Rydberg-Konstante

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante in einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren, siehe Rydberg-Formel. Der Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher Kernmasse, daher der Index $ \infty $).

Der derzeit (CODATA 2010)^[1] empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt

$ R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,539\,(55)m^{-1}. $

Die relative Standardunsicherheit beträgt 5,0·10^-12. Damit ist es die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λ_C,e eines Elektrons nach

$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{C,e}}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{e}c}{h}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8c\epsilon _{0}^{2}h^{3}}} $

mit

• $ m_{e} $ der Masse des Elektrons
• $ c $ der Lichtgeschwindigkeit
• $ h $ dem Planckschen Wirkungsquantum
• $ e $ der Elementarladung
• $ \epsilon _{0} $ der Dielektrizitätskonstante.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen^[2][3]

• Rydberg-Frequenz: $ R=cR_{\infty }=3{,}289\;841\;960\;364\;\left(17\right)\cdot 10^{15}\ \mathrm {Hz} $
• Rydberg-Energie: $ R_{y}=hR=hcR_{\infty }=13{,}605\;692\;53\left(30\right)\ \mathrm {eV} =1\mathrm {Ry} . $

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $ R_{y} $ wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ lässt sich aus folgenden vier Bedingungen berechnen:

• Die bohrsche Bedingung ist

$ 2\pi r=n\lambda , $

wobei $ r $ den Radius des Elektronenorbits bezeichnet.

• Für die Zentripetalkraft gilt

$ F_{Z}={\frac {mv^{2}}{r}}. $

• Coulombkraft zwischen Elektron und einfach geladenem Atomrumpf

$ F_{C}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}} $

• Die elektrische potentielle Energie des Elektrons beträgt:

$ V=-\int _{\infty }^{r}F_{C}\,\mathbf {dr} =-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}. $

Mit der Beziehung von de Broglie $ \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}} $ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung:

$ v={\frac {nh}{2\pi rm}}. $ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

$ F_{Z}=-F_{C} $

$ \Leftrightarrow {\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}. $ (2)

Einsetzen von (1) liefert den Radius

$ r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi me^{2}}}. $ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also die einzigen erlaubten Bahnradien.

Außerdem folgt aus (2) für die kinetischen Energie

$ T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}} $

und für die Gesamtenergie

$ {\begin{aligned}E&=T+V\\&={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\\&=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}.\end{aligned}} $

Einsetzen von (3) ergibt

$ {\begin{aligned}E&=-{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}\end{aligned}} $

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potentielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n₁ nach n₂ auch eine Energieänderung stattfindet. Diese ist gerade

$ \Delta E={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right) $

oder mit

$ \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }} $

als Wellenlängenänderung geschrieben:

$ {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right). $

Die Rydberg-Konstante ist daher gerade

$ R_{\infty }={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}. $

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.

Einzelnachweise