Zustandsdichte

Die Zustandsdichte $$ D(E) $$ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(\omega) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [E, E+\mathrm{d}E] bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\omega, \omega+\mathrm{d}\omega] existieren.

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Festkörperphysik.

Im 3-dimensionalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k} -Raum ist die Zustandsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(\vec{k}) konstant gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (L/2\pi)^3 , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L die Länge einer Gitterperiode ist.

Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Objekte beziehen wie z. B. auf Phononen, Elektronen, Magnonen, Quasiteilchen in Supraleitern und vieles mehr.

Zustandsdichte allgemein für einen n-dimensionalen Festkörper

Allgemein für einen n-dimensionalen Festkörper ist die Zustandsdichte der Elektronen durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\epsilon):=\int_{BZ}\frac{d^nk}{(2\pi)^n}\delta(\epsilon-E(\vec k))

definiert. Anschaulich zählt man die erlaubten Energiezustände in einer Brillouin Zone.

Zustandsdichte für ein n-dimensionales Elektronengas

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Zustandsdichte (DOS) über der Energie abhängig von der Dimension (2D=rot, 1D=grün, 0D=blau).

In einem n-dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen 1, …, n frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung in Abhängigkeit vom Betrag des Wellenvektors angegeben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}

Dabei ist m* die effektive Masse des Ladungsträgers im Festkörper. Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_l .

Die Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_x\cdot L_y\cdot L_z\quad .

Der Vorfaktor 2 entspricht den zwei möglichen Spinzuständen. V ist das Volumen des Festkörpers. N(E) steht für die Anzahl aller bei der Energie E zugänglichen Zustände:

Im n-dimensionalen k-Raum beschreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_k das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E-E_l zugänglich sind; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega_k ist das Volumen eines solchen Zustandes.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N(E)= \begin{cases} \sum_l \Theta(E-E_l) & \text{wenn} \quad n=0\\ \sum_l \Theta(E-E_l) \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n=1,2\\ \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n=3 \end{cases}

Werte für verschieden-dimensionale Elektronengase
	$V_{k}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\Omega_k}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(E)
3D – Bulk	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{4}{3}\pi k^3	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{(2m^*)^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E}
2D – Quantentopf	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi k^2	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{m^*} {\pi\hbar^2 L_z} \sum_l \Theta(E-E_l)
1D – Quantendraht	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2k	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{2\pi}{L_x}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\sqrt{2m^*}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}}
0D – Quantenpunkt			Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)

Zustandsdichte im Halbleiter

Datei:Density of states in intrinsic Semiconductor DE.svg

Zustandsdichten (farbig) in einem undotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Zusätzlich ist die Fermi-Verteilung bei Raumtemperatur nach links aufgetragen, als Energieniveaus das Fermi-Niveau E_F und die Leitungsbandenergie E_C.

In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ähnlicher Ansatz für das Leitungs- und Valenzband gemacht (siehe Bändermodell). Den frei beweglichen Ladungsträgern in den beiden Bändern, also Elektronen und Löchern, wird eine effektive Masse zugewiesen und die Zustandsdichten für die beiden Bänder wie oben als quadratisch angenommen. Den Abstand der Extrema dieser beiden Zustandsdichten bezeichnet man als Bandlücke. Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im k-Raum (Impulsraum) von einem indirekten, bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen. Die Elektronen und Löcher versuchen, in diesen möglichen Zuständen ein Minimum der Energie einzunehmen und streben zur Bandkante hin, also zu den Extrema. Es treten also, soweit möglich, tatsächlich besetzte Zustände vermehrt dort auf.

Datei:Density of states in n-doped Semiconductor DE.svg

Zustandsdichten (farbig) in einem n-dotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Energieniveau der Dotieratome E_D.

Die Energie der Unterkante Leitungsband sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{C} , die der Oberkante Valenzband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{V} , die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie $E_{\mathrm {G} }=E_{\mathrm {C} }-E_{\mathrm {V} }$ . Die Zustandsdichte im Leitungsband ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m^*_\mathrm{e,d} ist die Zustandsdichtemasse des Elektrons im Leitungsband, also seine gemittelte effektive Masse):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D_\mathrm{C}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{e,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E-E_\mathrm{C}}

Die Zustandsdichte im Valenzband ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m^*_\mathrm{p,d} ist die Zustandsdichtemasse des Lochs im Valenzband):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D_\mathrm{V}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{p,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E_\mathrm{V}-E}

Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei n-Dotierung nahe am Leitungsband und bei p-Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei n-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei p-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer n-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.

Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [E, E+\mathrm{d}E] besetzt ist, schreibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{e}(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [E, E+\mathrm{d}E] nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{h}(E) = 1-W_\mathrm{e}(E)=\frac{1}{\exp{\left(-\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}

Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n und Löcherdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p im Valenzband, angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=\int_{E_\mathrm{C}}^{\infty}W_\mathrm{e}(E)\, D_\mathrm{C}(E)\,\mathrm{d}E

sowie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=\int_{-\infty}^{E_\mathrm{V}}W_\mathrm{h}(E)\, D_\mathrm{V}(E)\,\mathrm{d}E

Eigentlich sollten die Integrationsgrenzen nicht bis unendlich ausgedehnt sein, sondern nur bis zum Ende des jeweiligen Bandes. Allerdings ist dort die Fermi-Verteilung schon näherungsweise Null – das chemische Potential liegt nämlich im Bereich der Bandlücke – sodass der Fehler vernachlässigbar ist. Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi-Dirac-Integral.

Literatur

Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21473-9.

Weblinks

Semiconductor Physics: Density of States. In: Britney Spears’ Guide to Semiconductor Physics. Carl Hepburn, abgerufen am 7. April 2009 (engl.).
C.R.Wie: Carrier concentration in Si (or in any Semiconductor) versus the Fermi Energy Level and the Density of States. 1998, abgerufen am 7. April 2009 (engl., Java-Applet zu Zustandsdichte im Halbleiter).
Online lecture:ECE 606 Lecture 8: Density of States by M. Alam {en}
Zustandsdichte des freien Elektronengases - Kapitel 2.2.3. In: Einführung in die Materialwissenschaft II, Uni Kiel. Abgerufen am 12. August 2010 (Sehr ausführliches und recht verständliches Skript).
Herleitung der Zustandsdichte freier Teilchen in 3D