Rydberg-Konstante

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Physikalische Konstante
Name Rydberg-Konstante
Formelzeichen $ R_{\infty } $
Wert
SI $ 10\,973\,731{,}568\,539\,m^{-1} $
Unsicherheit (rel.) $ 5{,}0\cdot 10^{-12} $
Bezug zu anderen Konstanten
$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{2h}} $
$ \alpha $Feinstrukturkonstante
$ m_{e} $ – Elektronenmasse
$ c $Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
$ h $Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010 (NIST)

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante in einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren, siehe Rydberg-Formel. Der Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher Kernmasse, daher der Index $ \infty $).

Der derzeit (CODATA 2010)[1] empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt

$ R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,539\,(55)m^{-1}. $

Die relative Standardunsicherheit beträgt 5,0·10-12. Damit ist es die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λC,e eines Elektrons nach

$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{C,e}}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{e}c}{h}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8c\epsilon _{0}^{2}h^{3}}} $

mit

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen[2][3]

  • Rydberg-Frequenz: $ R=cR_{\infty }=3{,}289\;841\;960\;364\;\left(17\right)\cdot 10^{15}\ \mathrm {Hz} $
  • Rydberg-Energie: $ R_{y}=hR=hcR_{\infty }=13{,}605\;692\;53\left(30\right)\ \mathrm {eV} =1\mathrm {Ry} . $

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $ R_{y} $ wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ lässt sich aus folgenden vier Bedingungen berechnen:

$ 2\pi r=n\lambda , $

wobei $ r $ den Radius des Elektronenorbits bezeichnet.

$ F_{Z}={\frac {mv^{2}}{r}}. $
$ F_{C}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}} $
  • Die elektrische potentielle Energie des Elektrons beträgt:
$ V=-\int _{\infty }^{r}F_{C}\,\mathbf {dr} =-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}. $

Mit der Beziehung von de Broglie $ \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}} $ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung:

$ v={\frac {nh}{2\pi rm}}. $ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

$ F_{Z}=-F_{C} $
$ \Leftrightarrow {\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}. $ (2)

Einsetzen von (1) liefert den Radius

$ r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi me^{2}}}. $ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also die einzigen erlaubten Bahnradien.

Außerdem folgt aus (2) für die kinetischen Energie

$ T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}} $

und für die Gesamtenergie

$ {\begin{aligned}E&=T+V\\&={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\\&=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}.\end{aligned}} $

Einsetzen von (3) ergibt

$ {\begin{aligned}E&=-{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}\end{aligned}} $

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potentielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n1 nach n2 auch eine Energieänderung stattfindet. Diese ist gerade

$ \Delta E={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right) $

oder mit

$ \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }} $

als Wellenlängenänderung geschrieben:

$ {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right). $

Die Rydberg-Konstante ist daher gerade

$ R_{\infty }={\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}. $

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.

Einzelnachweise

  1. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Konstante.
    Die eingeklammerten Ziffern geben die Standardunsicherheit an, bezogen auf die letzte angegebene Stelle.
  2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Frequenz
  3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Energie