Heisenbergsche Bewegungsgleichung
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Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Bewegungsgleichung oder Heisenberg-Gleichung, bestimmt die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung (oder auch in der Heisenberg-Darstellung der Quantenmechanik). Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern zeigt.
Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.
Die Bewegungsgleichung selbst lautet:
wobei
Wenn eine Observable
Bewegungsgleichung für Erwartungswerte
Da im Heisenbergbild die Zustände zeitunabhängig sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi_{{\rm H}}\rangle=0
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}\right\rangle =\langle\psi_{\rm H}|\frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}|\psi_{\rm H}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\psi_{\rm H}|A_{{\rm H}}|\psi_{\rm H}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A_{{\rm H}}\rangle
kann man sofort die Heisenberggleichung der Erwartungswerte angeben:
Aufgrund der Invarianz des Skalarprodukts unter Bildwechsel (die Erwartungswerte eines Operators sind in allen Bildern gleich), kann man die Gleichung bildunabhängig schreiben:
Diese Gleichung ist als Ehrenfest-Theorem bekannt.
Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung
Im Folgenden wird ausgehend von der Schrödingergleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung abgeleitet. Die umgekehrte Richtung ist ebenfalls möglich.
Der Darstellungswechsel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U(t)
der Zeitentwicklungsoperator und
Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators
Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung
Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:
Vom Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{{\rm H}}(t)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{{\rm H}}(t)=U^{\dagger}(t)\,A_{{\rm S}}(t)\,U(t)
wird die Zeitableitung gebildet, wobei die Produktregel angewandt wird:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\left(\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}\right)A_{{\rm S}}\, U+U^{\dagger}\, A_{{\rm S}}\left(\frac{\partial}{\partial t}U\right)+U^{\dagger}\left(\frac{\partial}{\partial t}A_{{\rm S}}\right)U
Nun werden obige Operatorgleichung und deren adjungierte
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial t}U=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H_{\rm S}U
und
eingesetzt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}U^{\dagger}H_{\rm S}\right)A_{{\rm S}}\, U+U^{\dagger}\, A_{{\rm S}}\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H_{\rm S}U\right)+U^{\dagger}\left(\frac{\partial A_{{\rm S}}}{\partial t}\right)U
Zusammenfassen:
Nun schiebt man geschickt eine
Mit dem Kommutator lässt sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung kompakt schreiben:
Literatur
- Franz Schwabl: Quantenmechanik. (QM I). Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlinu. a. 2007, ISBN 978-3-540-73674-5.