Kontinuumsmechanik

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Die Kontinuumsmechanik ist das Teilgebiet der Technischen Mechanik, das vom Verformungsverhalten verschiedener Substanzen handelt. In der Kontinuumsmechanik wird vom mikroskopischen Aufbau der Materie, also zum Beispiel der Gitterstruktur kristalliner Festkörper und der molekularen Struktur von Flüssigkeiten, abgesehen und der Untersuchungsgegenstand als ein Kontinuum genähert.

Der theoretische Hintergrund der Kontinuumsmechanik liegt in der Physik, die praktische Anwendung erfolgt in verschiedenen Bereichen des Maschinenbaus, des theoretischen Bauingenieurwesens, der Werkstoffkunde sowie in der Geophysik und anderen Bereichen der Geowissenschaften.

Die Kontinuumsmechanik umfasst zum einen für Festkörper die Elastizitätstheorie und die Plastizitätstheorie, schließt aber auch die Kontinuumsbetrachtung von Hydrodynamik und Gastheorie mit ein.

Übersicht

Eine grundlegende Einteilung der Kontinuumsmechanik für Festkörper basiert auf der Unterscheidung zwischen elastischer (reversibler) und plastischer (irreversibler) Deformation oder Verformung. Bei Überschreitung des plastischen Fließvermögens kommt es zum Bruch des Festkörpers oder zum Zerreißen der Flüssigkeit. Bei der Deformation einer Flüssigkeit ist die Oberflächenspannung zu berücksichtigen.

Die Elastizitätstheorie beruht auf dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz, das einen linearen, tensoriellen Zusammenhang zwischen einer Verspannung und der daraus resultierenden Verzerrung des Kontinuums herstellt.

In der Plastizitätstheorie sind die Deformierungen nicht mehr reversibel. Obwohl dabei Festkörper betrachtet werden, spricht man bei den irreversiblen Veränderungen von „Fließen“. Die Rheologie, die sich mit dem Fließverhalten von Materie beschäftigt, verwendet mikroskopisch viele Methoden der Kontinuumsmechanik.

Kinematik – Beschreibung von Deformation

Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Die in der Kontinuumsmechanik grundlegende Größe, auf der alle Beschreibungen von Deformationen und daraus resultierenden Reaktionen eines Körpers beruhen, ist der Deformationsgradient. Dieser ist ein Tensor und kann als Abbildung materieller Punkte von einer Konfiguration in eine andere betrachtet werden. Mithilfe des Deformationsgradienten werden verschiedene Verzerrungsmaße als Verzerrungstensoren definiert. Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist somit die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Ein Spezialfall der elastischen Verformung ist die Dehnung eines Stabs in Längsrichtung. Naiv könnte man meinen, dass sich dieser Spezialfall eindimensional durch einen linearen Zusammenhang zwischen ausgeübter Kraft und resultierender Längenänderung beschreiben lässt. Tatsächlich aber führt die ausgeübte eindimensionale Belastung bereits zu einer mehrdimensionalen Verzerrung, da sich auch der Durchmesser des Stabs ändert (Querkontraktion). Deshalb ist selbst in den einfachsten Fällen eine dreidimensionale, tensorielle Beschreibung von Verzerrungen erforderlich.

Für die Herleitung der kinematischen Größen wird in der Kontinuumsmechanik davon ausgegangen, dass der gesamte Bewegungsablauf des Körpers bekannt ist. Die Bewegungsfunktion $ \vec{x} = \vec{\chi}(\vec{X}, t) $ weist jedem materiellen Punkt, gegeben durch seine Position in der Referenzkonfiguration $ \vec{X} $, eine Position $ \vec{x} $ in der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt $ t $ zu. Alternativ kann die Bewegung des Körpers durch den Verschiebungsvektor $ \vec{u}=\vec{x}-\vec{X} $ beschrieben werden.

Durch Ableitung der Bewegungsfunktion nach der Referenzkonfiguration lässt sich der Deformationsgradient $ \mathbf{F} $ ermitteln:

$ \mathbf{F} = \frac{ \mathrm{d}\,\vec{\chi}(\vec{X},t) }{ \mathrm{d}\vec{X}} = \frac{\mathrm{d}\,\vec{x}}{\mathrm{d}\vec{X}} = \mathbf{I} + \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}. $

Der Deformationsgradient lässt sich durch polare Zerlegung in einen orthogonalen Rotationstensor $ \mathbf{R} $ und einen symmetrischen, positiv definiten 'rechten' bzw. 'linken' Strecktensor $ \mathbf{U} $ bzw. $ \mathbf{V} $ aufteilen

$ \mathbf{F} = \mathbf{R}\mathbf{U} = \mathbf{V} \mathbf{R}\,. $

Dabei beinhaltent der Rotationstensor die lokalen Rotationen des Körpers und die Strecktensoren beschreiben die lokalen Deformation des Körpers. Aus dem Deformationsgradienten können die Cauchy-Green Deformationstensoren $ \mathbf{B} $ und $ \mathbf{C} $ abgeleitet

$ \begin{array}{rll} \mathbf{C} &= \mathbf{F}^T\mathbf{F} =(\mathbf{R}\mathbf{U})^T\mathbf{R}\mathbf{U} =\mathbf{U}^T\mathbf{R}^T\mathbf{R}\mathbf{U} =\mathbf{U}^T\mathbf{U} &\text{rechter Cauchy-Green Deformationstensor}\\ \mathbf{B} &= \mathbf{F}\mathbf{F}^T = \mathbf{V}\mathbf{R} (\mathbf{V}\mathbf{R})^T = \mathbf{V}\mathbf{R}\mathbf{R}^T \mathbf{V}^T = \mathbf{V}\mathbf{V}^T &\text{linker Cauchy-Green Deformationstensor} \end{array} $

Für ingenieurtechnische Anwendungen wünscht man gewöhnlich allerdings Größen, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrangen Verzerrungstensors

$ \mathbf{E} = \frac{1}{2}(\mathbf{C}-\mathbf{I}) $

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

$ \mathbf{e} = \frac{1}{2}(\mathbf{I}-\mathbf{B}^{-1}) $.

Bei kleinen Verschiebungen kann alternativ der linearisierte Verzerrungstensor $ \boldsymbol{\varepsilon} $ verwendet werden

$ \boldsymbol{\varepsilon}= \frac{1}{2}\Bigl[ \Bigl(\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr){}^T + \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr] $.

Weiter werden über dem Körper mithilfe von Integralsätzen Feldgrößen, wie Kräfte oder Wärmeströme bilanziert und daraus Bilanzgleichungen für die Flussgrößen abgeleitet. Ein Beispiel für Bilanzgleichungen ist das klassische Kräftegleichgewicht, welches sowohl mit Bezug auf die Momentankonfiguration, als auch mit Bezug auf die Referenzkonfiguration aufgestellt werden kann. Nur aus Bilanzgleichungen und kinematischen Beziehungen lässt sich das Verhalten eines Materials nicht beschreiben. Für eine Beziehung zwischen bilanzierten Feldgrößen und Verzerrungskinematik ist ein Materialgesetz erforderlich. Im einfachen linear-elastischen Fall ist dies das Hookesche Gesetz.

Beschreibung von Spannungen

Werkstoffmodelle – Konstitutivgesetze – Spannungs-Dehnungs-Beziehungen

Die mechanischen Eigenschaften eines Materials können als der mathematische Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ausgedrückt werden. Im einfachsten Fall, beschrieben durch das Hookesche Gesetz, ist dieser Zusammenhang linear: Die Verformung eines Materials ist linear zu einer angelegten äußeren Kraft.

Die lineare elastische Deformation

Siehe:

Die nichtlineare elastische Deformation

Bei der nichtlinearen elastischen Deformation ist die Verschiebung benachbarter Punkte des Kontinuums nicht proportional zum Abstand dieser Punkte. Die nichtlineare elastische Deformation kann beispielsweise an Gummi beobachtet werden, in diesem Zusammenhang spricht man von Gummielastizität oder auch Entropieelastizität. In diesem Fall kann das Hookesche Gesetz nicht angewandt werden. Diese Situation ist in der Natur die Regel. Wo möglich wird versucht, dieses Problem in einer linearen Näherung zu behandeln. Insbesondere für kleine Deformationen $ \epsilon $ ist diese Näherung häufig gerechtfertigt.

Die plastische Deformation

In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei duktilen Materialien plastische Deformation (Plastisches Fließen) auf. Bei der plastischen Deformation kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden, d. h. $ \tilde\epsilon $ ist in diesem Fall keine Zustandsgröße.

Im allgemeinen Fall kann die Deformation durch $ \tilde\epsilon $ angegeben werden. Die Gesamtdeformation $ \tilde\epsilon $ setzt sich aus einem elastischen Anteil $ \tilde\epsilon^{\,\rm E} $, einem plastischen Anteil $ \tilde\epsilon^{\,\rm P} $ und dem temperaturbedingten Anteil zusammen:

$ \tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\,\rm E} + \tilde\epsilon^{\,\rm P} + \alpha \cdot T \cdot e\,. $

Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch eine Fließbedingung, ein Fließgesetz, und ein Verfestigungsgesetz.

Literatur

  • Becker, Ernst & Wolfgang Bürger: Kontinuumsmechanik, Teubner, 1975, 228 S., ISBN 3-519-02319-9.
  • Greve, Ralf: Kontinuumsmechanik, Springer, 2003, 302 S., ISBN 3-540-00760-1.
  • Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
  • Sommerfeld, Arnold: Mechanik der deformierbaren Medien, Leipzig: Becker & Erler, 1945. – Vorlesungen über theoretische Physik; Band 2, 6. Auflage, Harri Deutsch, Thun 1992, ISBN 3-87144-375-1

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Kontinuumsmechanik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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