K}

entspricht es der Fermienergie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E)\rangle$ eines Quantenzustands der Energie $E\,$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $$ T $$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $$ E $$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x,y,z,m\,$ zweier Bosonen ( $x,y\,$ und $z\,$ : Ortsvariable; $m\,$ : Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi \,$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \rightarrow \psi )$ , während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \rightarrow -\psi )$ . Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

\langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}

mit

dem chemischen Potential $\mu$ , welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert $$ E $$ ist, und
der Energienormierung $ \beta $. Die Wahl von $ \beta $ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
- üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm {B} }$ ;
- sie beträgt $\beta =1/T$ , wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm {B} }$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{\lambda }$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu \,$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $\langle n(E)\rangle$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_{i}=2s+1$ zu multiplizieren ( $s\,$ : Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).