Effektive Masse

Die effektive Masse (Formelsymbol meist m*) ist ein Begriff aus der Festkörperphysik (nicht zu verwechseln mit der reduzierten Masse aus der Newtonschen Mechanik oder der elektromagnetischen Masse, die z. T. auch als effektive Masse bezeichnet wird).

Sie bezeichnet die scheinbare Masse eines Teilchens in einem Kristall im Rahmen einer semiklassischen Beschreibung. Man kann zeigen, dass in vielen Situationen Elektronen und Löcher in einem Kristall auf elektrische und magnetische Felder ähnlich reagieren, als wären sie freie Teilchen im Vakuum, nur mit einer veränderten Masse. Diese effektive Masse wird üblicherweise in Einheiten der Elektronenmasse (m_e = 9,11 × 10⁻³¹ kg) angegeben. Experimentelle Methoden zur Bestimmung der effektiven Masse bedienen sich unter anderem der Zyklotronresonanz.

Die Grundidee ist, dass sich der Energie-Impuls-Zusammenhang (d. h. die Dispersionsrelation) eines Teilchens oder Quasiteilchens in der Nähe eines lokalen Minimums als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = E_0 + \frac{1}{2 m^*} (p-p_0)^2 + O((p-p_0)^3)

mit p für den Impuls und O für die höheren Terme entwickeln lässt. Der quadratische Term sieht dabei wie die kinetische Energie eines Teilchens der Masse m* aus.

Definition und Eigenschaften

Die effektive Masse wird in Analogie zum zweiten Newtonschen Gesetz definiert (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = F / m , Beschleunigung gleich Kraft pro Masse). Eine quantenmechanische Beschreibung des Kristall-Elektrons in einem äußeren elektrischen Feld E liefert die Bewegungsgleichung

a = \frac{1}{ℏ^{2}} \cdot \frac{d^{2} ε}{d k^{2}} q E

,

wobei a die Beschleunigung, $ℏ$ die Plancksche Konstante, k die Wellenzahl (oft etwas lax als Impuls bezeichnet, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k = {{p} \over {\hbar}} ), $ε (k)$ die Energie als Funktion von k (die Dispersionsrelation), und q die Ladung des Elektrons sind. Ein freies Elektron im Vakuum hingegen würde die Beschleunigung

a = \frac{q}{m_{e}} E

erfahren. Somit beträgt die effektive Masse m* des Elektrons im Kristall

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m^{*} = \hbar^2 \cdot \left[ {{d^2 \varepsilon} \over {d k^2}} \right]^{-1} .

Für ein freies Teilchen ist die Dispersionsrelation quadratisch, und somit wäre die effektive Masse dann konstant (und gleich der tatsächlichen Elektronenmasse). In einem Kristall ist die Situation komplexer: Die Dispersionsrelation ist im Allgemeinen nicht quadratisch, was zu einer geschwindigkeitsabhängigen effektiven Masse führt, s. a. bei der Bandstruktur. Das Konzept der effektiven Masse ist deshalb am nützlichsten im Bereich von Minima oder Maxima der Dispersionsrelation, wo sie durch quadratische Funktionen angenähert werden kann. Die effektive Masse ist also proportional zur inversen Krümmung der Bandkante. Die interessante Physik des Halbleiters spielt sich in einem Minimum des Leitungsbandes (Krümmung positiv = effektive Masse der Elektronen positiv) und in einem Maximum des Valenzbandes (Krümmung negativ = effektive Masse der Elektronen negativ) ab. Einem Loch ordnet man die negative effektive Elektronenmasse im Valenzband zu, die somit wieder positiv ist.

Bei Elektronenenergien weit weg von solchen Extrema kann die effektive Masse auch im Leitungsband negativ oder sogar unendlich werden. Man kann sich diese auf den ersten Blick eigenartige Eigenschaft im Wellenbild durch die Bragg-Reflexion im eindimensionalen Gitter erklären: Mit der Bragg-Bedingung

2 d \sin θ = n λ

für die Reflexion an den Ionen„ebenen“, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta = 90^\circ und $λ = 2 π / k$ folgt

k = \frac{n π}{d}

.

Für kleine Beträge von k wird die Bedingung kaum erfüllt, die Elektronen bewegen sich entsprechend ihrer freien Masse m_e. Für größere Beträge von k wird zunehmend reflektiert, bis effektiv keine Beschleunigung durch ein elektrisches Feld möglich ist. Jetzt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m^* = \infty . Bei noch größeren k-Werten führt eine Beschleunigung durch ein externes Feld durch die Wirkung der internen Kräfte (Wechselwirkung mit Phononen im Teilchenbild) unter Umständen zu einer Beschleunigung entgegengesetzt zur erwarteten Richtung, die effektive Masse ist folglich negativ.

Effektive Masse als Tensor

Die effektive Masse ist im Allgemeinen richtungsabhängig (bezüglich der Kristallachsen) und somit eine tensorielle Größe. Für den Tensor der effektiven Masse gilt:

{(\frac{1}{m^{*}})}_{i j} = \frac{1}{ℏ^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} ϵ}{\partial k_{i} \partial k_{j}}

Dies bedeutet insbesondere, dass die Beschleunigung der Elektronen in einem elektrischen Feld $m^{*} \vec{a} = q \vec{E}$ nicht parallel zum Feldvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E sein muss. Insbesondere wird es (analog zum Trägheitstensor) aufgrund der Symmetrie von m^* ein Hauptachsensystem geben, in welchem (1/m^*)_ij Diagonalform annimmt, mit den zugehörigen Eigenwerten auf der Diagonalen. Liegt das elektrische Feld $\vec{E}$ dann entlang einer dieser Hauptachsen (was sich durch Drehung des Kristalls im konstanten Feld erreichen lässt), so geht nur der zugehörige Eigenwert ein. Da nicht alle Eigenwerte gleich sein müssen, gibt es i. A. Hauptachsen mit großem und kleinem Eigenwert der effektiven Masse. Kleine Eigenwerte führen bei konstantem elektrischen Feld zu einer höheren Beschleunigung der Ladungsträger. Mit steigender Temperatur nehmen die effektiven Massen zu.

Bei der Berechnung der Zustandsdichte fließt die effektive Masse mit ein. Um die Form des isotropen Falls beibehalten zu können, definiert man eine Zustandsdichtemasse

m_{d} = N^{2 / 3} {(m_{1}^{*} m_{2}^{*} m_{3}^{*})}^{1 / 3}

,

wobei der Entartungsfaktor N die Zahl der äquivalenten Minima angibt (N meist 6 oder 8) und $m_{i}^{*}$ die Eigenwerte des Effektive-Masse-Tensors sind.

Die Leitfähigkeit bzw. Mobilität ist proportional zur reziproken effektiven Masse. In anisotropen Systemen lässt sich eine mittlere Mobilität angeben, in der man die Leitfähigkeitsmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{c} verwendet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{m_{c}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{m_{1}^{*}}+\frac{1}{m_{2}^{*}}+\frac{1}{m_{3}^{*}}\right)

Effektive Masse für einige Halbleiter

Detaillierte Werte für Silizium

Leitungsband

Für Elektronen im Leitungsband gilt: $m_{1}^{*} = 0, 19 m_{e}$ , $m_{2}^{*} = 0, 19 m_{e}$ , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{3}^{*}=0,91 \, m_e bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=1,4 \, K . Die zwei gleichen Massen $m_{1}^{*} = m_{2}^{*}$ nennt man transversale Masse $m_{t}$ und $m_{3}^{*}$ longitudinale Masse $m_{l}$ . Die Zustandsdichtemasse ( $N = 6$ ) bei $T = 4, 2 K$ ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{d}=1,06 \, m_e , bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=300 \, K ist sie $m_{d} = 1, 09 m_{e}$ .^[1] Die Leitfähigkeitsmasse bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=1,4 \, K ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{c}=0,26 \, m_e .

Valenzband

Im Valenzband gibt es auf Grund von Spin-Bahn-Wechselwirkung (l=1, s=1/2) an der Bandkante zwei Subbänder. Das eine sind die schweren Löcher („heavy holes“ mit $j = 3 / 2$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_j=3/2 ), das andere die leichten Löcher („light holes“ mit $j = 1 / 2$ und $m_{j} = 1 / 2$ ). Beide haben unterschiedliche effektive Massen, bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=4,2 \, K ist $m_{h h} = 0, 54 m_{e}$ und $m_{l h} = 0, 15 m_{e}$ . Darüber hinaus gibt es noch ein weiteres Subband („split off band“ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j=1/2 ), das energetisch abgesenkt gegenüber der Leitungsbandkante ist. Bei $T = 4, 2 K$ ist $m_{s o} = 0, 25 m_{e}$ . Die Zustandsdichtemasse des Valenzbands bei $T = 4, 2 K$ ist $m_{d} = 0, 59 m_{e}$ und bei $T = 300 K$ ist sie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{d}=0,81 \, m_e .^[2]

Weblinks

Anwendungen und Werte für einige Halbleiter (University of Colorado, englisch)

Einzelnachweise

↑ Martin Green: Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon. In: Journal of Applied Physics. 67, Nr. 6, 1990, S. 2944–2954. doi:10.1063/1.345414.
↑ Landolt-Börnstein: Condensed Matter (III); Semiconductors (41); Group IV Elements, IV-IV and III-V Compounds (A1); Electronic, Transport, Optical and Other Properties (β); Silicon: conduction band, effective masses; Silicon: valence band, effective masses

[1] Martin Green: Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon. In: Journal of Applied Physics. 67, Nr. 6, 1990, S. 2944–2954. doi:10.1063/1.345414.

[2] Landolt-Börnstein: Condensed Matter (III); Semiconductors (41); Group IV Elements, IV-IV and III-V Compounds (A1); Electronic, Transport, Optical and Other Properties (β); Silicon: conduction band, effective masses; Silicon: valence band, effective masses

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[2]