Bloch-Kugel

Die Bloch-Kugel wird in der Quantenmechanik verwendet, um den Zustand eines Zweizustandssystems (beispielsweise ein Qubit) grafisch darzustellen. Benannt wurde sie nach dem Physiker Felix Bloch, der diese übersichtliche Illustration für Überlagerungen von Zuständen entwickelte. Es handelt sich hierbei um eine geometrische Darstellung, mit deren Hilfe der Zustand eines Zweizustandssystems als Punkt auf der Oberfläche der Bloch-Kugel gekennzeichnet wird.

Anschauliche Darstellung

Der Einfachheit halber kann man sich die Bloch-Kugel wie die Erde mit Nord- und Südpol vorstellen. Die beiden Pole entsprechen dann den Vektoren einer vorgegebenen Basis, aus denen die Überlagerungen gebildet werden. Punkten, die auf dem Äquator der Bloch-Kugel liegen, entsprechen jene Zustände, die zu gleichen Anteilen aus beiden Basiszuständen bestehen. Die Punkte, die auf der Nordhalbkugel liegen, setzen sich zum größeren Teil aus dem Basiszustand des Nordpols zusammen und Punkte auf der Südhalbkugel setzen sich zu einem größeren Teil aus dem Basiszustand des Südpols zusammen.

In der rechten Abbildung sind die Standard-Basisvektoren $ |0\rangle ,|1\rangle $ sowie der sogenannte Bloch-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle eingezeichnet, wobei der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle wie folgt definiert ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2} |0 \rangle \, + \, e^{i \varphi} \sin\frac{\theta}{2} |1\rangle

Die kartesischen Koordinaten dieses Vektors sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \sin\theta\cos\varphi ,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta \right) .

Zusammenhang mit der Riemannschen Zahlenkugel

Die Linearkombination der den beiden Polen zugeordneten Zustandsvektoren (nachfolgend durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\uparrow\right\rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\downarrow\right\rangle bezeichnet) kann, weil es bei einem Quantenzustand nicht auf die Phase ankommt und der Betrag des Ergebnisses auf eins normiert wird, mit einer einzigen komplexen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c wie folgt dargestellt werden:

$ \left|\Psi \right\rangle ={\frac {\left|\uparrow \right\rangle +c\left|\downarrow \right\rangle }{\sqrt {1+\left|c\right|^{2}}}} $

Man beachte, dass der Zähler dieses Bruches ein Vektor ist, der Nenner aber nur eine für die Normierung erforderliche Zahl.

Die Bloch-Kugel ist nun die Riemannsche Zahlenkugel für die komplexe Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c .

Reine und gemischte Zustände

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und bilden zusammen mit der Einheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E eine Basis des Vektorraums der komplexen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 \times 2 -Matrizen. Die Dichtematrix eines Qubits kann bezüglich einer festen Basis immer als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho = \frac{1}{2} \left(E + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z \right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+z & x-\mathrm{i}y \\ x+\mathrm{i}y & 1-z\end{pmatrix}

dargestellt werden. Fasst man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z) \in \R^3 als Vektor im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R^3 auf, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho immer dann positiv semidefinit, also eine zulässige Dichtematrix, wenn $ (x,y,z) $ in der abgeschlossenen Einheitskugel des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R^3 liegt. Den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z) nennt man den Bloch-Vektor. Der Zustand ist genau dann rein, wenn der Bloch-Vektor die Länge Eins hat, also auf der Kugeloberfläche liegt.

Zwei reine Zustände sind orthogonal, wenn ihre Bloch-Vektoren sich an genau gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel befinden. In der Mitte der Blochkugel liegt der vollständig gemischte Zustand, dessen Blochvektor der Nullvektor ist.

Bildet man eine Mischung aus einem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p des Zustands mit Bloch-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v und aus einem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1-p des Zustands mit Bloch-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec w , dann wird das Gemisch durch den Bloch-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p\vec v + (1-p)\vec w beschrieben. Man kann also alle Zustände als Konvexkombination reiner Zustände schreiben, und die Bloch-Kugel zeigt auch, dass der Zustandsraum eine konvexe Menge ist, deren Extremalpunkte die reinen Zustände sind.

Geometrische Deutung

Sind $ \left|\uparrow \right\rangle $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\downarrow\right\rangle Spinzustände zur Spinquantenzahl 1/2, etwa Parallelstellung und Antiparallelstellung eines Elektrons im Magnetfeld, dann zeigt im Überlagerungszustand der Erwartungswert des (vektoriellen) Spinoperators in die Richtung, die der zugeordnete Punkt auf der Bloch-Kugel andeutet.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bloch Sphere. In: MathWorld. (englisch)