Satz von Poynting
Der Satz von Poynting (auch Poyntingtheorem genannt) stellt einen Erhaltungssatz in der Elektrodynamik dar. Damit wird der Energieerhaltungssatz auf elektromagnetische Felder verallgemeinert. Seine Formulierung wird dem britischen Physiker John Henry Poynting zugeschrieben. Stark vereinfacht trägt er in sich die Aussage, dass ein elektromagnetisches Feld Arbeit verrichten kann, wenn es dabei „schwächer“ wird. Mathematisch kann er, wie auch die Maxwellschen Gleichungen, sowohl in einer differenziellen als auch in einer integralen Schreibweise angegeben werden. In der integralen Form lautet er:
Wobei:
elektromagnetische Energiedichte der Felder im Vakuum. Poynting-Vektor Stromdichte elektrische und magnetische Feldstärken
Er besagt, dass die Leistung eines Feldes
Das Oberflächenintegral entspricht dann dem Fluss der Leistungsdichte durch die betrachtete Oberfläche des Volumens
Da nur die Divergenz von
Herleitung
Ausgangspunkt ist die Arbeit, die ein elektromagnetisches Feld an Ladungsträgern pro Zeit und Volumen verrichtet:
Es bleibt anzumerken, dass der magnetische Teil des Feldes keine Arbeit verrichet, da die Lorentzkraft senkrecht zu Bewegungsrichtung der Ladung wirkt. Nun gilt aber das Durchflutungsgesetz:
führt. Zieht man daneben noch die Rechenregel für die Divergenz
heran, so ergibt sich
.
Die Rotation des elektrischen Feldes kann schließlich über das Induktionsgesetz
ankämen. Hier bleibt es nur noch mit Hilfe der Definition des Poynting-Vektors und der Energiedichte die Gleichung zusammenzufassen, wozu noch die folgenden Identitäten benötigt werden:
und
Womit schließlich die differenzielle Form des Satzes gerechtfertigt wäre.
Beispiel: Ohm'scher Widerstand
Hinweis: In diesem Beispiel wird das CGS-Einheitensystem verwendet.
Wir betrachten einen langen zylindrischen Leiter mit Radius
Für das elektrische Feld erhalten wir
Die magnetische Flussdichte außerhalb des Leiters berechnen wir mit dem Ampèreschen Gesetz
Die Feldlinien umlaufen den Leiter nach der Korkenzieherregel.
Der Poynting-Vektor lautet
Wir legen eine geschlossene Fläche rund um das gesamte Leiterstück. Das Oberflächenintegral über die Fläche,
Die Aussage des Satzes von Poynting ist, dass eine Quelle, z.B. eine Batterie diesen Verlust kompensieren muss (also Arbeit leisten muss), damit der Strom weiterhin fließt.
Literatur
- John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 4., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4