Reiner Zustand

In der Quantenmechanik spricht man von einem reinen Zustand, wenn das betrachtete System in einem fest definierten quantenmechanischen Zustand ist, der durch einen Zustandsvektor $ |\psi \rangle $ aus dem Hilbertraum beschrieben wird.

Ist ein System in einem reinen Zustand, so findet man es mit der Wahrscheinlichkeit $ p=1\!\, $ in einem Zustand $ |\psi \rangle $. Somit ist der Dichteoperator

$ \rho _{\psi }=p|\psi \rangle \langle \psi |=|\psi \rangle \;\langle \psi | $

gerade die Projektion auf den Zustand $ |\psi \rangle $.

Eine alternative Definition eines reinen Zustandes lässt sich auch auf den allgemeineren Zustandsbegriff für C*-Algebren von Operatoren erweitern. Ein Zustand auf einer C*-Algebren $ A $ ist ein positives lineares Funktional mit Norm 1, also eine Abbildung $ \varphi \colon A\to \mathbb {K} $ mit $ \varphi (A_{+})\subseteq \mathbb {R} _{+} $ und $ \|\varphi \|=1 $. Die Menge der Zustände $ S(A) $ bildet eine konvexe Menge. Ein reiner Zustand ist ein Zustand, der extremal in $ S(A) $ ist. D.h. ein reiner Zustand lässt sich nicht als Konvexkombination (eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten, deren Summe 1 ergibt) zweier anderer Zustände beschreiben.

Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch, bei dem sich das System mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten $ p_{i}\,(0\leq p_{i}\leq 1) $ in einem der reinen Zustände $ |\psi _{i}\rangle $ befindet:

$ \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\ . $

Auch wenn das System in einem reinen Zustand ist, können die Messwerte von Observablen statistisch verteilt sein, nämlich dann, wenn der Zustand kein Eigenzustand der Observablen ist. Diese Wahrscheinlichkeiten sind eine intrinsische Eigenschaft der Quantenmechanik, während die Wahrscheinlichkeit der Zustände in einem gemischten Zustand aus der Unkenntnis über den wahren Zustand des Systems resultiert.

Quellen

• H. Lin, An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras, World Scientific (2001)