Hookesches Gesetz


Hookesches Gesetz

Dieser Artikel behandelt das hookesche Gesetz als linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes.
Für das gleichnamige Gesetz im Zusammenhang mit Federn siehe Federkonstante.
Hookes Versuchsanordnung

Das hookesche Gesetz (nach Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).

Das hookesche Gesetz stellt den linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes dar, berücksichtigt also keine quadratischen oder höheren Ordnungen im Zusammenhang von Verformung und Spannung, wie sie bei nicht-linear elastischen (z. B. Gummi), plastischen oder duktilen (z. B. Metalle nach Überschreiten der Fließgrenze) Verformungen auftreten. Dennoch müssen Spannung und Verformung nicht in derselben Linie liegen: eine Verformung in x-Richtung kann eine Spannung in y-Richtung bewirken. Das hookesche Gesetz ist daher im Allgemeinen eine Tensorbeziehung.

Eindimensionaler Fall

Für einen prismatischen Körper der Länge $ l_0 $ und der Querschnittsfläche $ A $ gilt demzufolge unter einachsiger Zug- oder Druckbelastung entlang der x-Achse:

$ \sigma_x = E \cdot \varepsilon_x\ , $

wobei die Proportionalitätskonstante $ E $ der Elastizitätsmodul genannt wird, sowie

$ \sigma_x = \frac{F_x}{A} $    die Spannung in x-Richtung und
$ \quad\varepsilon_x = \frac{\Delta l }{l_0} $    die Dehnung in x-Richtung sind.

Durch Einsetzung ergibt sich die Darstellung

$ F_x = \frac{E \cdot A}{l_0} \cdot \Delta l\,. $

Das hookesche Gesetz kann also dort zur Anwendung kommen, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Auslenkung oder Ausdehnung abhängt. Das kann für sehr kleine $ \Delta l $ der Fall sein oder beispielsweise auch für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation nennt man die Proportionalitätskonstante Federkonstante $ D $, und der Zusammenhang zwischen der Federkraft $ F $ und der Längenänderung $ \Delta l $ kann dann in der einfachen Form

$ F = D \cdot \Delta l $

dargestellt werden.

Die Ausdehnung einer Feder durch eine Kraft ist also eine lineare Funktion der Kraft: Eine Schraubenfeder, die sich bei einer Zugkraft von einem Newton um einen Zentimeter ausdehnt, würde sich bei einer Zugkraft von zwei Newton demzufolge auch um zwei Zentimeter ausdehnen.

Diese Eigenschaft ist maßgeblich zum Beispiel für die Verwendung von Metallfedern als Kraftmesser und in Waagen. Bei anderen Materialien - wie zum Beispiel Gummi - ist der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft und Ausdehnung nicht linear.

Das hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Bereichen der Physik Anwendung. In der Quantenmechanik etwa lässt sich für hinreichend kleine $ \Delta l $ über die Anwendung des hookeschen Gesetzes der quantenmechanische harmonische Oszillator beschreiben. Ein weiteres Beispiel ist die Molekularphysik. Hier kann, analog zur Federkonstanten, die Linearität zu $ \Delta l $ durch eine Kraftkonstante ausgedrückt werden. Diese Kraftkonstante beschreibt dann die Stärke einer chemischen Bindung.

Die in einer Feder durch Dehnung entstehende potentielle Energie kann folgendermaßen berechnet werden. Gegeben ist eine Auslenkung vom Betrag s, die die Auslenkung aus der Ruhelage (s = 0, Gleichgewichtslage) beschreibt. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, nämlich $ \vec F = - D\vec s $. Durch Integration der Kraft erhält man nun die potentielle Energie:

$ E_\text{pot} = - \int\limits_0^{\vec s} {\vec{F}\cdot d\vec s\,'} = - \int\limits_0^{\vec s} {\left( { - D\vec s\,'} \right) \cdot d\vec s\,'} = D\int\limits_0^{\vec s} {\vec s\,' \cdot d\vec s\,'} = \frac{1}{2}Ds^2 $

Dies ist das für viele Modellrechnungen wichtige harmonische Potential (proportional zu $ s^2 $).

Verallgemeinertes hookesches Gesetz

Im allgemeinen Fall wird das hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) ausgedrückt:

$ \tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon $,

mit dem Elastizitätstensor $ \tilde{\tilde C} $, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor $ \tilde{\tilde C} $ 81 Komponenten $ C_{ijkl},\;i,j,k,l=1\ldots3 $ aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten $ C_{ijkl} $ nach Überführung in Konstanten $ C_{IJ} $ anhand des Schemas 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 → 5, 12 → 6 jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer $ 6\times6 $-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden:

$ \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{pmatrix}. $

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese $ 6\times6 $-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen $ C_{ij},\;i,j=1\ldots6 $ (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden somit auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt (Voigtsche Notation). Bei $ \varepsilon_{4} = 2 \varepsilon_{23}, \varepsilon_{5} $ und $ \varepsilon_{6} $ muss man aufpassen, weil hier ein zusätzlicher Faktor 2 dazu kommt und nicht nur die Indices angepasst werden.

Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

$ \bar\varepsilon = L^{-1} \bar\sigma $, mit
$ L^{-1} = \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 &-\nu &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &1 &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot & 1 &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) \end{bmatrix} $, bzw.
$ L = \frac{E}{1+\nu} \begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &\frac{1}{2}&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&\frac{1}{2}&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&0&\frac{1}{2}\\ \end{bmatrix} $,

wobei E der Elastizitätsmodul (auch Young's modulus) und $ \nu $ die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

$ \varepsilon=\frac{1}{E}\sigma $.

Schreibweise mit Lamé-Konstanten

Häufig findet sich für das verallgemeinerte hookesche Gesetz für isotrope Medien auch eine Schreibweise mit Hilfe der Lamé-Konstanten:

$ \sigma=2\mu \varepsilon +\lambda \; \mathrm{Spur}(\varepsilon)I $

Literatur

  • Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Elastostatik). Springer, ISBN 3-540-64147-5

Siehe auch

Weblinks