Zentripetalkraft

Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die Komponente der äußeren Kraft zum Mittelpunkt des Krümmungskreises, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt.^[1]

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Bahn) bewegen, wie dies z. B. bei Funken beobachtet wird, die sich von einer Schleifscheibe ablösen. Die Bewegung auf einer vorgegebenen Bahn, z. B. bei Achterbahnen, erfordert eine Zentripetalbeschleunigung, aus der die Zentripetalkraft durch Multiplikation mit der Masse berechnet werden kann.

Die Zentripetalkraft steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem. Sie unterscheidet sich somit von der Zentrifugalkraft, die nur berücksichtigt werden muss, wenn man die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt.

Etymologie und Begriffsgeschichte

Der Begriff Zentripetalkraft leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab. Er wurde als vis centripeta von Isaac Newton eingeführt. Newton verwendete den Begriff allerdings nicht im heutigen Sinne, sondern im Sinne einer anziehenden Zentralkraft.^[2] Den Namen prägte Newton als Gegensatz zu der von Christian Huygens zuvor eingeführten Zentrifugalkraft.^[3][4]

Zentripetalkraft und Zentralkraft

Ein Punkt auf dem Umfang eines rollenden Rades beschreibt die schwarz eingezeichnete Zykloide aus Sicht eines nicht mitbewegten Beobachters. Im oberen Teilbild sind in rot die Momentangeschwindigkeiten des Punktes eingezeichnet und in grün die Momentanbeschleunigungen. Die x-Achse ist eine Raumdimension, die Vektoren geben äquidistante Zeitpunkte an. Im unteren Teilbild ist in gelb die Zentripetalkraft und in blau die Tangentialkomponente eingezeichnet.

Während eine Zentralkraft stets auf den gleichen Punkt gerichtet ist, zeigt die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises. Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft eine Zentralkraft. Im allgemeinen Fall, also z.B. bei einer elliptischen Planetenbahn, zerfällt die auf den einen Brennpunkt gerichtete Zentralkraft in die Zentripetalkraft, die zum Zentrum der Krümmung an diesem Ort gerichtet ist, und in eine Tangentialkomponente. Die Tangentialkomponente erhöht bzw. vermindert die Geschwindigkeit des Planeten und sorgt dafür, dass er sich in Sonnennähe schneller bewegt als in Sonnenferne. In nebenstehender Abbildung sind am Beispiel eines Punktes auf dem Umfang eines Rades die Zerlegung der äußeren Kraft in Zentripetalkraft und Tangentialkomponente gezeigt.

Beispiele

• Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Sie ergibt sich aus der Summe der Seitenkräfte die zwischen Reifen und Fahrbahn entstehen und auf das Fahrzeug einwirken. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
• Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die dabei als Zentripetalkraft dient. Genau genommen ist die Erdbahn wie die Bahnen aller Planeten keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn. Die Gravitation zeigt als Zentralkraft auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht jedoch leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum Zentrum der lokalen Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass der Planet sich in Sonnennähe (im Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.
• Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
• Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Mathematische Herleitung

Ein Punkt P bewegt sich auf einer Kreisbahn. Für die Zeitpunkte $ t_{1} $ und $ t_{2} $ befindet sich der Punkt in $ P_{1} $ bzw. $ P_{2} $ (Momentaufnahmen). Die Geschwindigkeiten $ v_{1} $ und $ v_{2} $ veranschaulichen die Änderung der Bewegungsrichtung.

Bewegt sich ein Objekt mit gleichbleibender Geschwindigkeit $ v $ auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius $ r $ des Kreises. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte $ t_{1} $ und $ t_{2} $ .

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil $ v'_{1} $ entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils $ v_{1} $. Ihre Längen entsprechen der Länge des Pfeils $ v_{2} $ . Für die Längen der drei Pfeile gilt also:

$ v_{1}=v'_{1}=v_{2}=v $

Hieraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke $ MP_{1}P_{2} $ und $ P_{2}Q_{1}Q_{2} $ und somit:

$ {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\Delta s}{r}} $

bzw. nach Umformungen:

$ \Delta v=\Delta s\cdot {\frac {v}{r}} $.

Für die Zeitspanne $ \Delta t(=t_{1}-t_{2}) $ ist

$ {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}} $ .

Wird nun $ \Delta t $ hinreichend klein gewählt, so gilt:

• Der vom Objekt zurückgelegte Weg $ \Delta s $ entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn. Somit ist die Geschwindigkeit $ v={\frac {\Delta s}{\Delta t}} $ die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
• Die Beschleunigung $ a_{\mathrm {Z} }={\frac {\Delta v}{\Delta t}} $ ist die Zentripetalbeschleunigung in Richtung Kreismittelpunkt, die das Objekt erfährt.

Daher wird die Gleichung $ {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}} $ für kleine $ \Delta t $ zu

$ a_{\mathrm {Z} }=v\cdot {\frac {v}{r}} $

bzw.

$ a_{\mathrm {Z} }={\frac {v^{2}}{r}} $.

Ist das Objekt nicht nur ein Punkt sondern eine Masse $ m $, so lässt sich entsprechend Newtons Aktionsprinzip der Betrag der Zentripetalkraft $ F_{\mathrm {Z} }=ma_{\mathrm {Z} } $ bestimmen:

$ F_{\mathrm {Z} }=m\cdot {\frac {v^{2}}{r}} $

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse $ m $, der sich mit der Geschwindigkeit $ v $ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $ r $ bewegt.

Rotiert eine Masse mit der Winkelgeschwindigkeit $ \omega $ um einen ortsfesten Mittelpunkt, kann die Bahngeschwindigkeit $ v $ durch $ \omega \cdot r $ ersetzt werden. Hieraus folgt:

$ a_{\mathrm {Z} }=\omega ^{2}r $

und

$ \,F_{\mathrm {Z} }=m\omega ^{2}r $.

Vektorielle Darstellung

Die Beschleunigung eines Punkts, der sich auf einer beliebigen Bahnkurve bewegt, ist die zweite Ableitung des Ortsvektors $ {\vec {r}}_{P} $ vom Ursprung des Inertialsystems zum Punkt P nach der Zeit.

$ {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}_{P}}{dt^{2}}} $

In der Regel ist die Bahnkurve in Parameterform in Abhängigkeit vom Weg s gegeben. Die zeitliche Ableitung kann dann auch durch Ableitungen nach dem Weg ausgedrückt werden:

$ {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}_{P}}{ds^{2}}}\,v^{2}+{\frac {d{\vec {r}}_{P}}{ds}}{\dot {v}} $

Die Zentripetalbeschleunigung zum lokalen Krümmungsmittelpunkt ist der erste Term der Gleichung:

$ {\vec {a}}_{Z}={\frac {d^{2}{\vec {r}}_{P}}{ds^{2}}}\,v^{2} $

Mit Hilfe der Frenetschen Formeln lässt sich die zweite Ableitung der Bahnkurve nach dem Weg durch den Hauptnormalenvektor $ {\vec {n}}(s) $ und den Krümmungsradius $ \varrho $ ausdrücken.

$ {\frac {d^{2}{\vec {r}}_{P}}{ds^{2}}}={\frac {{\vec {n}}(s)}{\varrho (s)}} $

Man erhält somit den bekannten Zusammenhang, dass die Zentripetalbeschleunigung proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional zum Radius der Bahn ist:

$ {\vec {a}}_{Z}={\frac {v^{2}}{\varrho (s)}}\,{\vec {n}}(s) $

Im Spezialfall einer reinen Kreisbewegung können die Vektoren $ {\vec {r}} $ für den Abstand und $ {\vec {\omega }} $ für die Winkelgeschwindigkeit benutzt werden. Damit lässt sich die Zentripetalbeschleunigung als Vektorprodukt darstellen:

$ {\vec {a_{\mathrm {Z} }}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}) $

Generell gilt:

$ {\vec {F_{\mathrm {Z} }}}=m{\vec {a_{\mathrm {Z} }}} $

Einzelnachweise

Literatur

• Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Cambridge, London 1726, neu hrsg. v. Alexandre Koyré, I. Bernard Cohen. London 1971.
• David Halliday, Robert Resnick: Physics, Part I and II Combined. New York 1978, Third Edition, S. 59 - 62. ISBN 0-471-02456-2