Dichtematrix

In der Physik beschreibt die Dichtematrix bzw. der Dichteoperator (auch statistische Matrix bzw. statistischer Operator) für ein Ensemble gleichartiger Systeme, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein herausgegriffenes System in einem bestimmten Zustand befindet.

Der Dichteoperator wurde ursprünglich im Rahmen der klassischen Physik von Stokes für den Polarisationszustand eines Lichtstrahls entwickelt (Stokes-Parameter). Im folgenden wird der Dichteoperator im Zusammenhang mit Systemen in quantenmechanisch definierten Zuständen dargestellt.

Konstruktion

In dem betrachteten Ensemble befinden sich mehrere gleichartige Systeme mit den Wahrscheinlichkeiten $ p_{i}\, $ in den Zuständen $ |\psi _{i}\rangle $. Diese Zustände müssen nicht notwendigerweise orthogonal sein. Die Wahrscheinlichkeiten sind auf 1 normiert: $ \sum _{i}p_{i}=1\ . $ Dann ist (in bra-ket-Schreibweise) der Dichteoperator gegeben durch

$ {\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle \left\langle \psi _{i}\right|\ . $

Darin ist

$ {\hat {\mathbb {P} }}_{\psi _{i}}=|\psi _{i}\rangle \;\langle \psi _{i}| $

der Projektionsoperator, der angewandt auf einen beliebigen Zustandsvektor $ |\Phi \rangle $ dessen Komponente „parallel“ zum Zustand $ |\psi _{i}\rangle $ herausprojiziert:

$ {\hat {\mathbb {P} }}_{\psi _{i}}|\Phi \rangle =|\psi _{i}\rangle \;\langle \psi _{i}|\Phi \rangle \ . $

Der Faktor $ \langle \psi _{i}|\Phi \rangle $ darin ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, das im Zustand $ |\Phi \rangle $ vorliegende System im Zustand $ |\psi _{i}\rangle $ vorzufinden.

Mit Hilfe der Projektionsoperatoren lässt sich der Dichteoperator auch schreiben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho = \sum_i p_i \; \hat \mathbb{P}_{\psi_i}\ .

Für ein Ensemble, in dem alle Systeme im selben Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle präpariert sind, ist der Dichteoperator daher einfach der Projektionsoperator selbst:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho = \hat \mathbb{P}_{\psi} = |\psi\rangle \langle\psi|\ .

Messwerte

Für jeden einzelnen Bestandteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle des Zustandsgemischs ist der Mittelwert der Messergebnisse einer physikalischen Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A gegeben durch den Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle A \rangle_{\psi_i} = \langle\psi_i| \hat A |\psi_i\rangle \ . Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A der zu $ A $ gehörige Operator (s. Quantenmechanik, Observable).

Da das Ensemble ein Gemisch von Systemen in den verschiedenen beteiligten Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle ist, ist der Mittelwert aller Messungen an den einzelnen Systemen die gewichtete Summe der einzelnen Erwartungswerte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle A \rangle_{\hat \rho} = \sum_i \;p_i \; \langle\psi_i| \hat A |\psi_i\rangle \ .

Dies ist gleich der Spur

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle A \rangle_{\hat \rho} = \operatorname{Tr}(\hat \rho \hat A ) \ ,

wie man mit Hilfe eines vollständigen Systems von orthonormierten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\varphi_k\rangle sehen kann: Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat 1 = \sum_k |\varphi_k\rangle \langle\varphi_k| (Einheitsoperator) ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle A \rangle_{\hat \rho} = \sum_i \;p_i \; \langle\psi_i| \hat A\cdot \hat 1 |\psi_i\rangle = \sum_{i,k} \;p_i \; \langle\psi_i|\hat A| \varphi_k\rangle \cdot \langle\varphi_k|\psi_i\rangle = \sum_{k} \langle\varphi_k| \; \left(\sum_{i} |\psi_i\rangle p_i \langle\psi_i| \hat A\right)\;|\varphi_k\rangle= \sum_{k} \langle\varphi_k| \; \hat \rho \hat A \;|\varphi_k\rangle =\operatorname{Tr}(\hat \rho \hat A ) \ .

Sind die $ |\varphi _{k}\rangle $ gerade die Eigenzustände zur Observable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A (d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A|\varphi_k\rangle= a_k |\varphi_k\rangle mit den Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_k ), dann gilt weiter

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle A \rangle_{\hat \rho} = \sum_{i,k} \;p_i \; \langle\psi_i| a_k| \varphi_k\rangle \cdot \langle\varphi_k|\psi_i\rangle = \sum_{k} a_k \left(\sum_{i} p_i\;\langle\varphi_k| \psi_i\rangle \; \langle\psi_i|\varphi_k\rangle \right)\; = \sum_{k} a_k \left(\sum_{i} p_i \;|\langle\varphi_k| \psi_i\rangle|^2 \right)\; = \sum_{k} a_k P_k\ .

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_k = \sum_{i} p_i\;|\langle\varphi_k| \psi_i\rangle|^2 \ das über das Ensemble gewichtete Mittel für die Wahrscheinlichkeit, ein herausgegriffenes System im Eigenzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\varphi_k\rangle anzutreffen. $ P_{k} $ ist also auch die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Messung den Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_k als Ergebnis zu erhalten. Charakteristisch ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_k durch eine inkohärente Summe gegeben wird, die von den relativen Phasen der am Ensemble beteiligten Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle unabhängig ist.

Beispiel: Dichteoperator und Dichtematrix für Elektronen-Polarisation

Die Dichtematrix ist die Matrix, mit der der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho in Bezug auf eine orthonormierte Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \varphi_k \rangle dargestellt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{mn} = \langle \varphi_m | \hat \rho | \varphi_n \rangle

Basiszustände

Die Zustände „Spin auf“ (bezgl. z-Achse) $ |\!\!\uparrow \rangle ={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr )} $ und „Spin ab“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\!\! \downarrow \rangle = \bigl( \begin{smallmatrix} 0\\ 1 \end{smallmatrix} \bigr) werden als ket-Vektoren durch Spalten dargestellt. Die zugehörigen bra-Vektoren sind dann Zeilenvektoren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \uparrow \!| =(1\ 0) bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \downarrow \!| = (0\ 1) . Die Projektionsoperatoren (durch Matrizenmultiplikation):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat P_{\uparrow} = \bigl( \begin{smallmatrix} 1\\ 0 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot (1\ 0)\ = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)\quad, \ \hat P_{\downarrow} = \bigl( \begin{smallmatrix} 0\\ 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot (0\ 1)\ = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)

Dies sind auch die Dichtematrizen für vollständig in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): +z - bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -z -Richtung polarisierte Elektronen.

Polarisation in z-Richtung

Die z-Komponente des Spins hat die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat s_z = \left( \begin{smallmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & -1/2 \end{smallmatrix} \right)\ . Für das vorausgesagte Messergebnis ergibt sich für das Ensemble $ {\hat {P}}_{\uparrow } $ richtig

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \hat s_z \rangle = \operatorname{Tr}(\hat P_{_\uparrow}\cdot \hat s_z) = \operatorname{Tr}\left( \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & -1/2 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr) \right)\ = \operatorname{Tr} \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) = \tfrac{1}{2} .

Für das Ensemble Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat P_{\downarrow} ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \hat s_z \rangle = \operatorname{Tr}(\hat P_{\downarrow}\cdot \hat s_z) = \operatorname{Tr} \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 0 & -1/2 \end{smallmatrix}\bigr) = -\tfrac{1}{2} .

Andere Polarisionsrichtung

Die Zustände von in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): +x - bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -x -Richtung polarisierten Elektronen sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\!\!\rightarrow \rangle = \left( \begin{smallmatrix} \sqrt{1/2}\\ \sqrt{1/2} \end{smallmatrix}\right)\;,\ |\!\!\leftarrow \rangle = \left( \begin{smallmatrix} \sqrt{1/2}\\ -\sqrt{1/2} \end{smallmatrix}\right) . Die Projektionsoperatoren dazu haben (in der Basis der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_z -Eigenzustände!) die Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat P_{| \rightarrow \rangle} = \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 \end{smallmatrix}\bigr)\;,\ \hat P_{| \leftarrow \rangle} = \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & -1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{smallmatrix} \bigr)\ . Charakteristisch ist, dass dies keine Diagonalmatrizen sind und dass sich die verschiedenen Phasen, mit denen die $ s_{z} $-Eigenzustände als ket-Vektoren hier überlagert wurden, in den Matrixelementen außerhalb der Hauptdiagonale wiederfinden. Das ist Ausdruck der kohärenten Überlagerung, durch die aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_z -Eigenzuständen die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_x -Eigenzustände gebildet werden.

Unpolarisiertes Ensemble

Sind die Elektronen je zur Hälfte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm z -Richtung polarisiert, heißt die Dichtematrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho = \tfrac{1}{2} \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)\ + \tfrac{1}{2} \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) = \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{smallmatrix} \bigr)= \tfrac{1}{2} \cdot \hat 1

Die gleiche Dichtematrix ergibt sich für ein Gemisch aus Elektronen, die zu je 50 % in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm x -Richtung polarisiert sind. Damit sind auch alle möglichen Messergebnisse identisch zu denen am Ensemble, das aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm z -polarisierten Elektronen gebildet wurde. Die ursprünglichen Polarisationsrichtungen sind physikalisch (und damit auch begrifflich) nicht mehr zu unterscheiden: Es ist beide Male ein und dasselbe Ensemble geworden.

Gemisch verschiedener Polarisationsrichtungen

Für ein Gemisch aus Elektronen mit Spin in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): +z -Richtung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -x -Richtung (Anteile $ p_{\uparrow } $ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_\leftarrow ), heißt die Dichtematrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho_{p_{_\uparrow},p_{_\leftarrow}} = p_\uparrow \;\hat P_{|\uparrow \rangle} + p_\leftarrow \;\hat P_{|\leftarrow \rangle} = p_\uparrow \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)\ + p_\leftarrow \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & -1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{smallmatrix} \bigr) = \left( \begin{smallmatrix} p_{_\uparrow} + \tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} & -\tfrac{p_{_\leftarrow}}{2}\\ -\tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} & \tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} \end{smallmatrix} \right)

Der Erwartungswert des Spins in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm z -Richtung ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \hat s_z \rangle = \operatorname{Tr}(\hat \rho_{p_{_\uparrow},p_{_\leftarrow}} \cdot \hat s_z) = \operatorname{Tr} \left( \left( \begin{smallmatrix} p_{_\uparrow} + \tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} & -\tfrac{p_{_\uparrow}}{2}\\ -\tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} & \tfrac{p_{_\leftarrow}}{2} \end{smallmatrix} \right) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & -1/2 \end{smallmatrix}\bigr) \right) = \operatorname{Tr}\left( \left( \begin{smallmatrix} \tfrac{1}{2} \left(p_{_\uparrow} + \tfrac{p_{_\leftarrow}}{2}\right) & \tfrac{p_{_\uparrow}}{4}\\ -\tfrac{p_{_\leftarrow}}{4} & -\tfrac{p_{_\leftarrow}}{4} \end{smallmatrix} \right)\right) = \tfrac{1}{2}p_\uparrow .

Die in (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -x )-Richtung polarisierten Elektronen tragen also erwartungsgemäß nichts zum Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \hat s_z \rangle bei.

Formale Definition

Gegeben sei ein quantenmechanisches System, das auf einem Hilbertraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf H modelliert ist. Ein beschränkter linearer Operator $ {\hat {\rho }}\,\; $ auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf H ist ein Dichteoperator, wenn gilt:

1. er ist positiv semidefinit,
2. er ist Spurklasse mit Spur gleich 1.

Obwohl die Begriffe Dichtematrix und Dichteoperator oft synonym gebraucht werden, besteht ein mathematischer Unterschied. Genau wie in der linearen Algebra eine Matrix die Basisdarstellung eines linearen Operators ist, kann in der Quantenmechanik zwischen abstraktem Dichteoperator und einer konkreten Dichtematrix in einer bestimmten Darstellung unterschieden werden. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho ein Dichteoperator, so bezeichnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(x,y)= \langle x|\hat \rho|y\rangle

die Dichtematrix in Ortsdarstellung. Sie ist allerdings keine echte Matrix, da die Ortsdarstellung über ein Kontinuum von uneigentlichen Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x\rangle definiert ist, sondern ein so genannter Integralkern.

In endlichdimensionalen Hilberträumen (z. B. bei Spinsystemen) ergibt sich dagegen dann eine positiv semidefinite Matrix mit Spur 1, also eine echte Dichtematrix, wenn eine Orthonormalbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e}_i gewählt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{ij}=\langle \mathbf{e}_i|\hat \rho|\mathbf{e}_j\rangle .

Eigenschaften

• Jeder Dichteoperator ist selbstadjungiert (oder hermitesch), da positive Operatoren immer selbstadjungiert sind.

• Die Menge aller Dichteoperatoren ist eine konvexe Menge, deren Rand die Menge der reinen (quantenmechanischen) Zustände ist. Die Menge ist im Gegensatz zu klassischen Theorien kein Simplex, d. h. ein Dichteoperator ist im Allgemeinen nicht eindeutig als Konvexkombination von reinen Zuständen darstellbar.

• Die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung einer Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A \!\, an einem System, das durch den Dichteoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho\, beschrieben wird, den Messwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\, zu erhalten, ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_a = \sum_i\left\langle a_i\right|\hat \rho \left|a_i\right\rangle=\mbox{Tr}(\hat \mathbb{P}_a \hat \rho),

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|a_i\right\rangle die orthonormierten Eigenvektoren zum Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \!\, sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \mathbb{P}_a die Projektion auf den entsprechenden Eigenraum ist.

• Der Mittelwert der Messwerte (Erwartungswert) bei Messung einer Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A \!\, ist

$ \left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={\mbox{Tr}}({\hat {A}}{\hat {\rho }}). $

Dichtematrix für reine Zustände

Ist das betrachtete Ensemble ein reines Ensemble, besteht das System also nur aus einem reinen Zustand, so gilt für die Dichtematrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Tr}\,(\hat \rho^2) = \operatorname{Tr}\,(\hat \rho) = 1 .

Für gemischte Zustände gilt stets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Tr}\,(\hat \rho^2) < 1 .

Dichtematrix für ein gleichverteiltes Ensemble

Ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N -Niveau-System, bei dem alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N \,\! Zustände gleich wahrscheinlich sind, hat die Dichtematrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho = \frac{1}{N}\ \mathbf{1}_N\ ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1}_N die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N -dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.

Zeitentwicklung

Aus der Schrödingergleichung, die die Zeitentwicklung (Dynamik) reiner Quantenzustände beschreibt, kann man unmittelbar die Zeitentwicklung gemischter Zustände ableiten. Dazu benutzt man eine beliebige Zerlegung der Dichtematrix in reine Zustände, deren Dynamik der Schrödinger-Gleichung genügt, und berechnet daraus die Dynamik des gemischten Zustandes zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat \rho}=\frac{i}{\hbar}[\hat \rho,\hat \mathbb H],

wobei $ {\hat {\mathbb {H} }} $ der Hamilton-Operator des Systems ist. Diese Gleichung ist als von-Neumann'sche Bewegungsgleichung bekannt (nicht zu verwechseln mit der Heisenberg'schen Bewegungsgleichung).

Diese Differentialgleichung kann man für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren integrieren und erhält mit dem unitären Zeitentwicklungs-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U(t) = e^{-i H t/\hbar} die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho(t)=\hat U(t)\;\hat \rho(0)\;\hat U^\dagger(t)\ .

Bemerkenswert ist hierbei, dass für den Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U(t) die übliche Heisenberg'sche Bewegungsgleichung nicht gilt, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho \,\! keine Observable ist. Auch die Transformation mit dem Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U(t) ist nicht gemäß der üblichen Zeitentwicklungsgleichung für Operatoren.

Entropie

Mit Hilfe der Dichtematrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho \,\! lässt sich die Entropie eines Systems wie folgt definieren (siehe auch Von-Neumann-Entropie):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = - k_B \hbox{Tr} \left( \hat \rho \ln{\hat \rho} \right),

wobei $ k_{B} $ die Boltzmannkonstante ist, und die Spur über dem Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf H genommen ist, in dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \rho \,\! operiert.

Die Entropie jedes reinen Zustands ist Null, da die Eigenwerte der Dichtematrix Null und Eins sind. Dies stimmt mit der heuristischen Argumentation überein, dass keine Unsicherheit über die Präparation des Zustandes herrscht.

Man kann zeigen, dass auf einen Zustand angewendete unitäre Operatoren (wie der aus der Schrödinger-Gleichung gewonnene Zeitentwicklungs-Operator) die Entropie des Systems nicht ändern. Das verbindet die Reversibilität eines Prozesses mit seiner Entropieänderung - ein fundamentales Ergebnis, das die Quantenmechanik mit der Informationstheorie und der Thermodynamik verbindet.

Weblinks

• Artikel von Lieven Smits aus Antwerpen über De dichtheidsmatrix in de statistische mechanica (in niederländisch)