Satz von Floquet

Der Satz von Floquet (nach Gaston Floquet) macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalmatrizen eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems mit periodischer Koeffizientenmatrix.

Dieser Satz findet in der Quantenmechanik Anwendung, wo die Eigenzustände eines Systems mit zeitlich periodisch veränderlichem Potential auch als Floquet-Zustände bezeichnet werden. Sie entsprechen genau dem periodischen Anteil der Fundamentallösung.

Der Satz von Floquet, angewandt auf räumlich periodische Potentiale, ist in der Quantentheorie besser unter dem Namen Bloch-Theorem bekannt. Die Eigenzustände heißen Bloch-Funktionen.

Vom quantenmechanischen Blickwinkel aus gesehen lässt sich der Sachverhalt so darstellen: Ein ungestörtes System hat definierte Eigenzustände. Durch das Anlegen eines periodischen Feldes werden die Eigenzustände energetisch verändert. Aufgrund der Periodizität des Feldes ändern sich nun auch die Eigenzustände periodisch. Sie werden als Floquet-Zustände bezeichnet. Durch beispielsweise eine Fourier-Entwicklung dieser Zustände kann die Arbeit mit diesen erheblich vereinfacht werden.

Formulierung

Jede Fundamentalmatrix $ \Phi $ des homogenen linearen Differentialgleichungssystems

$ \ y'(x)=A(x)y(x) $

mit stetiger $ \omega $-periodischer Koeffizientenmatrix $ A:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m} $ lässt sich in der Form

$ \ \Phi (x)=P(x)\exp(xR) $

schreiben, worin $ P:\mathbb {R} \rightarrow GL(m;\mathbb {C} ) $ stetig differenzierbar und $ \omega $-periodisch und $ R\in \mathbb {C} ^{m\times m} $ eine konstante Matrix ist. Hierbei bezeichnet $ \exp $ die Matrixexponentialfunktion. Begnügt man sich damit, dass $ P $ nur $ 2\omega $-periodisch ist, so können $ P,R $ reell-wertig gewählt werden.

Die Transformation

$ \ z(x)=P^{-1}(x)y(x) $

führt das Differentialgleichungssystem in eines mit konstanten Koeffizienten über:

$ \ z'(x)=Rz(x). $

Literatur

• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).