Bloch-Funktion

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:

Satz: Es sei ein periodisches Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(x) mit der Periodizität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 gegeben, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(x+x_0)=V(x) . Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form $ \psi (x)=e^{ikx}\cdot u_{k}(x) $ wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_k(x) eine periodische Funktion mit Periode Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (u_k(x)=u_k(x+x_0)) .

Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x₀) überträgt sich also auf u_k(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ|² des betrachteten Teilchens im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x₀ durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.

Aus dem Bloch-Theorem folgt, dass der Wellenvektor k eines Elektrons in einem Kristall eine Erhaltungsgröße ist (modulo der Addition reziproker Gittervektoren, d. h. der Beugung), sodass auch die der Wellenfunktion zugeordnete Gruppengeschwindigkeit erhalten bleibt. Der elektrische Widerstand eines kristallinen Leiters resultiert in diesem Modell nicht aus Streuprozessen der Elektronen an den Ionenrümpfen des Kristalls, sondern aus Defekten in der Kristallstruktur, die dessen Periodizität stören, und aus der Wechselwirkung mit Phononen.

Das Bloch-Theorem ist ein bekannter Spezialfall des Floquet-Theorems.

Kurze Herleitung

Das Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(\vec{r}) ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R (in einem Kristall ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{R} ein Gittervektor):

$ V({\vec {r}})=V({\vec {r}}+{\vec {R}}) $

Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H=\frac{\hat P^2}{2m}+V(\vec r) des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{R} gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\vec{r}+\vec{R}) = f(\vec{R}) \psi(\vec{r}) .

Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{R}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}} .

Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.

Literatur

• Felix Bloch, Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern, Zeitschrift für Physik A, 52, s. 555-600 (1928), doi:10.1007/BF01339455.
• Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, Fourth Edition, Singapore – River Edge – London: World Scientific, Seite 29ff.
• Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin – New York: Walter de Gruyter.
• Kittel, Charles (2006): Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 187f
• Ibach, Harald / Lüth, Hans (1991): Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin – Heidelberg: Springer-Verlag, Seite 106fff